孤立奇点.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第五章 留数,1,孤立奇点,2,留数,3,留数在定积分计算上的应用,1,孤立奇点,1.,可去奇点,2.,极点,3.,本性奇点,4.,函数的零点与极点的关系,5.,函数在无穷远点的性态,3,奇点,:,不解析的点,例,函数,f,(,z,),在,z,0,不解析,但在,z,0,的某个去心邻域,内处处解析,则,z,0,为,f,(,z,),的,孤立奇点,。,例,具有奇点,z,=0,故,z,=0,不是孤立奇点,.,由于函数,f,(,z,),在它的孤立奇点,z,0,的去心邻域内,处处解析，因此可展成洛朗级数。下面根据展开,式的不同情况对孤立奇点进行分类：,此时,f,(,z,),在,z,0,的去心邻域内的洛朗级数为：,如果在洛朗级数中不含,奇点,z,0,称为,f,(,z,),的,可去奇点,。,的负幂项，则孤立,1.,可去奇点,5,的和函数为,F,(,z,),，则,F,(,z,),在点,z,0,解析,且,假设幂级数,此时，,即若对,f,(,z,),补充定义：,f,(,z,0,)=,c,0,则,f,(,z,),在点,z,0,解析。故称,z,0,为,f,(,z,),的,可去奇点,。,存在且有界,例 函数 在,z,=0,的去心领域内的洛朗级数,中不含负幂项。,若约定 在,z,=0,的值为,1(,即,c,0,),，则它在,z,=0,处就解析了。,2.,极点,则孤立奇点,z,0,称为函数,f,(,z,),的,m,级极点,。,如果在洛朗级数中只有有限多个,其中关于,即,的负幂项,的最高幂为,or,m,阶极点,8,其中,上式也可写成,在,内是解析的函数,且,。,反之,若函数,f,(,z,),能表示为,(5.1.1),的形式，且,g,(,z,0,),0,则,z,0,是,f,(,z,),的,m,级极点。,注 如果,z,0,为,f,(,z,),的极点,由,(5.1.1),式,就有,例,一级极点。,z,=1,三级极点,3.,本性奇点,它含有无穷多个,z,的负幂项。因而,z,=0,为它的,本性奇点。,如果在洛朗级数中含有无穷多个,则孤立奇点,z,0,称为,f,(,z,),的,本性奇点,。,的负幂项,例,在点,z,=0,可展成洛朗级数：,11,在本性奇点的邻域内,f,(,z,),有以下性质：,如果,z,0,为函数,f,(,z,),的本性奇点,则,例,不存在且不等无穷,12,通过 来判断孤立奇点的类型：,可去奇点,极点,本性奇点,不存在且不为,无法判断阶数！,13,4.,函数的零点与极点的关系,不恒等零的解析函数,f,(,z,),若能表成,其中,则,z,0,称为,f,(,z,),的,m,级零点,。,例,若,f,(,z,),在,z,0,解析，则,z,0,是,f,(,z,),的,m,级零点,在,z,0,解析且,m,为正整数,z,=0,与,z,=1,是它的一级与三级零点。,判断零点,14,定理,如果,z,0,是,f,(,z,),的,m,级极点，则,z,0,就是,的,m,级零点，反过来也成立。,g,(,z,),在,z,0,解析，且,解,题,思,路,也在,z,0,解析，且,z,0,是,的,m,级零点,例,1,函数,有些什么奇点？如果是极点，指出,它的级。,解,函数,1/sin,z,的奇点显然是使,sin,z,=0,的点。,显然它们是孤立奇点。,由于,所以,都是,sin,z,的一级零点,也就是,的,一级极点。,16,故,z,=0,为,的,1,级极点。,例,2,函数 具有孤立奇点,z,=0.,z,=0,为其极点,.,例,下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出,它的级。,解,1),显然,是三级极点，,是二级极点。,所以,是可去奇点。,18,例,下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出,它的级。,解,3),显然,是函数的奇点。,所以,是六级极点。,19,5.,函数在无穷远点的性态,如果函数,f,(,z,),在无穷远点,z,=,的去心邻域,R,|,z,|,内解析，称点,为,f,(,z,),的孤立奇点,。,由,f,(,z,),在,R,|,z,|+,内解析，所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,即有,主要部分,例,20,f,(,z,)在,R,|,z,|2,时，,的极点。显见当,。所以,不是,时，,的孤立奇点，,例,判定,z,=,是下列函数的什么奇点？,解,(1),所以,是可去奇点。,所以,是本性奇点。,所以,是可去奇点。,31,通过 来判断孤立奇点的类型：,可去奇点,极点,本性奇点,不存在且不为,无法判断阶数！,定理,如果,z,0,是,f,(,z,),的,m,级极点，则,z,0,就是,的,m,级零点，反过来也成立。,32,i),可去奇点,ii),m,级极点,iii),本性奇点。,i),可去奇点,ii),m,级极点,iii),本性奇点。,主要部分,函数在无穷远点的性态,