2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答双曲线.doc

第十一讲 双曲线 形如()函数叫做反比例函数，它图象是由两条曲线构成双曲线，与双曲线有关知识有：1 双曲线解析式中系数决定图象大体位置及随变化状况 2双曲线图象上点是有关原点O成中心对称，在0时函数图象有关直线轴对称；在0时函数图象有关直线轴对称 3自变量取值是不等于零全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴【例题求解】【例1】 已知反比例函数图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数函数值随增大而 (填增大或减小) 思路点拨 拟定值，只需求出双曲线上一点坐标即可注：(1)解与反比函数有关问题时，充足考虑它对称性(有关原点O中心称，有关轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维周密性(2)一种常用命题： 如图，设点A是反比例函数()图象上一点，过A作AB轴于B，过A作AC轴于C，则 SAOB=； S矩形OBAC=【例2】 如图，正比例函数 ()与反比例函数图象相交于A、C两点，过A作AB轴于B，连结BC，若SABC面积为S，则( ) AS=1 BS =2 CS= DS= 思路点拨 运用双曲线对称性，导出SAOB与SOBC关系【例3】 如图，已知一次函数和反比例函数()图象在第一象限内有两个不同公共点A、B(1)求实数取值范畴；(2)若AOB面积S24，求值(荆门市中考题)思路点拨 (1)两图象有两个不同公共点，即联立方程组有两组不同实数解；(2)SAOB= SCOB S- SCOA，建立方程【例4】 如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内一点，PB轴于B，SABP=9(1)求点P坐标；(2)设点R与点P在同一种反比例函数图象上，且点R在直线PB右侧，作PT轴于F，当BRT与AOC相似时，求点R坐标思路点拨 (1)从已知面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标关系求R坐标，但要注意分类讨论【例5】 如图，正方形OABC面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在轴上， 点B在函数 (，)图象上，点P(，)是函数 (，)图象上任意一点，过点P分别作轴、轴垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重叠某些面积为S (1)求B点坐标和值； (2)当时，求点P坐标； (3)写出S有关m函数关系式 思路点拨 把矩形面积用坐标体现，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含代数式体现，解题核心是双曲线有关对称，符合题设条件P点不惟一，故思考须周密注：求两个函数图象交点坐标，一般通过解这两个函数解析式构成方程组得到，求符合某种条件点坐标，需根据问题中数量关系和几何元素间关系建立有关纵横坐标方程(组)，解方程(组)便可求得有关点坐标，对于几何问题，还应注意图形分类讨论 学历训练1 若一次函数图象如图所示，则抛物线对称轴位于y轴 侧；反比例函数图象在第 象限，在每一种象限内，y随x增大而 2反比例函数图象通过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程两个根，则A点坐标为 3如图：函数（0）与图象交于A、B两点，过点A作AC轴，垂足为点C，则BOC面积为 4已知，点P(n，2n)是第一象限点，下面四个命题：(1)点P有关y轴对称点P1坐标是(n，-2n)； (2)点P到原点O距离是n；(3)直线 y=-nx+2n不通过第三象限；(4)对于函数y=，当x0时,y随x增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题序号) 5已知反比例函数y=图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x10x2时，有y1y2 ,则m取值范畴是( ) AmO Bm0 C. m D.m 6已知反比例函数图象如图所示，则二次函数图象大体为( ) 7已知反比例函数当时，y 随x增大面增大，那么一次函数图象通过( )A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 8如图，A、B是函数图象上点，且A、B有关原点O对称，AC轴于C，BD轴于D，如果四边形ACBD面积为S，那么( ) A S1 B1S2 DS29如图，已知一次函数y=kx+b(kO)图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=(m0)图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D若OA=OB=OD=l（1）求点A、B、D坐标；（2）求一次函数和反比例函数解析式 10已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线 ()两个不同交点 (1)求取值范畴； (2)与否存在这样值，使得?若存在，求出这样值；若不存在，请阐明理由 11已知反比例函数和一次函数y2x-1，其中一次函数图像通过(a，b)，(a+1，b+k)两点 (1)求反比例函数解析式； (2)如图，已知点A在第一象限，且同步在上述两个函数图像上，求A点坐标； (3)运用(2)成果，请问：在x轴上与否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件P点坐标都求出来；若不存在，请阐明理由. 12反比例函数图象上有一点P(m，n)，其中m、n是有关t一元二次方程两根，且P到原点O距离为，则该反比例函数解析式为 13如图，正比例函数图象与反比例函数 ()图象交于点A，若取1，2，320，相应RtAOB面积分别为S1，S2，S20，则S1+S2+S20= 14教师给出一种函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同窗各指出这个函数一种性质： 甲：函数图像不通过第三象限； 乙：函数图像通过第一象限； 丙：当x2时，y随x增大而减小； 丁：当x2时，y0 已知这四位同窗论述都对旳，请构造出满足上述所有性质一种函数： 15已知反比例函数图象和一次函数图象都通过点P(m，2) (1)求这个一次函数解析式； (2)如果等腰梯形ABCD顶点A、B在这个一次函数图象上，顶点C、D在这个反比例函数图象上，两底AD、BC与轴平行，且A、B横坐标分别为和，求值16如图，直线通过A(1，0)，B(0，1)两点，点P是双曲线()上任意一点，PM轴，PN轴，垂足分别为M，NPM与直线AB交于点E，PN延长线与直线AB交于点F(1) 求证：AFBE1；(2)若平行于AB直线与双曲线只有一种公共点，求公共点坐标(江汉油田中考题)17已知矩形ABCD面积为36，以此矩形对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A坐标为(x，y)，其中x0，y0 (1)求出y与x之间函数关系式，求出自变量x取值范畴； (2)用x、y体现矩形ABCD外接圆面积S，并用下列措施，解答背面问题： 措施： (k为常数且k0，a0)，且 当=0，即时，获得最小值2k 问题：当点A在何位置时，矩形ABCD外接圆面积S最小?并求出S最小值；(3)如果直线y=mx+2(m0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么与否存在这样实数m，使得点P、Q与(2)中求出点A构成PAQ面积是矩形ABCD面积?若存在，祈求出m值；若不存在，请阐明理由 参照答案