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如何利用《几何画板》作图 山蛋泡温泉编辑整理
如何利用《几何画板》作图

在中学数学教学工作中，我们经常会遇到需要画图的情况．笔者以自己在工作中所遇到的实际问题为例，说明如何应用几何画板画出符合要求的图形，并简要说明这些画图方法正确及可行的理论依据．
一 画简单的几何图形
1．按已知条件画几何图形
例1．已知：梯形ABCD中．AD∥BC．AB=AD+BC．E是CD的中点．求证：AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC．
如图1，我们可以从已知条件出发，按照以下操作步骤，画出符合例1的题意的图形．
（1）画出腰AB和两底所在的射线；
（2）在线段AB上任取一点F，分别以点A、B为圆心，以AF、BF长为半径作圆，与两底所在的射线交于点D、C．显然，AD+BC=AB．
（3）取线段CD的中点E，连结AE、BE；
（4）将作图过程中的辅助图形隐藏，即可得到符合题目要求的图形（如图2）．

图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
2．从结论出发画几何图形
若要证明的命题的逆命题也成立，则可以从结论出发画出几何图形．
仍以例1为例．例1的逆命题是：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB和∠CBA的平分线交于点E，点E恰好在腰CD上．则：AB=AD+BC，E是CD的中点．
显然，∠AEB=90°．如图3，设线段AB的中点是点G，连结EG，则AG=EG，即：∠AEG=∠EAG=∠EAD．所以AD∥EG，因此，CE=DE，AD+BC=2EG=AB．
由于例1的逆命题是真命题，所以我们可以从例1的结论出发画出符合题意的几何图形．画图步骤如下：
（1）如图4，画出腰AB和两底所在的射线；
（2）作∠A和∠B的角平分线，交于点E；
（3）在一底所在的射线上任取一点C，作射线CE，交另一底所在的射线于点D；
（4）连结相关线段，并将作图过程中的辅助图形隐藏，即可得到符合题意的图形．
从以上例题可以看出，平面几何作图问题通常可以化归为确定某些点的位置的问题．而一个点的位置往往是由两个条件决定的．如果放弃了条件2，让这个点按照条件1而运动起来，即可以生成轨迹1；同样的，如果放弃了条件1，让这个点按照条件2而运动起来，即可以生成轨迹2．轨迹1和轨迹2的交点即为符合题意的点．通常情况下，这个点往往是两条直线的交点，或一条直线与一个圆的交点，或两个圆的交点．这种作图方法叫做轨迹交截法，简称交轨法．
作为练习，读者可以试一试画出符合下题题意的图形．
如图5，梯形ABCD中，∠ADC＝90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是BC的中点．求证：CD=CE． 图（5）
二 检验几何命题的正确性
有时我们费尽心机地试图证明一个几何命题，结果却发现这是个假命题．我们能否尽力避免这一情况的发生呢？几何画板可以准确快速地画出动态图形，并且在图形的运动变化中保持给定的几何性质不变．因此，我们可以利用几何画板来检验几何命题是否正确．
例2．以任意三角形的三条中线为边，可以构成新的三角形．以任意三角形的三条角平分线（或高）为边，能否构成新的三角形呢？
用几何画板画图进行验证．如图6，AD、BE、CF分别是△ABC三个内角的角平分线．以点B为圆心，以CF长为半径画圆；以点E为圆心，AD长为半径画圆．拖动点A，改变△ABC的形状，发现两圆不一定有交点．这说明：以任意三角形的三条角平分线为边，不一定能构成三角形．用类似方法可以验证以任意三角形的三条高为边，不一定能构成三角形（如图7）．

图（6） 图（7）
三 画函数图象
1．画定义域为R的函数的图象
例3．画函数y=x2+3x－2的图象．
在几何画板中选择“图表”菜单中的“绘制新函数”命令，然后在弹出的对话框（如图8）中直接输入函数解析式“x^2+3x－2”，再按“确定”按钮，即可以画出函数图象（如图9）．

图（8） 图（9）
2．画定义域为限定区间的函数的图象
例4．画函数y=x2+3x－2（－4≤x≤1．5）的图象．
将鼠标指针移动到上面画出的函数图象上，然后按鼠标右键，选择“属性”命令，在弹出的对话框（如图10）中指定自变量x的取值范围．将x的取值范围改成－4≤x≤1．5后，相应的图象变为如图11所示的一段曲线．

