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第八讲 由常量数学到变量数学
数学漫长发展历史大体历经四个时期：以自然数、分数体系形成萌芽期；以代数符号体系形成常量数学时期；以函数概念产生变量数学时期；以集合论为标志现代数学时期．
函数是数学中最重要概念之一，它是变量数学标志，“函数”是从量侧面去描述客观世界运动变化、互相联系，从量侧面反映了客观世界动态和它们互相制约性．
函数基本知识有：与平面直角坐标系有关概念、函数概念、函数体现法、函数图象概念及画法．
在坐标平面内，由点坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相转换最基本形式．点坐标是解决函数问题基本，函数解析式是解决函数问题核心，因此，求点坐标、探求函数解析式是研究函数两大重要课题．
【例题求解】
【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P个数为 ．
思路点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x方程．
注： 点坐标是数与形结合桥梁，求点坐标基本措施有：
(1)运用几何计算求；
(2)通过解析式求；
(3)解由解析式联立方程组求．
【例2】 如图，向放在水槽底部烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度与注水时间之间函数关系，大体是下图象中( )
思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高．
注： 实际生活中量与量之间关系可以形象地通过图象直观地体现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中涉及着丰富图象信息，要善于从图象形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．
【例3】 南方A市欲将一批容易变质水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运送方式，现只可选用其中一种，这三种运送方式重要参照数据如下表所示：
运送工具
途中速度(千米／时)
途中费用(元／千米)
装卸费用(元)
装卸时间(小时)
飞机
200
16
1000
2
火车
100
4
4
汽车
50
8
1000
2
若这批水果在运送(波及装卸)过程中损耗为200元/小时，记A、B两市间距离为x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分别体现使用飞机、火车、汽车运送时总支出费用(波及损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间函数关系式．
(2)应采用哪种运送方式，才使运送时总支出费用最小?
思路点拨 每种运送工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先拟定自变量特定值，通过讨论选用最佳运送方式．
【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C坐标为(2，8)．
(1)画出符合题目条件菱形与直角坐标系；
(2)写出A、B两点坐标；
(3)设菱形ABCD对角线交点为P．问：在y轴上与否存在一点F，使得点P与点F有关菱形ABCD某条边所在直线对称，如果存在，写出点F坐标；如果不存在，请阐明理由．
思路点拨 (1)核心是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD大小；(2)运用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只也许有关直线DC对称．
注：建立函数关系式，事实上都是根据具体实际问题和某些特殊关系、数据而抽象、归纳建立函数模型．
【例5】 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上中点，若P为AB边上一种动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF公共某些面积为y．
(1)当AP＝3cm时，求值；
(2)设AP=cm时，求y与x函数关系式；
(3)当y=2cm2，试拟定点P位置．(天津市中考题)
思路点拨 对于(2)，由于点P位置不同，y与x之间存在不同函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．
注：拟定几何元素间函数关系式，一方面是借助几何知识与措施把相应线段用自变量体现，再代入相应等量关系式，需要注意是：
(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；
(2)拟定自变量几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想措施．
学力训练
1． 如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点坐标 ．
2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重叠)，当点C坐标为 时，使得由点B、O、C构成三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件点坐标)．
3．根据指令[S，A](S≥0，0°<A<180°)，机器人在平面上能完毕下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对x轴正方向，(1)若给机器人下了一种指令[4，60°]，则机器人应移动到点 ；(2)请你给机器人下一种指令 ，使其移动到点(一5，5)．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴夹角为60°，且点A坐标为(一2，0)，点B在x轴上方，设AB＝，那么点B横坐标为( )
A． B． C． D．
5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别体现小军和爸爸离开山脚登山路程(米)与登山所用时间(分钟关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误是( )
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山速度比小军慢，10分钟之后登山速度比小军快
6．若函数自变量取值范畴为一切实数，则取值范畴是( )
A．m<l B．m=1 C． m>l D．m≤1
7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一种直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点坐标(不必写出计算过程)．
8．如图，用同样规格黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观测下图形并解答有关问题：
（1）设铺设地面所用瓷砖总块数为，请写出与(体现第个图形)函数关系式；
(2)按上述铺设方案，铺一块这样矩形地面共用了506块瓷砖，求此时值；
(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4)与否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算阐明为什么?
9．如图，在平面直角坐标系中有一种正方形ABCD，它4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数点)．
10．如图，已知边长为l正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与轴夹角为30°，那么点B坐标是 ．
11．如图，一种粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与轴、轴平行方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为 ．
12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在轴上拟定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件点P共有( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
13．已知点P坐标是(l，)，这里、是有理数，PA、PB分别是点P到轴和轴垂线段，且矩形OAPB面积为，则P点也许浮现象限有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．甲、乙二人同步从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同速度Vl与V2(Vi<V2)，甲用一半路程使用速度Vl、另一半路程使用速度V2；有关甲乙二人从A地达到B地路程与时间函数图象及关系，有图中4个不同图示分析．其中横轴体现时间，纵轴体现路程，其中对旳图示分析为( )
A．图(1) B．图(1)或图(2) C．图(3) D．图(4)
15．依法纳税是每个公民应尽义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元某些为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过某些多少按不同税率交税，具体税率如下表：
级别
全月应纳税所得额
税率(％)
1
不超过500元某些
5
2
超过500元至元某些
10
3
超过元至5000元某些
15
…
…
(1)某公民10月总收人为1350元，问她应交税款多少元?
(2)设体现每月收入(单位：元)，体现应交税款(单位：元)，当1300<x≤2800时，请写出有关函数关系式；
(3)某公司高档职工11月应交税款55元，问该月她总收入是多少元?
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC直角边相交于E，设AD=，△ADE面积为，当点D在AB上移动时，求有关之间函数关系式．
17．现筹划把甲种货品1240吨和乙种货品880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000元．
(1)设运送这批货品总费用为万元，这列货车挂A型车厢节，试写出与之间函数关系式；
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货品35吨和乙种货品15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货品25吨和乙种货品35吨，装货时按此规定安排A、B两种车厢节数，那么共有哪几种安排车厢方案?
(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?至少运费为多少元?
18．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系原点，A、B、C坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同步从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点达到自己终点时，另一点也停止运动．
(1)设从出发起运动了秒，如果点Q速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时坐标(用含代数式体现)；
(2)设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所通过路程之和正好为梯形OABC周长一半，①试用含代数式体现这时点Q所通过路程和它速度；②试问：这时直线PQ与否也许同步把梯形OABC面积也提成相等两某些?如有也许，求出相应值和P、Q坐标；如不也许，请阐明理由．
参照答案
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