极限、复数、立体几何.docx

6.6 数列极限
复习目标
1. 理解数列极限的含义和四则运算成立的条件.
2. 熟练掌握基本极限公式和基本极限题型的解法.
3. 熟练掌握无穷递缩等比数列前n项和的极限公式及存在条件.
概念梳理
1.数列极限的定义

2.极限的运算法则

3.几个常用极限

4.无穷等比数列前n项和的极限

基础训练

综合训练

能力提高

第11章 复数
考点归纳
重点在复数的计算；复数的几何意义以及以几何意义为核心而形成的数形结合的题目；复数方程。
11.1 复数的概念
复习目标
1. 掌握虚数单位满足
2. 掌握什么是虚数、纯虚数及实部、虚部、共轭等
3. 掌握两个复数相等的充要条件
4. 掌握复数可用复平面上的点表示，它的模
概念梳理
1. 虚数单位
2. 复数的代数形式与复数的分类
1) 形如的数叫做复数，叫做复数的实部，记做Rez，叫做复数的虚部，记做Imz。
2) 虚数；纯虚数；实数
3. 实数之间可以比较互相之间的大小，虚数则不可以。
4. 复数相等的充要条件：
1) 这一充要条件是复数中的重点，常在涉及到方程的题中运用；
2) 复数在方程中一般会以“”的形式出现，这时要先设，再将等式的实部与虚部分开，最后再利用这一条件列出方程组。
5. 共轭复数
1) 将称为的共轭复数，并记
2) ，结果是一个实数
3)
6. 复数的模
1) ，记为复数的模。
2)
3)
基础训练
1.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C．充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.下面四个不等式中，其中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.符合条件的复数对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知，若，则满足 ( )
A． B． C． D．
5.虚数其中均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.复数是纯虚数的一个充要条件是 ( )
A. B. C. D.
7.设，则下列命题中是真命题的是 ( )
A. B. C. D.
8.如果复数是实数，则实数=______
9.,已知复数的取值范围是
______.
10.设和是共轭复数，则=______ ，
11.已知，则是的______条件.
12.设,且，则的最大值是______
综合训练
13.设复数，问当实数取何值时，
1)
2) 是纯虚数
3) 对应的点在复平面的第四象限

14.已知复数满足:
1) 求复数的共轭复数
2) 若，求实数的取值范围。

15.已知分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应的点在第二象限时，求取值范围.

16.(1)设，试讨论之间的相等关系；
(2)已知为虚数，求的充要条件是纯虚数；
(3)设且，求复数；
(4)已知，求。

17.若复数满足，求证：必为纯虚数。

能力提高
18.设复数满足，求的值和的取值范围。

19. (1)若且，则
(2)已知复数，求的最大值和最小值
(3)已知复数满足，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。

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11.2 复数的运算
复习目标
1. 熟练复数的四则运算
2. 熟练复数的乘方
3. 掌握共轭复数的性质
4. 掌握复数模的性质
概念梳理
1. 复数的四则运算、乘方运算
1) 加减法
2) 乘法
3) 除法
(以上)并且复数加法、乘法满足交换律和结合律；同时乘法对加法的分配律也满足。
4) 乘方 个复数的乘积记做，当时，规定：
如果，则(1) (2) (3) (4)
2.复数模与共轭复数的运算性质
1) 复数模的运算性质
a) ，
b) ，
c)
2) 共轭复数的运算性质
a)
b)
c) ，
3.复数的平方根
如果复数和满足：，称是的一个平方根；
4.复数的立方根：如复数满足，称是的立方根。
5.共轭虚根定理
如果虚数是实系数一元次方程的根，那么也是这个方程的根。
一般地，一元次方程在复数范围内总有个复数根。
6.复数的向量表示
设复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，那么向量表示复数，零向量表示复数0，复数集与复平面以原点为起点的向量所构成的集合一一对应。
相等的向量表示同一复数，即与相等的向量可以进行平移，使得对应的复数为.
7.向量的模
向量的模也叫做复数的模，记做.
基础训练
1.,则等于( )
A. B. C. D.
2.已知是方程的根，则下列哪个必是方程的根 ( )
A. B. C. D.
3.已知，则方程的解是______
4.设，则
5.设，则
6.方程在复平面上确定的曲线可以是_______
7.已知，设，则的取值范围为______
8.若复数满足，则=______
9.若复数同时满足，则=______
10.对于非零实数，以下四个命题都成立：
(1) ; (2) ;
(3)若，则；(4)若，则。
那么，对于非零复数，仍然成立的命题所有的序号是______
综合训练
11.在复数范围内解方程

12.已知复数满足，其中为虚数单位，若，求的取值范围。

13.已知，求的最大值和最小值。

14.(1)计算：
(2)已知，求
(3)设，当时，求的最大值和最小值。

15.设向量对应的复数
(1) 若在虚轴上，求实数的值及
(2) 若在第二象限内移动，求的取值范围；
(3) 若的终点在直线上，求的值。

16.(1)已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，求实数的值；
(2)复平面两点分别对应1和，复数在线段上移动，求对应的轨迹。

