2022年高中数学竞赛资料数论部分.doc

初等数论简介
绪言：在多种数学竞赛中大量浮现数论题，题目内容几乎波及到初等数论所有专项。
1． 请看下面例子：
（1） 证明：对于同样整数x和y，体现式2x+3y和9x+5y能同步被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)
（2） ①设，证明是168倍数。
②具有什么性质自然数，能使能整除？（1956年上海首届数学竞赛第一题）
（3） 证明：对于任何正整数都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）
（4） 证明：对任何自然数，分数不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）
（5） 令和分别体现正整数最大公因数和最小公倍数，试证：（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）
这些例子阐明历来数论题在命题者心目中首当其冲。
2.再看如下记录数字：
（1）世界上历史最悠久匈牙利数学竞赛，从1894~1974年222个试题中，数论题有41题，占。
（2）世界上规模最大、规格最高IMO（国际数学奥林匹克竞赛）前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这阐明：数论题在命题者心目中总是占有一定分量。如果将有一定“数论味”计数型题目记录在内，那么比例还会高诸多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中浮现数论题：
(1)方程整数解个数是（ ）
A、0 B、1 C、3 D、无穷多 （全国初中联赛5）
（2）已知都是正整数，试问有关方程与否有两个整数解？
如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（全国初中联赛12）
（3）①与否存在正整数，使得？
②设是给定正整数，与否存在正整数，使得？
（全国初中联赛14）
（4）有关方程整数解得组数为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、无穷多
（全国初中联赛5）
（5）已知是满足条件五个不同整数，若是
有关方程整数根，则值为
（全国初中联赛8）
（6）已知正整数满足，且，求满足条件所有也许正整数和。 （全国初中联赛12）
（7）个正整数满足如下条件：；且中任意个不同数算术平均数都是正数，求最大值。
（全国初中联赛14）
(8)在一列数中，已知，且当时，（取整符号体现不超过实数a最大整数，例如）则等于（ ）
A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4
（全国初中联赛4）
（9）求满足所有素数P和正整数m。
（全国初中联赛13）
（10）从这个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出数中任意三个数之和都能被33整除？ （全国初中联赛14）

（11）设四位数满足，则这样四位数个数为
（全国初中联赛10）
（12）已知有关一元二次方程两个整数根正好比方程两个根都大1，求a+b+c值
（全国初中联赛11）
（13）若从中任取5个两两互素不同整数其中总有一种整数是素数，求n最大值。
（全国初中联赛13）
（14）把能体现到两个正整数平方差这种正整数，从小到大排成一列：
，例如，，……那么=
（福建省高一数学竞赛12）
（15）求最小正整数n，使得集合每一种n元子集中均有2个元素（可以相似），它们和是2幂。
（福建省高一数学竞赛14）
（16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b<1000)，斜边长是b+1直角三角形有（ ）
A、20个 B、21个 C、22个 D、43个
（福建省高一数学竞赛5）
（17）设、为非负整数，使得是5倍数，是3倍数，且，则最小值为
（福建省高一数学竞赛11）
（18）正整数中，若任意三个都不能成为三角形三边长，则最小值是
（福建省高一数学竞赛12）
（19）设（n为正整数），若S得任意具有100个元素子集中必然有两个数差能被25整除，求n最大值。 （福建省高一数学竞赛17）

（20）设是不超过x最大整数，则=

（福建省高一数学竞赛11）
（21）已知集合M是集合具有m个元素子集，且对集合M任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z，求m最大值。
（福建省高一数学竞赛17）
（22）已知a,b,c为正整数，且，为整数，则a+b+c=

（福建省高一数学竞赛12）
（23）正整数，具有如下性质：从集合中任取一种元素m，则m整除n概率是，则n最大值是
（福建省初赛12）
（24）设施周期函数，和1是周期且，证明：
（1）若T为有理数，则存在素数P，使是周期；
（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数数列满足，（n=1,2，）且每个都是周期 （全国高中联赛加试二）

