傅立叶积分变换.doc

第一章 傅里叶积分变换
积分变换简介
所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种
变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：

这里是要变换的函数，称为原像函数；是变换后的函数，称为像函数；是一个二元函数，称为积分变换核 .
数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，
其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.
§1.1 傅里叶级数与积分
1．傅里叶级数的指数形式
在《高等数学》中有下列定理：
定理1.1 设是以为周期的实函数，且在上满足狄利克雷条件，即在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有
(1)
其中,
,
,
在间断点处，(1)式右端级数收敛于 .
又,,.于是

令 , , 则

(2)
(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.
容易证明可以合写成一个式子 ,即
. (3)
2．傅里叶积分
任何一个非周期函数 , 都可看成是由某个周期函数当T→+∞时转化而来的. 即
.
由公式(2) 、(3)得
,
可知
,
令,则或 .
于是
,
令
,
故
. (4)
注意到当即时, .
从而按照积分的定义，（4）可以写为：
，
或者
. (5)
公式（5）称为函数的傅氏积分公式.
定理1.2 若在(-∞, +∞)上满足条件:
(1) 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即收敛, 则（5）在的连续点成里; 而在的间断点处
应以来代替.
上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式(5)
可以写为三角形式，即
(6)
§1．2 傅里叶积分变换
上一节介绍了：当 满足一定条件时，在的连续点处有：
.
从上式出发，设
(1)
则
(2)
称(1)式，即为的傅里叶变换简称傅氏变换,记为
F.

称(2)式，即为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为
F[].
(1)式和(2)式，定义了一个变换对和也称为的像函数；为的原像函数 ,还可以将和用箭头连接: .
例1 求函数的傅氏变换及其积分表达式其中 .这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.
解:根据定义, 有
====.
这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有

注意到， 上式可得
.
因此

例2 求的傅氏变换其中 ---钟形脉冲函数.
解: 根据定义, 有
,
.
这里利用了以下 结果： .
2．傅里叶变换的物理意义
如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式
,,
以及和的表达式
,,
由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换又称为的频谱函数, 而它的模称为的振幅频谱(亦简称为谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数是角频率的偶函数, 即,的辐角称为相角频谱, 显然
,
相角频谱是的奇函数.
例3 求单个矩形脉冲函数的频谱图.
解：,
频谱为.
请画出其频谱图.
以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！

§1.3 单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac）函数，简记为一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.
下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.
1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流, 以表示上述电路中的电荷函数, 则

由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
,
所以, 当时, 0;当时,由于不连续, 从而在普通导数意义下, 在这
一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得
(),
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.

1 单位脉冲函数的定义
定义1 如果函数称满足
,（当时）
，或者，其中是含有的任何一个区间，则称为一函数.
. 更一般的情况下,如果函数满足
,（当时）
，或者，其中是含有的任何一个区间，则称为函数.
在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数

则脉冲函数的极限为
=,
而把的积分理解为
==.
特殊情况下,时有

于是
=
==.
一般工程上都称一函数为单位脉冲函数,将一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示一函数的积分值,称为一函数的强度.
下面我们推出一函数的一个重要结果,称为一函数的筛选性质:
若为连续函数,则有
=. (1)
更一般情况,有
= (2)
其中在处连续.
由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换.
F==
可见, 单位脉冲函数与常数1构成了一傅氏变换对；同理, 和亦构成了一个傅氏变换对.
同时，若时，则由傅氏逆变换得
==
故1和也构成了一个傅氏变换对。同理，和亦构成了一个傅氏变换对.
需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.
根据傅氏积分公式，函数能取傅里叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积即，
实际上这个条件非常强，它要求条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如常数、符号函数、单位阶跃函数及正余弦函数等都不满足绝对可积的条件! 如此一来，较强的条件使得傅里叶变换的应用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.
例1 证明单位跃阶函数的傅氏变换为.
证明：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 事实上，若,则

+

为了说明，就必须计算积分，由积分，有

将此结果代入的表达式，当时，可得

这就表明的傅氏变换为，因此，和构成了一个傅氏变换对。所以单位跃阶函数的积分表达式可以写成
，
例2 求正弦函数 的傅氏变换.
解：=

=.
即F{}=.同理，可得
F{}=
注：我们介绍一函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性.

§1．4 傅里叶变换的性质

为了能更好的用傅里叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握. 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1．线性性质设分别是的傅氏变换，即
,
其中是两个常数，则
(3.19) .
逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质.
2．位移性质 设F，则对于实常数有
F
显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！
同理可得F
推论 设F，则对于实常数，有
F，
F.
提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明.
3．微分性质 如果 在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点, 且当时,
→0, 则FF.
证明：根据定义，得
F
F.
一般地，如果在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点, 且当时, 有

则FF.
类似地可推得象函数的导数公式：
F.
4．积分性质 如果当时, 则
FF.
5．对称性质 若F，则
F,
特别地，若偶函数，则
F.
思考题：若F，问F?
6．相似性质 若F,则对于非零实常数，有
F,
特别地，若 ,则F,称为翻转性质.

