2022年创新班选拔考试数学模拟试卷.doc

醴陵市青云学校创新班选拔考试数学模拟试卷（2）
本卷共20小题 时量：120分钟 分值：120分
一、选择题（本大题满分32分，每题4分，在各题四个选项中，只有一种是对旳）
1．已知和互为相反数，，则值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2．已知、为实数，则下列命题中对旳是（ ）
A.若，则 B. 若，则
C.若，则 D. 若，则
3．从1～9这九个自然数中随机取出一种数，取出数是倍数概率是（　　）
A． B． C． D．

4．有关不等式组只有4个整数解，则实数取值范畴是（　　）
A.≤≤ B. ]≤＜ C. ＜≤ D. ＜＜－
5．图，已知：点、分别是正方形边中点，分别交于点，若正方形面积是，则四边形面积为（ ）
A. B. C. D.
第5题图
第6题图
第7题图

6．图，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA = AD，且OC = OD = 1，
则该菱形边长为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．图，四边形内接于觉得直径⊙， 已知，，
，则弦长是（ ）
A． B． C． D．

8．若函数，使成立值正好有三个，则值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，满分28分）
9．设，，则_________．
第13题图
10．图是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数频数分布直方图（每组次数只含最小
值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次频率是________．
次数
人数
12
9
5
3
0
15
25
35
45

1
55
60
第10题图
A
C
B
D
O
第11题图

11．图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转36°后得到图形，点C正好在AB上，
∠AOD度数是90°，则∠B度数是_________．
12．已知，且，则__________.
13．图，已知是内一点，等长三条线段、、分别平行于、、，并且所有通过点，若，，，则：：_____________.

第15题图
14．若有关x方程有两个整数根，则正整数为_________.
15．图，反比例函数图象和斜边
交于点，和直角边交于点，若，且以、、为
顶点三角形和相似，则点坐标为_____________.

三、解答题(本大题满分60分)
16. （本题满分8分）
已知有关一元二次方程有两个实数根.
（1）求实数取值范畴；
（2）当斜边长，且两条直角边和正好是这个一元二次方程两根时，求面积.

17. （本题满分10分）某公司开发960件新产品，需加工后才干投放市场，既有甲、乙两个工厂所有想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完毕这批产品比乙工厂单独加工完毕这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到
厂进行技术指引．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）该公司要选择省时又省钱工厂加工，乙工厂估计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司规定，有望加工这批产品．

18. （本题满分12分）图，已知点、坐标分别为 ， ，点P是
抛物线 上一种动点.
（1）鉴定以点为圆心，为半径圆和直线位置关系，并阐明理由；
（2）设直线和抛物线另一种交点为，连结，，

求证：∠PNM＝∠QNM.

19．（本题满分15分）图，将矩形沿折叠，使点落在边点处，过点作∥交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）探究线段、、数量关系，并阐明理由；
（3）若，，求长．

20．（本题满分15分）
图，在半径为扇形中，，在轴上，在轴上，点C是弧上一种动点（不和点、重叠），⊥，⊥，垂足分别为、，分别交于、.
（1）试证明：在点运动过程中，度数为定值，并求出这个定值；
（2）设，，求和函数关系式；
（3）以、、为边构成三角形外接圆面积记作，问与否存在最小值？如果存在，祈求出这个最小值，并直接写出此时点坐标；如果不存在，请阐明理由.

备用图

座位号

考场号： 班级： 学生姓名： 座位号：
— –—— – — – — –– — – — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – —— – — – — –— – — – — –
醴陵市青云学校创新班选拔考试数学模拟试卷（2）
数 学 答 题 卡
（满分：120分，时量：120分钟）
一、选择题（本大题满分32分，每题4分，在各题四个选项中，只有一种是对旳）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，满分28分）
9． 10． 11．

12． 13.