（25）方程实数解事 （其中体现不超过最大整数）
（福建初赛9）
（26）设，令
（1）S能否等于？证明你结论；
（2）S能取到多少个不同整数值？
（福建初赛14）

（27）设是给定两个正整数，证明：有无穷多种正整数，使得与互素。
（全国高中联赛加试三）

（28）已知集合，其中，，且，若正整数，且，则符合条件正整数有 个。
（福建初赛6）
（29）将方程实数解从小到大排列得，则值为
（福建初赛8）
（30）设是给定正整数，，记，。证明：存在正整数，使得为一种整数。这里，体现不不不小于实数最小整数。 （全国高中联赛加试二）

（31）已知正整数x,y,z满足条件，且，则最大值为
（福建初赛7）
（32）证明：对任意整数存在一种次多项式具有如下性质：
（1）均为正整数；
（2）对任意正整数，及任意个互不相似正整数均有
（全国高中联赛加试二）
（33）证明：存在无穷多种正整数，使得有一种不不不小于质因子。
（第49届IMO.3）
（34）设是一种正整数，是集合中互不相似整数，使得对于均有整除。
证明：不整除 （第50届IMO.1）

本资料重要简介中学代数课程里未能进一步谈到整数性质及其应用，初等数论解题过程一般不波及诸多基本知识，重要是机智和灵活。本资料除打上“*”是少数内容外，初二年以上学生均可学习掌握。
为论述以便，本资料中字母均体现整数。交有Z，N*，Z*分别体现整数集，正整数集和非零整数集。

带余除法与整除
整数概念、分类、自然数两种理论（基数理论，序数理论）
基数用于体现“多少”：将所有有限集分类，使所含元素个数同样多集合成为同一类，对每一类用一种记号来体现它们（这一类集合）所含元素个数同样多这个共同特性。这个记号就是一种自然数。
公理化措施：对已有知识进行进一步分析，选用其中某些基本关系作为不定义概念，某些基本性质作为不加证明公理，建立起公理系统。然后由所建立公理系统出发，应用形式逻辑措施，来给出其她有关概念定义，并证明多种命题。

序数体现“第几”*（peano定理）如果非空集合N*中某些元素之间有一种基本关系“直接后继”（元素a直接后继记为a’），且N*满足如下条件：
1．，必有
2．
3．
4．N*子集M若具有下面性质

定理1 带余除法
设，则有且只有一对整数与，使得其中
定义1、定理1中与分别称除以不完全商与最小非负余数，简称商和余数。
定义2、定理1中时（即时）就称为倍数，是约数（或因数）能被整除，整除，记作
性质1、① 0是任何数倍数（0除外）； ② 是任何数约束；
③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ；
⑦ ； ⑧ ；
⑨ ； ⑩

公式1、
公式2、 （是正偶数）
公式3、 （是正奇数）
（以上三个公式中可以是任意实数）

例1、设（31位数）(1984位数)，求证。
例2、设求证。

定义3、能被2整除数称偶数，不能被2整除数称奇数。
性质2、用“0”代表偶数，“1”代表奇数，则有
① 0+0=0,0+1=1，1+0=1,1+1=0 ②00=0,01=0,10=0,11=1
③奇数个奇数和还是奇数
④任意个奇数之积是奇数
*例3、设都是正奇数，且，求证
注意：奇偶分类在解决诸多问题时有用。求末位数问题：
令体现末位数，则有
性质3、①
②
③
④任一自然数正整多次幂末位数有周期变化规律。
例4、求末位数
例5、①设为自然数，求证；
②设为自然数，求证
例6、

性质4、①设为奇数，为偶数，则
②设为偶数，为奇数（）则
③设为偶数，为偶数，则
④设为奇数，为奇数，（）则

例7、求
*例8、求末两位数。
例9、设是这七个自然数任何一种顺序排列，
求证：总是一种偶数。
例10、某班有49位同窗，坐成七行七列，每个座位前、后、左、右座位叫做它“邻座”，要让这49位同窗中每一位都换到她邻座上去，问这种调换座方案能否实现？