§1．5 卷 积
卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用. 下面着重介绍卷积概念与卷积定理.
1．卷积
定义 设函数 在整个数轴上有定义, 则

称为函数与的卷积, 记为.即
=.
2．卷积的性质
2.1 交换律
2.2 结合律 .
2.3 分配律 .
2.4 卷积满足如下不等式
思考题：问
例1 设 求.
解 代入定义,计算积分
=

3．卷积定理
卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主要体现在卷积定理上.
定理 7.3 设 满足傅氏积分定理中的条件，记F，F，则
F.
证明：根据定义，有
F

.
类似地，可以证明
F
可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.
例2 若, 求F.
解：法一,用卷积定理:
FFF

而由卷积定理,又有
FFFFF
FF.
同理可得由此,最终可得
F.
法二,用位移公式:
FF

.
例3 若,求F.
解：因为
F
所以由位移公式
FF

傅里叶积分变换内容小结
一、概念、术语
傅里叶积分变换（正变换，逆变换）；
原象函数，象函数；δ函数（单位脉冲函数）；
卷积；频谱函数；能量谱密度*，相关函数*
二、公式、定理
傅里叶积分公式； δ函数性质；
傅里叶积分变换性质（线性，微分公式，
积分公式，位移公式）
卷积定理；
三、基本运算
用定义直接求简单函数的傅里叶变换
用积分变换的性质、卷积定理并结合变换表间接求稍复杂些函数的变换
积分变换求解微分方程
§1.6 傅里叶变换的应用
首先可以用傅里叶变换求解微分积分方程，运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微（积）分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到原方程的解. 另外, 傅氏变换还可以用来求解一些数学物理方程.
例1 求解微分积分方程

其中均为常数.
解：设F,F,则
,
故
.
例2 求解常微分方程

解：记F, F, 那么方程两端同取傅里叶变换，并注意到
条件及线性关系、微分公式，得到：

即

从而将未知函数的常为微分方程化为其象函数的代数方程。求解，得

最后，取逆变换，并应用卷积定理和查表 ，得
FF
FF
.
其次, 我们要介绍傅氏变换与逆变换在电路与通讯等方面的应用.
如对于图1中所示的串联电路, 由电流与电阻上的电压、电感上的电压及电容上的电压满足如下的关系式
, (1)
用、分别表示电压、电流的傅氏变换, 则由傅氏变换性质, 有
, (2)
而得复阻抗
(3)
对于串联电路, 因为
, (4)
则是此电路的等效复阻抗. 对于并联电路, 因
, (5)
而是此电路的等效复阻抗. 以上复阻抗与使用复数欧姆定律求得的是相同的. 对于图1所示的RLC串联电路, 其总复阻抗为
, (6)
以、分别表示输入电压、输出电压的傅氏变换, 则
,
因而得串联电路的频率特性
(7)
,
其中

如果将(7)式中的代以, 便得传递函数
. (8)
现在介绍用复数欧姆定律来求电路的频率特性. 若电路中某元件(如电阻、电感、或电容)的实电压、实电路分别为、, 这里、表示了与得位相情况, 而
, (9)
叫做复电压与复电流, 其中. 对于电阻, 当, 则
，
对于电容, 当, 则
，
对于电感, 当, 则