图（10） 图（11）
如果只需要粗略地指定限定区间，可以用鼠标选择函数图象上的箭头，然后按住鼠标左键拖动即可．
四 画复杂的几何图形
1．用自定义工具画图
“几何画板”允许用户创建自定义的工具，这使简单图形（如图12）的绘制可以非常快捷，也使绘制由一系列重复的简单图形构成的复杂图形（如图13）成为可能．用户还可以用复杂图形（如图14）创建新的“自定义工具”，从而大大降低绘图工作的劳动强度，节约大量的时间．
创建用户自定义工具的方法如下（以创建画正方体的工具为例）：
（1）在几何画板中画一个正方体（如图12）；
（2）选择这个正方体的所有顶点和棱；
（3）点击几何画板窗体左侧的“自定义工具”按钮，选择“创建新工具”命令；
（4）在弹出的对话框（如图15）中将工具名称改为正方体．然后按“确定”按钮．
（5）点击几何画板窗体左侧的“自定义工具”按钮，就可以看到新建立的“正方体”画图工具．
这样建立的自定义工具存储在当前几何画板文件中，所以只有在当前几何画板文件打开时才能使用．如果要求能在几何画板文件不打开时也能使用存储在其中的自定义工具，必须将这个文件保存在几何画板可执行文件（．exe文件）所在目录的“Tool Folder”子目录中．

图（12） 图（13） 图（14） 图（15）
2．用“迭代”的方法画图
例5．如图16，OA=OB，将线段OA和OB分成n等分，按照图中的方法连结．包络围成的图形是什么？

图（16）
这是一个典型的“参数迭代”构造．操作过程如下：
（1）选择“图表”菜单中的“新建参数”命令，新参两个参数n和t1．其初始值分别为5和0．参数t1将作为迭代的初始值；
（2）选择“度量”菜单中的“计算”命令，分别计算t1+1、，n－2．其中t1+1指定迭代的步长为1，指定缩放比例，n－2指定迭代次数为3．
（3）画线段OA、OB；
（4）双击点O或选择点O后再选择“变换”菜单中的“标记中心”命令，将点O设定为缩放的中心．选择，然后选择“变换”菜单中的“标记比值”命令，将的值设为缩放参数．

图（17） 图（18）
（5）选择点A，然后选择“变换”菜单中的“缩放”命令（如图17），将点A以点O为中心，以为缩放参数进行缩放，得到点A’；
（6）用同样的方法将点O以点B为中心，以为缩放参数进行缩放，得到点O’；
（7）连结A’O’；
（8）依次选择t1和n－2，然后按住<Shift>键，并选择“变换”菜单中的“带参数的迭代”命令．弹出对话框后，用鼠标选择t1+1，将它指定为迭代的初象（如图18）．
（9）按“迭代”按钮退出，即可得到如图16所示的图形．
（10）选择n，然后按“＋”或“－”键，可以增大或减小n的值．图19是当n=20时的图象．

图（19）
五 经典尺规作图题
尺规作图问题以其工具的简单、规则的简洁和问题本身的高度挑战性而吸引了无数数学爱好者去研究．三大尺规作图不能问题更成为经典中的经典，时至今日仍不时有人宣称解决了三等分角问题．下面我们也来研究一个经典的尺规作图问题：求作线段AB的（n是正整数）．
据报道：1995年夏季学期，美国格林法姆学校的两名相当于中国初中二年级的学生David Goldenheim和Dan Litchfiled在完成老师布置的“把一条给定的线段分成任意等份”的几何任务时，发现了“任意等分线段”的新方法，在这以前人们通常采用欧几里德在2500年前所用的方法，他们的构造（已经被命名为GlaD构造）是“自古以来第二种构造等分的方法”．不仅如此，他们还发现了构造Fibonacci序列的独创方法．为此，还和他们的辅导老师Dietrich应邀参加NCTM的74、75次年会，并应邀在“技术与数学”第12次年会上发言，这也是该会议中的一次邀请学生进行演讲．而这一切并没有使用传统工具直尺和圆规，完全是在GSP的帮助下完成的．
“50%的数学知识是1940年以后出现的，而在这其中99．9%是由博士级的人物发现的．Dan和David的发现是非常值得注意的，因为这些发现可以运用中学数学知识通过第三种方法证明：代数、几何、推理．”[1]
GlaD构造的简化画法如下（如图20）：

图（20）
（1）以线段AB为一边构造一个矩形ABCD；
（2）连结AC、BD，相交于点E2；
（3）过点E2作E2F2⊥AB，点F2为垂足，则AF2=AB；
（4）连结DF2，交AC于点E3；
（5）过点E3作E3F3⊥AB，点F3为垂足，则AF3=AB；
……
依次类推，可以作出线段AB的4等分点、5等分点……n等分点．
Glad构造确实简洁精妙，然而将之称为“自古以来的第二种构造等分的方法”未免言过其实．事实上，早在18世纪，数学家白朗松便提出了如下更简洁、漂亮的解法（如图21）[2]：

图（21）
（1）在直线AB之外任取一点P，连结AP、BP；
（2）在线段AP上任取一点D，作DC∥AB，交BP于点C；
（3）连结AC、BD，相交于点E2，作射线PE2交线段AB于点F2，则AF2=AB；
（4）连结DF2，交线段AC于点E3，作射线PE3交线段AB于点F3，则AF3=AB；
……
显然，如果点P位于无限远处，白朗松构造变成了Glad构造．即Glad构造是白朗松构造的特例．

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