作为本节内容结束，请注意如下两个重要命题：
① 在个相邻整数中，有且只有一种数能被整除。
② 若整数，则任一正整数可以唯一体现为
这里，且

习题：
1. 用票面为3分和5分邮票可以支付任何（整数）分邮资。
2. 把十个数码0，1,2,3,4……，9任意两两搭配，构成没有反复数码5个两位数，求证这样5个两位数和是9倍数。
3. 设，求证：
4. 设是奇数，求证：
5. 证明：各位数码全是1数中，有且只有一种是平方数。
6. 证明：前个自然数和个位数码不能是2,4,7,9
7. 设，求证时奇数平方。
8. 设，为自然数，是非负整数，求证：末三位数是189。
9. 证明：整数可以体现到两个整数平方和充要条件是也具有相似性质。
10. 设整数互不相等，且，求证
11. 设，求证。
12. 设，证明：当且仅当时，。
13. 已知，求证：
14. 证明：在任意个整数中，总可以找到个整数，使它们和是倍数。
15. 能否把这些数排成一行，使得两个1之间夹着一种数，两个2之间夹着两个数，……，两个1986之间夹着1986个数？请证明你结论
（首届全国数学冬令营竞赛试题五）
16. 设正整数不等于，证明集合中可以找到两个不同元素使不是完全平方数 （第27届IMO）

公因数与公倍数
定义1、若就称是这几种数公因数；
定义2、个不全为零整数公因数中最大数叫做这几种整数最大公因数，记
性质一：
定义3、若，则称互素（互质）
定义4、若，则称是公倍数；
定义5、非零整数一切正公倍数中最小正数叫最小公倍数，记
定理1、若不全为零，且则
性质二：
定理2、若
定理3、若整数不全为零，则存在整数使得
性质三：，
性质四：若，则
定理4、若，则
定理5、若是同号整数，则

例1、 形如数称费尔马数，求证，这里都是非负整数，且
例2、 设且，证明
例3、 已知，求证
例4、 设使非零整系数多项式，，求证
例5、 求证
例6、 设，证明：当且仅当时，
例7、 已知是两两互素正整数，求证：
例8、 求证平方数正因数有奇数个，非平方数正因数有偶数个。
例9、 有一百盏电灯，排成一行，自左向右，编号。每灯由一拉线开关控制，最初灯全关着。另有一百个学生顺次走过，第个学生把但凡编号为倍数电灯开关拉一下，问：100个学生所有过去之后，有哪几种编号灯还亮着？

习题：
1、设体现各位数码都是1（）位数，求证：
充要条件是，这里，且
2、设是形如（不全为0）数中最小正数。
求证：（1）； （2）
3、设，求证
4、设，求证
5、已知：为非零自然数，
求证：（1）；（2）
6、设，证明：数列中倍数共有个。
7、设，求证
8、已知：，求证
9、设是奇数，，求证
10、设，证明：各位数码全是1数中有倍数
11、求证

本节定义、定理、性质较为繁杂，为便于记忆，整顿成如下图式：

素数与合数
自然数集进一步分类：素数、合数、1
定义 如果不不不小于1整数恰有两个正因数1与P，就说P是素数，如果正整数N*有多于两个正因数，就说N*是合数。
例1：证明：对任给正整数N*，总可找到N*个相邻合数。

定理一：任一整数N*最小因数P（P>1）是素数（N*>1）
定理二：素数有无限多种。
定理三：若N*是合数，P（P>1）是N*最小正因数，则
以上例子和定理分别刻画了素数某些分布特性和判断素数措施。
定理四：若，P是素数，则P整除某个
定理五：（唯一分解定理）每个不不不小于1整数，都可唯一地分解成素因数（不计因数顺序）积。
推论：任一不不不小于1整数可以唯一分解成这里是相异素数，是正整数。有时为了表述以便，容许，上式称为原则分解式。
例2、设是素数，求证：是2非负整多次幂。
定理六：若得原则分解式为，，
则，。
这里， ，、

