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一阶逻辑语言
重点：一阶逻辑语言的构成及其解释。
引入：（1）命题逻辑的局限性举例。
（2）一阶逻辑的特点：指出命题的两个组成部分，即主语（subject）和谓语（predicate），并且讨论两种量词“所有”与“存在”。

1. 预备知识
为了介绍一阶逻辑语言及其解释，我们需要引入若干预备知识。
1） 集合
对象：客观存在的事物与主观存在的观念是我们思考和语言表达的对象，称为认知对象（cognitive object），简称对象（object）。
集合：集合是一些对象的全体，其中各对象称为该集合的元素。例如，所有整数的全体称为整数集合。若A是集合，x是A的元素，则记为。然而，并非任何对象的全体都能称为集合，例如，所有集合的全体不能再称为集合，否则会导致矛盾。假如任何集合都不以自己为元素，则所有集合全体不包含自己，所以所有集合全体不是一个集合。假如存在集合以自己为元素，则所有这样的集合全体不是一个集合。事实上，若所有不以自己为元素的集合全体T是集合，则

这个矛盾称为罗素悖论（Russell’s Paradox）。因此，并不是任何对象全体都是集合。

论域：一段论述所谈论的对象全体称为论域（universe或者domain），其中的对象称为个体（entity），它们是该论述中语句主语和宾语的所指。
例如，下面论述的论域是所有整数。
所有大于2的偶数都能分解为两个素数之和。
2） 关系
设D是非空集合。D上的关系定义如下：
一元关系：D的子集A称为D上的一元关系（1-ary relation）。其功能是表示D中元素的性质。 若A表示某性质，则表示x有该性质，而表示x没有该性质。
二元关系：D2的子集称为D上的二元关系（2-ary relation）。表示D中个体之间某种关系。
注：
设R是D上的二元关系。若，则称x与y具有或者满足关系R。
n-元关系：Dn的子集称为D上的n-元关系（2-ary relation）。

3） 函数
设D是非空集合。D上的n-元函数是从Dn到D的映射。注意，函数值任然是集合D中的元素。

我们的语言中经常出现函数。例如，在“整数x的因子还是整数”中，主语是一个函数f(x)。

2. 一阶逻辑命题的符号化
举例说明如下术语。
主词：相当于句子主语，指代论域中某个体或者任何个体。

谓词：相当于句子谓语，指代个体的性质或者个体之间的某个关系。指代n-元关系的谓词称为n-元谓词。例如，“直线a与b垂直”中的垂直是二元谓词。

量词：修饰主词的两种特殊定语，即表示“所有”的词语与表示“存在”的词语。

例2.1 课本第58页例4.4和4.5。

3. 一阶逻辑语言
一个一阶逻辑语言由如下三个部分组成。
1）符号表（alphabet）
非逻辑符号：
（1） 个体常元：若一个标识符固定地表示某个特定个体，则称为（个体）常元（constant）。可以是有限多个，包括0个，也可以是无限多。
a,b,c,…
（2） 函数符号：表示函数的符号。可以是有限多个，包括0个，也可以是无限多。
f,g,h,…
（3） 谓词符号：表示关系和性质的符号，也称为关系符。可以是有限多个，可以是无限多，但是不能是0个。
F,G,H,…

逻辑符号：
（4） 个体变元：表示某个体域中任何个体的符号。共有无限多个。
x,y,z
（5） 量词：共有两个不同的量词，即
“全称量词”，读作“所有（for all）”或者“任何（for any）”；
“存在量词”，读作“存在（there exists）”。
（6） 联结词：
（7） 界符：共有两种界符，即
逗号“，”，其作用是分隔并列的主词；
小括号，其作用是划定范围，即标记公式起讫位置和主词列表的起讫位置。

2）项（term）
该名称来自于数学公式中的项。在公式中，项是有完整意义的字符串。
（1） 个体常元与个体变元都是项。
（2） 若是函数符号且是项，则也是项，并且称为函项。
3）公式（formula）
定义3.3（原子公式）在某个一阶逻辑语言中，若R是谓词符号且是项，则把 称为该语言的原子公式。
注：原子公式可表示一个简单命题，其中谓词表示该命题的谓语，谓词后面的各个项表示该命题的主语。
定义3.4（合式公式）
（1）原子公式是合式公式。
（2）
（3）
（4）
一阶逻辑语言的合式公式也称为一阶逻辑公式或者谓词公式，简称公式。
定义3.5在公式中，跟在量词后面的个体变元x称为指导变元，公式A称为这两个量词的辖域。个体变元的约束出现和自由出现。约束出现的变元称为约束变元，自由出现的变元称为自由变元。
例3.6 课本第61页例4.6.
定义3.7 不含自由变元的公式称为封闭公式（closed formula）或者语句（sentence），含自由变元的公式称为开放公式（open formula）或者句型（sentential form）。
注：封闭公式表示一个语义完整的句子，而开放公式所表示的是一个等待填空的句型，没有确定的语义。
思考：谓词与一阶公式的关系。
（1） 任何一阶公式都含谓词。
（2） 任何一阶公式都可以视为一个谓词。含n个自由变元的一阶公式可视为n-元谓词。特别地，封闭公式可视为0-元谓词。
4. 一阶逻辑语言的解释
定义4.1 一阶逻辑语言的一个解释包括如下4个部分。
(a) 个体域：指定某个非空集合作为该语言个体变元的值域。
(b) 个体常元所指：将该语言中所有常元一一对应到个体域中的个体。
(c) 函数符号所指：将该语言中所有函数符一一对应到个体域上的函数。
(d) 谓词符号所指：将该语言中所有谓词符号一一对应到个体域上的谓词。
公式的解释：根据某个解释，对一个公式中的符号进行语义替换，所得的命题就是该公式的解释（interpretation），也称为语义（semanteme）。
例4.2 课本第62页例4.8.

定义4.2若在其任何解释下都为真的公式则称为永真式（或称逻辑有效式）；反之，在其任何解释下都为假的公式称为永假式（或称矛盾式）。

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