数学建模初等模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,初等模型,中国地质大学数学建模基地,第1页,初等模型,假如研究对象机理比较简单，普通用静态、线性、确定性模型描述就能到达建模目标时，我们基本上能够用初等数学方法来结构和求解模型。经过下面几个实例我们能够看到，用很简单数学方法就能够处理一些有趣实际问题。,第2页,第,二,章 初等模型,2.1,舰艇会合,2.2,公平,席位分配,2.3 双层玻璃窗功效,2.4 汽车刹车距离,2.5,崖高估算,第3页,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞飞 行,员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快,返回与其汇合并通报了航母当前航速与方,向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,2.1,舰艇会合,第4页,令：,则上式可简记成：,A(0,b,),X,Y,B(0,-,b,),P(x,y),O,航母,护卫舰,1,2,即：,可化为：,记,v,2,/,v,1,=,a,通常,a,1,则,汇合点 p必位于此圆上。,（护卫舰路线方程）,（航母路线方程）,即可求出,P,点坐标和,2,值。,本模型虽简单，但分析极,清楚,且,易于实际应用,第5页,2.2,公平席位分配,设有A、B两个单位，各有些人数 、个，现在要求按人数选出 个代表召开一次代表会议。那么怎样分配这 个席位呢？普通方法是令：,若 恰好是两个整数，就以 分别作为A，B两个单位席位数，即能够取得一个完全合理分配方案。当 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。,第6页,公平席位分配,系别 学生 百分比 20席分配,人数 （%）百分比 结果,甲 103 51.5,乙 63 31.5,丙 34 17.0,总和 200 100.0 20.0 20,21席分配,百分比 结果,10.815,6.615,3.570,21.000 21,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按百分比分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，,三系人数为103,63,34,问20席怎样分配。,若增加为21席，又怎样分配。,百分比加通例,对丙系公平吗,系别 学生 百分比 20席分配,人数 （%）百分比 结果,甲 103 51.5 10.3,乙 63 31.5 6.3,丙 34 17.0 3.4,总和 200 100.0 20.0 20,系别 学生 百分比 20席分配,人数 （%）百分比 结果,甲 103 51.5 10.3,10,乙 63 31.5 6.3,6,丙 34 17.0 3.4,4,总和 200 100.0 20.0 20,21席分配,百分比 结果,10.815,11,6.615,7,3.570,3,21.000 21,第7页,公平”分配方法,衡量公平分配数量指标,人数 席位,A方,p,1,n,1,B,方,p,2,n,2,当,p,1,/,n,1,=,p,2,/,n,2,时，分配公平,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,对A绝对不公平度,p,1,=150,n,1,=10,p,1,/,n,1,=15,p,2,=100,n,2,=10,p,2,/,n,2,=10,p,1,=1050,n,1,=10,p,1,/,n,1,=105,p,2,=1000,n,2,=10,p,2,/,n,2,=100,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,但后者对,A,不公平程度已大大降低!,虽二者,绝对不公平度相同,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,第8页,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽可能小,设A,B,已分别有,n,1,n,2,席，若增加1席，问应分给A,还是B,不妨设分配开始时,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,即对A不公平,对A相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性席位分配转化为动态席位分配,即,“公平”分配方法,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,定义,第9页,1）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/,n,2,，,则这席应给 A,2）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/(,n,2,+1)，,应计算,r,B,(,n,1,+,1,n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),若,r,B,(,n,1,+1,n,2,),p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,r,A,(,n,1,n,2,+1),则这席应给 B,第10页,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,)车身平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不一样,刹车距离,反应时间,司机情况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,第18页,假 设 与 建 模,1.刹车距离,d,等于反应距离,d,1,与制动距离,d,2,之和,2.反应距离,d,1,与车速,v,成正比,3.刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能改变;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t,1,为反应时间,且,F,与车质量,m,成正比,第19页,反应时间,t,1,经验预计值为0.75秒,参数预计,利用交通部门提供一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.06,计算刹车距离、刹车时间,车速,(英里/小时)(英尺/秒),实际刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42（44）,39.0,1.5,30,44.0,73.5（78）,76.6,1.8,40,58.7,116（124）,126.2,2.1,50,73.3,173（186）,187.8,2.5,60,88.0,248（268）,261.4,3.0,70,102.7,343（372）,347.1,3.6,80,117.3,464（506）,444.8,4.3,第20页,“2秒准则”应修正为“,t,秒准则”,模 型,车速,(英里/小时),刹车时间,（秒）,20,1.5,30,1.8,40,2.1,50,2.5,60,3.0,70,3.6,80,4.3,车速（英里/小时）,010,1040,4060,6080,t,（秒）,1,2,3,4,第21页,2.5,崖高估算,假如你站在崖顶且身上带着一只含有跑表功,能计算器，你可能会出于好奇心想用扔下,一块石头听回声方法来预计山崖高度，,假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算,山崖高度呢，请你分析一下这一问题。,我有一只含有跑 表功效计算器。,第22页,方法一,假定空气阻力不计，能够直接利用自由落体运动公式,来计算。比如，设,t,=4,秒，,g,=9.81,米/秒,2,，则可求得,h,78.5,米。,我学过微积分，我能够做,得更加好，呵呵。,第23页,除去地球吸引力外，对石块下落影响最大当 属,空气阻力,。依据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落速度，阻力系 数,K,为常数，因而，由牛顿第二定律可得：,令,k,=,K,/,m,，,解得,代入初始条件,v,(0)=0,，得,c,=,g/k,，故有,再积分一次，得：,第24页,若设,k,=0.05,并仍设,t,=4,秒，则可求 得,h,73.6,米。,听到回声再按跑表，计算得到时间中包含了,反应时间,深入深入考虑,不妨设,平均反应时间,为,0.1,秒，假如仍 设,t,=4,秒，扣除反应时间后应 为,3.9,秒，代入 式,，求得,h,69.9,米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,代入初始条 件,h,(,0,)=,0,，得到计算山崖高度公式：,将,e,-kt,用泰勒公式展开并 令,k,0+,，即可得出前面不考虑空气阻力时结果。,第25页,还应考虑,回声,传回来所需要时间。为此，令石块下落 真正时间 为,t,1,，声音传回来时间记 为,t,2,，还得解一个方程组：,这一方程组是,非线性,，求解不太轻易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理,相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次,h,，令,t,2,=h,/,340,，校正,t,，求石块下落时间,t,1,t-t,2,将,t,1,代入式,再算一次，得出崖高近似值。比如，若,h=,69.9,米，则,t,2,0.21,秒，故,t,1,3.69,秒，求得,h,62.3,米。,第26页,