2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准.doc

全国初中数学联合竞赛试题参照答案及评分原则
阐明：评阅试卷时，请根据本评分原则.第一试，选用题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分原则规定评分档次给分.如果考生解答措施和本解答不同，只要思路合理，环节对旳，在评卷时请参照本评分原则划分档次，予以相应分数.
第一试
一、选用题：（本题满分42分，每题7分）
1．已知，，则值为【 】
A．1. B．. C．. D．.
【答】B.
由可得，
即，
即，即，因此．
2．已知△两条高线长分别为5和20,若第三条高线长也是整数，则第三条高线长最大值为【 】
A．5. B．6. C．7. D．8.
【答】B.
设△面积为S，所求第三条高线长为h，则三边长分别为．显然，于是由三边关系，得
解得．
因此最大整数值为6,即第三条高线长最大值为6.
3．方程解个数为【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答】C.
当时，方程为，即，解得，，均满足．
当时，方程为，即，解得，满足．综上，原方程有3个解．
4．今有长度分别为1，2，…，9线段各一条，现从中选出若干条线段构成“线段组”，由这一组线段正好可以拼接成一种正方形，则这样“线段组”组数有【 】
A．5组. B．7组. C．9组. D．11组.
【答】C.
显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度正好等于其她3条边中每两条线段长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．
又由于，因此正方形边长不不不不小于．由于
； ； ；
； ．
因此，构成边长为7、8、10、11正方形，各有一种措施；构成边长为9正方形，有5种措施。故满足条件“线段组”组数为1×4＋5＝9．
5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则【 】
A．. B．. C．. D．.
【答】 D.
过F作AB垂线，垂足为H．∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
从而△FHE是等腰直角三角形，因此HE＝FH＝，
∴ ．

6．已知，，，则值为【 】
A．1. B．. C．2. D．.
【答】C.
由已知等式得，，，因此．
于是，，，．因此 ，，，即。
代入，得，解得．
因此 ．
二、填空题：（本题满分28分，每题7分）
1．在△ABC中，已知，，则 ．
【答】 。
延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则，因此CA＝CD。
作于点E，则E为AD中点，故
，
.
在Rt△BCE中，，因此，故 ．

2．二次函数图象顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 ．
【答】 2．
由已知，得，，，．
过D作于点E，，则，即，得，
因此或．又，因此．
又，即，得．
3．能使是完全平方数正整数n值为 ．
【答】 11.
当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数．
若，则；若，则；若，则；若，则。因此，当时，都不是完全平方数．
当时，，若它是完全平方数，则为一奇数平方。
设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，因此，于是，故．
4．如图，已知AB是⊙O直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆切线与CD延长线交于点F，如果，，D为EF中点，则AB＝ ．

【答】 24.
设，则．
连AD，BC．由于AB为⊙O直径，AF为⊙O切线，因此．
又由于D为Rt△AEF斜边EF中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
在Rt△AEF中，由勾股定理得 ，即 ．
设，由相交弦定理得 ，即，
∴ ①
又∵ ， ∴ ．
又，∴ ，从而．
在Rt△ACB中，由勾股定理得 ，即，
∴ ． ②
联立①②，解得．因此．
第二试 （A）
一、（本题满分20分）已知三个不同实数满足，方程和有一种相似实根，方程和也有一种相似实根．求值．
解 依次将题设中所给四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②一种相似实根，则 两式相减，可解得．……………………5分
设是方程③和方程④一种相似实根，则两式相减，可解得。
因此 ． ……………………10分
又方程①两根之积等于1，于是也是方程①根，则。
又 ，两式相减，得 ． ……………………15分
若，则方程①无实根，因此，故．
于是 ．又，解得 ． ……………20分
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为中点．求证：（1）；（2）．

证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆圆心． ……………………5分
作于点，知为中点，因此＝＝，从而． ……………………10分
（2）作于点，则．
又，
∴， ……………………15分
∴ Rt△≌Rt△，∴ ，
又，因此，故，因此．……………………25分
三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．
（1）证明：；
（2）求图象通过三点二次函数解析式．
解 （1）由于，，因此，即．
由，得．…5分
又
，
从而有，即．……………10分
（2）由，知是有关x一元二次方程
①
两个不相等正整数根，从而，解得。
又为正整数，故或． ……………15分
当时，方程①为，没有整数解．
当时，方程①为，两根为．
综合知：．………………………20分
设图象通过三点二次函数解析式为，将点坐标代入得 ，解得．
因此，图象通过三点二次函数解析式为．………………………25分
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相似.
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且．求证：．

证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径．
设为AC中点，则为四边形ABCD外接圆圆心．………………………5分
作于点，则M为BD中点,因此＝＝，从而． ………………………10分
作于点，则．
又，
∴， ………………………15分
∴ Rt△≌Rt△，∴，
又，因此，因此，因此．…………25分
三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且＋＋＝＋＋）．求图象通过三点二次函数解析式．
解 由于，，因此 ，即．
由，得．5分
又
，
从而有，即． ………………………10分
又，故是有关x一元二次方程
①
两个不相等正整数根，从而，解得。
又为正整数，故或． ………………………15分
当时，方程①为，没有整数解．
当时，方程①为，两根为．
综合知：．………………………20分
设图象通过三点二次函数解析式为，将点坐标代入得 ，解得．
因此，图象通过三点二次函数解析式为．………………………25分
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相似.
二．（本题满分25分）如图，已知为锐角△内一点，过度别作垂线，垂足分别为，为平分线，延长线交于点．如果，求证：是平分线．
证明 如图1，作于点，于点，于点，于点．

设，∵ ， ∴． …………5分
若，如图2，作，分别交于点，则△∽△，∴，∴ ，
∴．
若，则．
若，同理可证．…………15分
∵，∴ ，∴．
∵ ，∴，∴．…………………20分
又，∴ ．
又由于是平分线，因此，∴ ．
显然，即，∴ ，∴是平分线．………25分
三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相似.