14． 15.
三、解答题(本大题满分60分)

16. （本题满分8分）

17. （本题满分10分）

18．（本题满分12分）

19．（本题满分15分）

备用图
20．（本题满分15分）

醴陵市青云学校创新班选拔考试数学试卷(答案)
（满分：120分，时量：120分钟）
一、选择题（本大题满分32分，每题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
C
A
C
D
1．已知和互为相反数，，则值是（ C ）
A. B. C. 或 D. 或
解：由题可知：，
则或，故选C.
2．已知、为实数，则下列命题中对旳是（ D ）
A.若，则 B. 若，则
C.若，则 D. 若，则
解：注意字母可表达正数、零，也可表达负数，可用赋值法排除错误答案，选D.
3．从1～9这九个自然数中随机取出一种数，取出数是倍数概率是（　A　）
A． B． C． D．
解：从1～9这九个自然数中随机取出一种数，有9种等也许成果，取出数是倍数有、、共三种也许成果，因此（取出数是倍数）；选A.
4．有关不等式组只有4个整数解，则实数取值范畴是（　B　）
A.≤≤ B. ]≤＜ C. ＜≤ D. ＜＜－
解：由不等式组可得，由于原不等式组只有4个整数解，
则，解得，故选B
5．图，已知：点、分别是正方形边中点，分别交于点，若正方形面积是240，则四边形面积为（ C ）
A. B. C. D.
第5题图
解：∵四边形是正方形，是中点，
∴∥，.
∴∽，则.
∴.
∵，，，
∴≌，则.
∵，∴，
∴.
∵，，
∴∽，则.
∵，， ∴.
∵，∴，解得.
∴. 故答案选C
6．图，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA = AD，且OC = OD = 1，
则该菱形边长为（ A ）
第6题图
A． B． C．1 D．2
解：易证∽可得.
设，则，，
∴，解得.
∵， ∴. 故答案选A
7．图，四边形内接于觉得直径⊙， 已知，，
，则弦长是（ C ）
A． B． C． D．
第7题图
解：由题意可知：，，，，
措施一：由托勒密定理知：，
，解得
措施二：过点作⊥交延长线于，则.
∵， ∴.
则.
可设，，则，.
∵在中，，
∴，解得.
∵，∴.
∴. 故答案选C

8．若函数，使成立值正好有三个，则值为（ D ）
A． B． C． D．
解：画出函数图象，由图象可知当时，可使成立值正好有三个.
故答案选D
二、填空题（本大题满分28分，每题4分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案

，
9．设，，则_________．
解：∵，∴，，则.
∵，∴.
∵， ∴. 故答案填
10．图是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数频数分布直方图（每组次数只含最小
次数
人数
12
9
5
3
0
15
25
35
45

1
55
60
第10题图
值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次频率是________．
解：由频数分布直方图可知：仰卧起坐次数在25~45次
有（名），
仰卧起坐次数在25~45次频率是.
故答案填

11．图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转36°后得到图形，点C正好在AB上，
A
C
B
D
O
第11题图
∠AOD度数是90°，则∠B度数是_________．
解：由旋转性质知：，，.
∵，，
∴，.
∴.
故答案填

12．已知，且，则__________.
解：措施一：∵，且，
∴ 、是一元二次方程两根.
由韦达定理得：，.
则.
措施二：∵，，
∴，则.
∵， ∴，即，.
同理，则.
∴.
∴. 故答案填
第13题图
13．图，已知是内一点，等长三条线段、、分别平行于、、，并且所有通过点，若，，，则：：_____________.
解：∵ ∥，∥，∥，
∴四边形、四边形是平行四边形；
∽，∽，∽.
设上述三个相似三角形相似比分别为、、，
则，，，，，
，.
∵，，
∴解得，，.
∴：：. 故答案填
14．若有关x方程有两个整数根，则正整数为_________.
解：措施一：，
∵原方程有两个整数根， ∴是完全平方数.
令， 则，为非负整数）.
∴，则.
∵为正整数，为非负整数，
∴，解得.
措施二：设方程两个整数根分别为，，
由韦达定理可知消去得.
∴ ，则.
∴ 或 , 解得 或（舍去）.
∴ ，解得. 故答案填