例3、求证

定理七：若原则分解式为，则一切正因数个数，一切正因数和为。
例4、证明形如素数有无限个。

哥德巴赫于1742年在和欧拉通信中提出猜想：
1． 每个不不不小于5偶数都是两个奇素数之和
2． 每个不不不小于8奇数都是三个奇素数之和
1973年5月《中华人民共和国科学》杂志刊出陈景润研究G氐猜想成果：
“任一充足大偶数是一种素数和另一种素数和，后者或为素数，或仅另两个素数乘积。”
此定理被简称为“1+2”固然离“1+1”尚有一段距离，但是这已经是当今最优成果了。

习题：
1、 设是异于3奇素数，求证
2、 设是素数，且，求证
3、 设整数都不不不小于1，证明
4、 求证：
5、 设都是不不不小于1，是素数，求证：，且是素数
6、 从1到100这100个自然数中，任意选出51个数，求证其中至少有两个数，它们中一种是另一种倍数。
7、 设，证明
8、 证明：形如素数有无限多种。
9、 设，证明：在与之间至少有一种素数。
10、设是体现由小到大排列第个素数，证明

同余
定义 给定正整数m，如果用它除任意两个整数a,b，所得余数相似，就说a,b对于模m同余，记作。若所得余数不同，就说a,b对于模m不同余，记作。
定理与性质

例1 正整数a能被9整除充要条件是a各个数码之和能被9整除。
例2 设，求证：。
例3 求正整数a能被7正处充要条件。
例4 设各个数码之和为a，a各个数码之和为b，求b各个数码之和为c。
例5 一环形公路上有几种汽车站，海拔高度只有5米和10米两种，若相邻两站海拔高度相等，则
称连接它们公路是水平；如果两相邻汽车站海拔高度不等，则称相连公路是有坡。有一旅行者坐汽车环行东路一周，发现水平公路段数与有坡公路段数相等，求证4整除n 。
例6 设，问：如何n使得。
例7 求证：任何整数都不能满足方程。

习题
1. 设，求证：。
2. 设，求证：。
3. 设ABCDE是按逆时针方向排列五角棋盘，从A沿逆时针方向移动棋子，第K次移动K步，证明无论移动多少次，C、E处永远不也许停留棋子。
4. 设，P是素数，求证。
5. 证明。
6. 设，，求证。
7. 已知，求证n不能表为3个立方数和。
8. 已知，求证n不能表为3个平方数和。
9．求出一种整数能被101（或37）整除充要条件。
10．求下列各数末两位数：和。
11．记，且，求a。
12．已知，求a、b、c。

补充题：
1. （1）有几种住鞥书，其积为n，其和为零。求证4 | n 。
（2）设4 | n，求证：可以找出几种整数，使其积为n，其和为零。
（十八届全苏中学生竞赛）
2. 设a，b，c是三个互不相等正整数，求证：在，，三个数中，至少有一种数能被10整除。
（86. 全国初中联赛，二试，四）
3. 把19,20，…，79,80诸数连写成数A=19…7980，试证1980 | A。
（全苏14届 1980.8.1）
4. 试求所有能被11整除三位数，且除得之商等于被除数中各数字平方和。
（二届IMO 1960）

不定方程
若方程或方程组中未知数个数多于方程个数，它们解又限制为正整数、整数、有理数或其她类别数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程常联系到某些有趣问题。竞赛中也时有所见。
例1 在等式中还原数学x，y，z。（1987年全俄中学生竞赛题）
例2 解方程。（1978年广东省中学数学竞赛题）
例3 求方程满足条件：整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛题）
数论函数
定义1 设x为任一实数，体现不超过x最大整数。
函数称数论函数，也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中热门课题，而则是热门中热门。
由定义，显然有①；②。
定义2 称为x小数某些，显然。
例1 计算。
例2 求。
例3 解方程。
例4 已知方程，求所有根和。（1987年初中联考）
习题
1. 。
2. 。
3. 。（英斯科第20届奥林匹克数学竞赛题）
有时也常令通过对讨论来解题。