，
将上述用余弦函数表示的实电压、实电流均表示成指数形式的复电压、复电流, 则分别得到、、上的复阻抗
, (10) ,, (11)
,, (12)
以上三式中复电压、复电流、与复阻抗的关系式就称为复数欧姆定律, 其中所求的的复阻抗与用傅式变换求得的复阻抗表示式(4.3)完全一样. 由此同样可得串联电路的频率特性, 如(4.7)式所示.
如果输入实电压, 则复电压, 从(4.7)即得输出复电压
, (13)
将上式取实部, 便得输出实电压即图5.2.1中电容上的电压的稳态量
. (14)
这里所说电压的稳态量是指当时间足够长后电压的近似值.
此外, 从上述串联电路的频率特性还可列出描述电路的微分方程,由(7), 可得
,
即
,
所以输出复电压满足复形式的微分方程
, (15)
将上式两边取实部, 便得输出电压所满足的微分方程
, (16)
而(4.14)式所示电压的稳态量实际上是非齐次微分方程(16)的一个特解, 略去了齐次方程的那一部分解(当时间足够长, 这种解将衰减接近于0).
其次, 考虑一种最简单的低通滤波器, 如图2所示, 当输入电压时, 电感上的阻抗为, 电容上的阻抗为. 当频率较低时, 小, 而大, 因此低频率部分的信号较易通过, 不易通过, 当频率较高时, 大, 小, 因此高频率部分的信号不易通过, 这样通过负载电阻的主要是低频信号. 这种特性也可从电路的频率特性看出, 以、分别表示输入复电压与输出复电压, 而图5.4.1并臂上的复阻抗与串臂上的复阻抗分别为
,
又电路的总复阻抗为
,
根据复数欧姆定律, 、, 因此图5.4.1中电路的频率特性为
(17)
,
.
由于, 从上式可得输出复电压
, (18)
而输出实电压的稳态量为
(19)
,
从上式看出: 当很大时, 的振幅比输入电压的振幅小得多, 而当很小时, 的振幅接近于, 这也说明了突2中所示的电路是一种低通滤波器. 另外, 从(17)式, 有
,
由此即可得到输出电压所满足的微分方程
. (20)
下面介绍傅氏变换在无线电通讯中的某些应用. 在近代通讯中, 一种传递信号的重要方式是借助于高频电磁波在空间中进行传播, 如短波无线电话就是这样, 其中还要用到连续信号或脉冲的调制和调解, 而在数学理论上则要使用复式分析的方法. 在§2例4中所述的调幅信号就是对连续信号用较高频率的余弦波进行调制, 而脉冲调制是用需要传输的消息信号去调制一串矩形脉冲的某些参量(如幅值、相位等)随消息信号的强弱而变化, 以下, 我们只讨论脉冲调幅. 为此, 我们来叙述和证明时间抽样定理:
设是一个连续信号, 其频率不超过赫兹, 即其频谱在时为0, 则可以由在时间上离散的、相互间隔为秒的瞬时值完全确定, 并且有
. (21)
为了导出(21)式, 先对作傅式变换, 有
(22)
又
, (23)
对在上进行以为周期的开拓, 这样就可将在上展成复数形式的复式级数:
, (24)
其中
, (25)
将(4.25)与(4.23)进行比较, 可知
. (26)
因此有了样点值, 便得, 再代入(24), 就可求得, 即
, (27)
将(27)代入(23), 有
(28)

,
这就是(21)式.
从(21)式看出: 由信号的一串样点值可以完全确定, 但在实际通信系统中的信号都是限制在间隔的某段有限时间内, 称为信号的持续时间, 而在其他时间内的信号可忽略不计, 因此, 信号可由间隔为的时间内、相隔为的有限个函数值所决定. (21)式中的称为抽样函数, 它在处为0, 而在处为1, 幅度随的增大而衰减, 当时,信号幅度衰减到以下. 又的频谱函数为
(29)
其频谱图如图3所示的矩形. 又

的频谱函数, 由于, 可知与的频谱图是相同的, 、称为上边频与下边频.
由于通常的音频信号的频率范围在300到3400赫兹之间, 即其频谱分布在一个有限范围内, 于是由时间抽样定理, 可知此频谱有限的连续信号能由一串离散的样点值来表示, 但取样的频谱要选得适当, 使未调矩形脉冲的重复频谱与取样频谱相同, 而取样频谱为.
今考虑幅度为1, 宽度为, 周期为的矩形脉冲, 作为取样脉冲, 即
(30)
又
, (31)
其中为重复圆频谱. 以表示调制信号, 调制过程实际上就是与相乘的过程, 即
(32)
设的频谱函数
(33)
这里是上边频与下边频. 由(31), 有
, (34)
其频谱函数为
（35）
,
当时, 其频谱函数为, 与得频谱函数只差一个常数倍; 当时, 其频谱函数为, 相当于将的频谱函数乘以常数因子, 并在频率轴上向右移动; 对的其余情形可类似讨论. 只要, 则各块频谱图不会重迭(见图4).
如果将已调幅的脉冲通过频谱函数近似于, 当, 当的低通滤液器. 由于、恰为调制信号的上边频与下边频, 所以只要, 则已调幅的脉冲通过此滤波器后再放大倍, 就还原为调制信号. 还要指出: 在通常情形下, 并不能直接把调幅脉冲发送出去, 还要进一步将每一个调幅脉冲转换成一组等幅矩形脉冲, 这个过程叫做脉冲编号, 最后用编码脉冲对高频振荡进行调制, 这样才能将已调波通过空间高频电磁波传播出去, 在接受端将收到的已调波进行调解, 即经过低通滤波器, 可滤掉高频振荡, 而得原矩形编码脉冲.