能力提高
17.(1)已知，求证；
(2)已知，求。

18.设关于的方程至少有一个根的模等于1，求实数的范围。

19.已知，且，求

20.证明：在复数范围内，方程无解。

数学教研组 22

第12章 空间直线与平面
考点归纳
数学研究的对象是——数量关系和空间形式，其中“空间形式”主要是由立体几何研究的，所以从某种意义上来说，立体几何在中学数学中占有“半壁江山”。本章内容是立体几何的基础，在上海近五年的高考中，立体几何作为重要考点，题型覆盖选择、填空和解答，通常属于中等难度题，其中空间角和空间距离的计算、空间直线与平面位置关系的判定被列为考查重点。

12.1 平面的基本性质
复习目标
1.学会归纳平面基本性质，并利用性质证明相关推论
2.掌握确定平面的方法
3.掌握三条公理及其推论
概念梳理
1.平面的基本概念
（1）平面的特点 无限延伸.
（2）平面的表示方法 希腊字母写在代表平面的平行四边形的一个角上.
2.平面的基本性质
（1）公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
（2）公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过这个点的
公共直线.
（3）公理3 经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且仅有一个平面.
推论2 过两条相交直线，有且仅有一个平面.
推论3 过两条平行直线，有且仅有一个平面.
基础训练

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
H
N
E
F
M

图12-1-1

综合训练

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
G
·
·

图12-1-2

A
B
C
D
·
M
·
N
·
P
·
S

图12-1-3

A
B
C
E
F
G
H
D
P

图12-1-4

能力提高

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12.2 空间直线的位置关系
复习目标
1.理解空间直线的各种位置关系
2.掌握异面直线的定义，会用反证法证明两条直线的异面关系
3.理解异面直线所成角及距离，掌握异面直线所成角求法
概念梳理
1.空间两条不重合直线的位置关系
（1）位置关系 平行、相交、异面.
（2）平行直线 同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线.
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.
等角定理 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线
所成的锐角（或直角）相等.
推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等或互补.
（3）异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线.
2.空间角和空间距离
（1）异面直线所成角 在空间任意取一点，分别作这两条异面直线的平行线所得
到的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角(0,900].
求解 选取某一特殊点，通过平移，求出异面直线所成角.
（2）异面直线间距离 两条异面直线之间的公垂线段的长度.
公垂线 和两条异面直线都垂直相交的直线.
求解
公垂线法 找出两异面直线的公垂线，再计算公垂线长度.
线面平行法 过其中一直线作和另一直线平行的平面，则异面直线的距离转化为线到面的距离.
面面平行法 作出过两异面直线的两个平行平面，则异面直线的距离转化为两平行平面间距离.
基础训练

综合训练

A
C
B
D

图12-2-1

P
A
B
C
D
E

图12-2-2

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O

图12-2-3

S
B
C
A
·
E
·
F
图12-2-4

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
·
·
F

图12-2-5

P
B
C
A
·
E
·
F

图12-2-6

能力提高

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q

图12-2-7

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
O

图12-2-8

数学教研组 28
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12.3直线与平面的位置关系
复习目标
1.理解直线与平面的各种位置关系
2.掌握直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理
3.掌握直线与平面所成角的定义以及求法
概念梳理
1.直线与平面的位置关系
（1）位置关系 平行、相交、直线在面内.
（2）平行 直线与平面没有公共点.
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
（3）垂直 一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的每一条直线都垂直.
判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这个直线垂直于这个平面.
性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线互相平行.
2.空间角和空间距离
（1）直线与平面所成角 直线与它在平面内的射影的夹角[0,900].
斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长
相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影也较长
垂线段比任何一条斜线段都短
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这个斜线在这个平面内的射影垂直.
（2）直线到平行平面的距离 找到直线和它的平行平面的公垂面，过直线和公垂面的垂足，向平面引垂线段，垂线段长度即为所求.
基础训练

A
B

图12-3-1

D

A
B
C
E
A
B
C
D
E
F
G
H

图12-3-2 图12-3-3

综合训练
A
B
C
D
E
F
G
H

图12-3-4

P
A
B
C
D
M
N

图12-3-5

A
B
C
A1
B1
C1
M

图12-3-6

V
C
B
A
E
H

图12-3-7

A
B
C
D
E

图12-3-8

能力提高
P
A
B
C
E
F

图12-3-9

A
B
C
D
A
D
C’(C)
B

图12-3-10

数学教研组 40
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12.4两平面的位置关系
复习目标
1.理解两平面的各种位置关系
2.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理
3.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理
4.理解二面角的定义，掌握求二面角大小的方法
概念梳理
1.平面与平面的位置关系
（1）位置关系 平行、相交.
（2）平行 两个平面没有公共点.
判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
（3）垂直 两个平面相交，并且所成的二面角是直角.
判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个面.
2.空间角和空间距离
（1）二面角 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，以棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线构成的角叫二面角的平面角[0,1800].
求解
定义法 在棱上取一点，过这点在两个平面内分别作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角.
垂面法 过二面角内一点作一个平面与二面角的棱垂直，该平面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.
（2）两平行平面间距离 在一个平面内任取一点，作它到另一平面的垂线段，垂线段长即为所求.
基础训练

图12-4-2
D
C
A
B

D
F
A
B
C

E

图12-4-1

综合训练

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
图12-4-3
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

图12-4-3
A
B
C
D
M
N
P

图12-4-4

P
C
B
A
N
F
M
G
E

图12-4-5
S
A
B
C

图12-4-6

A
B
C
F
D
E
G

图12-4-7

能力提高
A
C
B
A1
C1
B1
D

图12-4-8

A
B
C
A1
B1
C1
E
F