例5 方程实数解个数是（ ）。（1985美国数学竞赛题）
(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3 ; (E) 4 .
例6 记体现不超过x最大整数，设n是自然数，且
，那么（ ）。（1986年全国初中联考）
（A）I > 0 ； （B）I < 0 ; （C）I = 0 ;
（D）当n取不同值时，以上三种状况均有也许浮现
例7 求正数x ，使得。
性质1 是不减函数。
性质2 当且仅当时成立。
性质3 对任意实数x 、y ，有。
性质4 设m 、n为正整数，在数列1，2，…，（n-1），n 中，m倍数有个。
定理 设p为一素数，在n！中p方次数等于
例8 在十进制展开中，以多少个0为结尾？

例9 求证方程无实数解。

例10 设N为一正整数，问方程在区间中有多少个解？（1982年瑞典数学竞赛题）
例11 试决定小数点前一位数字和后一位数字。（1980年芬兰等欧洲四国数学竞赛题）
例12 在整数列中，具有多少个互不相等自然数？（1980苏联列宁格勒中学生数学竞赛试题）

习题
1． 设，（其中）。则一定有（ ）
（1985年北京市中学生数学竞赛高一年试题）
（A）M>N ； (B) M=N ； (C) M<N ； (D) 以上答案都不对
2．设，那么值是
3． ①找出一种实数x，满足；
②证明，满足上述等式x都不是有理数。
4． 设，计算和。（1968第十届IMO）
5． 设a ，b为互素正整数，求证：。

6． 求所有自然数n ，使得，这里体现不超过最大整数，N是自然数集。（1991年中华人民共和国数学奥林匹克）
不定方程
若方程或方程组中未知数个数多于方程个数，它们解又限制为正整数、整数、有理数或其她类别数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程联系到某些有趣问题。竞赛中也时有所见。
例1．在等式中还原数字x,y,z.(1987全俄中学生竞赛题)
例2．解方程：
例3．求方程满足条件：整数解。
（1979年湖南省中学数学竞赛题）
线性不定方程
定理1 设，则线性不定方程有整数解充要条件是。在有整数解情形下，如果，是一组整数解，那么该方程一切整数解（简称通解）可以写成

例 4 求方程整数解。
例5 今有物，不知其数（百个如下）。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？（该题目出自16前《孙子算经》）

“韩信点兵”或“秦王暗点兵”歌诀：
“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。”
注：该诀出自宋朝周密，“上元”指15，“寒食清明”指105，每年冬至至次年清明正好105天。

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”
注：该诀出自明朝程大位《算法统宗》。
定理2 勾股不定方程满足，一切整数解可体现为，这里，，中一种为奇数，另一种为偶数。
例6 设，证明方程有正整数解。

例7 证明不定方程没有正整数解。
费马猜想：整数时，方程 无正整数解是数论中一种出名难题。1760年欧拉证明了n = 3 情形。1828年勒让德余狄里赫勒各自证明了n = 5情形。1840年拉梅证明n = 7情形。库莫尔于1844年首创“抱负数论”，并运用这个工具一举证明了n是不不小于100奇素数但除去n=37,59,67情形.1892年米利曼诺夫证明了n=37情形。1978瓦格斯塔夫借助大型电子计算机证明了2 < n < 125000情形。…………29岁讲师又对此做出了重大发展，然而至今还无法宣布此猜想是一条定理。

例8 拟定（并加以证明）方程所有整数解。（1976年美国竞赛题）

例9 证明方程只有唯一有理数解。
例10 正整数与使得整除。求证是某个正整数平方。（1988年第29届IMO）
习题
1. 不定方程与否有整数解？
2. 方程有多少组正整数解？
3. 求方程整数解（）。
4. 求方程整数解。