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第十一讲 双曲线
形如()函数叫做反比例函数，它图象是由两条曲线构成双曲线，与双曲线有关知识有：
1． 双曲线解析式中系数决定图象大体位置及随变化状况．
2．双曲线图象上点是有关原点O成中心对称，在>0时函数图象有关直线轴对称；在<0时函数图象有关直线轴对称．
3．自变量取值是不等于零全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
【例题求解】
【例1】 已知反比例函数图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数函数值随增大而 (填增大或减小)．
思路点拨 拟定值，只需求出双曲线上一点坐标即可．
注：(1)解与反比函数有关问题时，充足考虑它对称性(有关原点O中心称，有关轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维周密性．
(2)一种常用命题：
如图，设点A是反比例函数()图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则
①S△AOB=；
②S矩形OBAC=．
【例2】 如图，正比例函数 ()与反比例函数图象相交于A、C两点，过A作AB⊥轴于B，连结BC，若S△ABC面积为S，则( )
A．S=1 B．S =2 C．S= D．S=
思路点拨 运用双曲线对称性，导出S△AOB与S△OBC关系．
【例3】 如图，已知一次函数和反比例函数()图象在第一象限内有两个不同公共点A、B．
(1)求实数取值范畴；
(2)若△AOB面积S＝24，求值．
(荆门市中考题)
思路点拨 (1)两图象有两个不同公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立方程．
【例4】 如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9．
(1)求点P坐标；
(2)设点R与点P在同一种反比例函数图象上，且点R在直线PB右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R坐标．
思路点拨 (1)从已知面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标关系求R坐标，但要注意分类讨论．
【例5】 如图，正方形OABC面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在轴上， 点B在函数 (，)图象上，点P(，)是函数 (，)图象上任意一点，过点P分别作轴、轴垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重叠某些面积为S．
(1)求B点坐标和值；
(2)当时，求点P坐标；
(3)写出S有关m函数关系式．
思路点拨 把矩形面积用坐标体现，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含代数式体现，解题核心是双曲线有关对称，符合题设条件P点不惟一，故思考须周密．
注：求两个函数图象交点坐标，一般通过解这两个函数解析式构成方程组得到，求符合某种条件
点坐标，需根据问题中数量关系和几何元素间关系建立有关纵横坐标方程(组)，解方程(组)便可求得有关点坐标，对于几何问题，还应注意图形分类讨论．
学历训练
1． 若一次函数图象如图所示，则抛物线对称轴位于y轴
侧；反比例函数图象在第 象限，在每一种象限内，y随x增大而 ．
2．反比例函数图象通过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程两个根，则A点坐标为 ．
3．如图：函数（≠0）与图象交于A、B两点，过点A作AC⊥轴，垂足为点C，则△BOC面积为 ．
4．已知，点P(n，2n)是第一象限点，下面四个命题：
(1)点P有关y轴对称点P1坐标是(n，-2n)； (2)点P到原点O距离是n；(3)直线 y=-nx+2n不通过第三象限；(4)对于函数y=，当x＜0时,y随x增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题序号)
5．已知反比例函数y=图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2 ,则m取值范畴是( )
A．m＜O B．m＞0 C. m＜ D.m＞
6．已知反比例函数图象如图所示，则二次函数图象大体为( )
7．已知反比例函数当时，y 随x增大面增大，那么一次函数图象通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
8．如图，A、B是函数图象上点，且A、B有关原点O对称，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D，如果四边形ACBD面积为S，那么( )
A． S＝1 B．1<S<2 C．S>2 D．S＝2
9．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=(m≠0)图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．
（1）求点A、B、D坐标；
（2）求一次函数和反比例函数解析式．
10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线 ()两个不同交点．
(1)求取值范畴；
(2)与否存在这样值，使得?若存在，求出这样值；若不存在，请阐明理由．
11．已知反比例函数和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像通过(a，b)，(a+1，b+k)两点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图，已知点A在第一象限，且同步在上述两个函数图像上，求A点坐标；
(3)运用(2)成果，请问：在x轴上与否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件P点坐标都求出来；若不存在，请阐明理由.
12．反比例函数图象上有一点P(m，n)，其中m、n是有关t一元二次方程两根，且P到原点O距离为，则该反比例函数解析式为 ．
13．如图，正比例函数图象与反比例函数 ()图象交于点A，若取1，2，3…20，相应Rt△AOB面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20= ．
14．教师给出一种函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同窗各指出这个函数一种性质：
甲：函数图像不通过第三象限；
乙：函数图像通过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0
已知这四位同窗论述都对旳，请构造出满足上述所有性质一种函数： ．
15．已知反比例函数图象和一次函数图象都通过点P(m，2)．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)如果等腰梯形ABCD顶点A、B在这个一次函数图象上，顶点C、D在这个反比例函数图象上，两底AD、BC与轴平行，且A、B横坐标分别为和，求值．
16．如图，直线通过A(1，0)，B(0，1)两点，点P是双曲线()上任意一点，PM⊥轴，PN⊥轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN延长线与直线AB交于点F．
(1) 求证：AF×BE＝1；
(2)若平行于AB直线与双曲线只有一种公共点，求公共点坐标．
(江汉油田中考题)
17．已知矩形ABCD面积为36，以此矩形对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A坐标为(x，y)，其中x>0，y>0．
(1)求出y与x之间函数关系式，求出自变量x取值范畴；
(2)用x、y体现矩形ABCD外接圆面积S，并用下列措施，解答背面问题：
措施：∵ (k为常数且k>0，a≠0)，且
∴．．
∴当=0，即时，获得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD外接圆面积S最小?并求出S最小值；
(3)如果直线y=mx+2(m<0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么与否存在这样实数m，使得点P、Q与(2)中求出点A构成△PAQ面积是矩形ABCD面积?若存在，祈求出m值；若不存在，请阐明理由．
参照答案
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