第15题图

15．图，反比例函数图象和斜边交于点，和直角边交于点，若，且以、、为顶点三角形和相似，则点坐标为_____________.
解：∵,，可设， ，
则，， ，.
可求得直线解析式为.
联立得， 则，.
过点作⊥于，
则，， .
由题意得，
由射影定理得，则， 解得.
∵，∴， 则，. 故答案填，
三、解答题（本大题满分60分）
16. （本题满分8分）
已知有关一元二次方程有两个实数根.
（1）求实数取值范畴；
（2）当斜边长，且两条直角边和正好是这个一元二次方程两根时，求面积.
解：（1）∵原一元二次方程有两个实数根，
∴， 解得.
∴ 实数取值范畴是.
（2）由韦达定理得：，，
∵， ∴ .
则，解得（符合题意）.
∴， 则.
∴面积为（平方单位）.
17. （本题满分10分）
某公司开发960件新产品，需加工后才干投放市场，既有甲、乙两个工厂所有想加工这批产
品，已知甲工厂单独加工完毕这批产品比乙工厂单独加工完毕这批产品多用20天，而乙工
厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到
厂进行技术指引．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）该公司要选择省时又省钱工厂加工，乙工厂估计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司规定，有望加工这批产品．
解（1）：措施一：设甲工厂每天加工件，则乙工厂每天加工件，由题意得：
.
解得：，.
经检查，所有是所列方程解，但不合题意，舍去.
∴，则.
答：甲工厂每天加工件，乙工厂每天加工件.
措施二：设甲工厂加工完960件产品用天，则乙工厂加工完960件产品用天，
由题意得：
解得：，
经检查，所有是所列方程解，但不合题意，舍去.
∴，则.
（件/天），（件/天）
答：甲工厂每天加工件，乙工厂每天加工件.
措施三：设甲工厂每天加工件，甲工厂加工完960件产品用天，则乙工厂每天加工件，，则乙工厂加工完960件产品用天，
由题意得：，解得，（不合题意，舍去）
∴，
答：甲工厂每天加工件，乙工厂每天加工件.
（2）由（1）知甲工厂加工960件产品要（天），乙工厂加工960件产品要（天）.
设乙工厂向公司报加工费用每天为元，由题意得：
.
解得：.
答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为元时，才可满足公司规定，有望加工这批产品．

18. （本题满分12分）
图，已知点、坐标分别为，，，，点P是抛物线上一种动点.
（1）鉴定以点为圆心，为半径圆和直线位置关系，并阐明理由；

（2）设直线和抛物线另一种交点为，连结，，
求证：∠PNM＝∠QNM.

解（1）：直线和⊙相切，理由如下：
过点作⊥直线于点，
设点，，则.
∵，，∴.
∴，则直线和⊙相切.
（2）过点作⊥直线于点，
∵∥∥，∴.
由（1）知，，
∴，
∵，∴∽.
∴，则.
19．（本题满分15分）
图1
图，将矩形沿折叠，使点落在边点处，过点作∥交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）探究线段、、数量关系，并阐明理由；
（3）若，，求长．
证明（1）图1：由折叠性质知：，．
∵∥， ∴ ．
∴，则．
∴，则四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
图2
（2）线段、、数量关系为
理由如下：
图2：连接交于点，
∵ 四边形是菱形，
∴⊥，，．
∵，⊥，
∴由射影定理得：．
∴，即．
（3）图3，延长交于点，
设，则，
图3
∵，，∴ ．
解得，（不合题意，舍去）．
∴，．
在中，，，
∴．
∵∥，∴∽．
∴，则，解得．
∵，∴．

20．（本题满分15分）
图2，在半径为扇形中，，在轴上，在轴上，点C是弧上一种动点（不和点、重叠），⊥，⊥，垂足分别为、，分别交于、.
（1）试证明：在点运动过程中，度数为定值，并求出这个定值；
（2）设，，求和函数关系式；

（3）以、、为边构成三角形外接圆面积记作，问与否存在最小值？如果存在，祈求出这个最小值，并直接写出此时点坐标；如果不存在，请阐明理由.
证明（1）：连接，
∵，⊥，
∴.
同理.
∵，∴.
∴.
∵，
∴.

备用图
∴度数为定值，这个定值为.
（2）∵，，
∴，.
∵，
，
∴∽，则.
∵，，
∴，.
∴，解得.
（3）存在最小值，理由如下：
∵，，，
∴
.
∴以、、为边构成三角形是觉得斜边直角三角形，为以、、为边构成三角形外接圆直径.
令，则，整顿得.
则.
∴.
∵，∴，即.
∴（此时.
，此时点为弧中点，坐标为，.