2022年电大微积分初步答案.doc

微积分初步形成性考核作业（一）解答
————函数，极限和持续

一、填空题（每题2分，共20分）
1．函数定义域是　　　　　　　　．
解：， 因此函数定义域是
2．函数定义域是　　　　　　　　．
解：， 因此函数定义域是
3．函数定义域是　　　　　　　　．
解： ， 因此函数定义域是
4．函数，则 ．
解： 因此
5．函数，则　　 ． 解：
6．函数，则　　 ．
解：，
7．函数间断点是　　 　　　　．
解：由于当，即时函数无意义 因此函数间断点是
8．　　　　　． 解：
9．若，则　　　　　．
解： 由于 因此
10．若，则　　　　　．
解：由于 因此
二、单选题（每题2分，共24分）
1．设函数，则该函数是（　）．
A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
解：由于 因此函数是偶函数。故应选B
2．设函数，则该函数是（　）．
A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
解：由于 因此函数是奇函数。故应选A
3．函数图形是有关（　）对称．
A． 　B．轴　　C．轴 D．坐标原点
解：由于 因此函数是奇函数
从而函数图形是有关坐标原点对称 因此应选D
4．下列函数中为奇函数是（ ）．
A． B． C． D．
解：应选C
5．函数定义域为（ ）．
A． B． C．且 D．且
解：，，因此应选D
6．函数定义域是（　）．
A． 　B．　　C． D．
解：，， 函数定义域是，故应选D
7．设，则（ ）
A．　　 B． 　 C．　　　 D．
解： ，故应选C
8．下列各函数对中，（ ）中两个函数相等．
A．， B．，
C．， D．，
解：两个函数相等必需满足①定义域相似②函数表达式相似，因此应选D
9．当时，下列变量中为无穷小量是（ ）.
A． 　　　B． C．　 　　D．
解：由于，因此当时，为无穷小量，因此应选C
10．当（ ）时，函数，在处持续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
解：由于，
若函数，在处持续，则，因此。故应选B
11．当（ ）时，函数在处持续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
解：，因此应选D
12．函数间断点是（ ）
A． B． C． D．无间断点
解：当时分母为零，因此是间断点，故应选A
三、解答题（每题7分，共56分）
⒈计算极限．
解：
2．计算极限
解：
3．
解：
4．计算极限
解：
5．计算极限．
解：
6．计算极限．
解：

7．计算极限
解：

8．计算极限．
解：

微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）
————导数、微分及应用

一、填空题（每题2分，共20分）
1．曲线在点斜率是　　　　　　　　．
解：，斜率
2．曲线在点切线方程是　　　　　　　　 ．
解： ，斜率
因此曲线在点切线方程是：
3．曲线在点处切线方程是 ．
解：，斜率
因此曲线在点处切线方程是：，即：
4． ． 解：
5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = ．解：
6．已知，则=　　　　　　　　．解：，
7．已知，则=　　　　　　　　．解：，
8．若，则 ．
解：，，
9．函数单调增长区间是　　 　　．
解：，，因此函数单调增长区间是
10．函数在区间内单调增长，则a应满足 　　 　 ．
解：，而，因此
二、单选题（每题2分，共24分）
1．函数在区间是（ D ）　
A．单调增长　　 B．单调减少 C．先增后减　 D．先减后增
2．满足方程点一定是函数（ C ）.
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
3．若，则=（　C ）．
　　A. 2　 B. 1 　 　C. -1　　　 D. -2
4．设，则（　B ）．
A． B． C． D．
5．．设是可微函数，则（ D ）．
A． B． C． D．
6．曲线在处切线斜率是（ C ）．
A． B． C． D．
7．若，则（ C ）．
A． B． C． D．
8．若，其中是常数，则（ C ）．
A． B． C． D．
9．下列结论中（ B ）不对旳．
A．在处持续，则一定在处可微.
B．在处不持续，则一定在处不可导.
C．可导函数极值点一定发生在其驻点上.
D．若在[a，b]内恒有，则在[a，b]内函数是单调下降.
10．若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处持续 D．函数f (x)在点x0处可微
11．下列函数在指定区间上单调增长是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x
12.下列结论对旳有（ A ）．
A．x0是f (x)极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 B．x0是f (x)极值点，则x0必是f (x)驻点
C．若(x0) = 0，则x0必是f (x)极值点 D．使不存在点x0，一定是f (x)极值点
三、解答题（每题7分，共56分）
⒈设，求．
解：
2．设，求.
解：
3．设，求.
解：
4．设，求.
解：
5．设是由方程拟定隐函数，求.
解：两边微分：

6．设是由方程拟定隐函数，求.
解：两边对求导，得：
，，

7．设是由方程拟定隐函数，求.
解：两边微分，得：
，
8．设，求．
解：两边对求导，得：

微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）
———不定积分，极值应用问题
一、填空题（每题2分，共20分）
1．若一种原函数为，则 。
2．若一种原函数为，则 。
3．若，则　　　　　．
4．若，则　　　　　．
5．若，则　　　　　．
6．若，则　　　　　．
7． ．
8． ．
9．若，则　　　　　．
10．若，则　　　　　．
二、单选题（每题2分，共16分）
1．下列等式成立是（　）．
A．　 B． C．　D．
解：应选A
2．若，则（ ）.
A. B. C. D.
解：两边同步求导，得：，因此应选A
3．若，则（ ）.
A. B. C. D. 解：应选A
4．如下计算对旳是（ ）
A． B． C． D． 解：应选A
5．（ ）
A. B. C. D.
解：，因此应选A
6．=（ ）．
A． B． C． D． 解：应选C
7．=（ ）．
A． B． C． D．
解：先积分，再微分，导致不变，背面再添上即可，故应选C
8．如果等式，则（ ）
A. B. C. D.
解：两边求导，得：，因此，故应选B
三、计算题（每题7分，共35分）
1．
解：

2．
解：

3．
解：
4．
解：

5．
解：
四、极值应用题（每题12分，共24分）
1． 设矩形周长为120厘米，以矩形一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形边长为多少时，才干使圆柱体体积最大。
解：设矩形一边长为厘米，则另一边长为厘米，以厘米边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积为：
，即：
，令，得：
（不合题意，舍去），，这时
由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形一边长为厘米、另一边长为厘米时，才干使圆柱体体积最大。
2． 欲用围墙围成面积为216平方米一成矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地长和宽选择多大尺寸，才干使所用建筑材料最省？
解：设矩形长为米，则矩形宽为米，从而所用建筑材料为：
，即：
，令得：（取正值），这时
由于根据实际问题，旳确有最小值，故当矩形长为米，宽为米时，才干使所用建筑材料最省
五、证明题（本题5分）
函数在（是单调增长．
证明：由于，当（时，
因此函数在（是单调增长．

微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外）
———定积分及应用、微分方程
一、填空题（每题2分，共20分）
1．
解：
2．
解：
3．已知曲线在任意点处切线斜率为，且曲线过，则该曲线方程是 。
解：由得所求曲线方程由拟定
由于曲线过，因此，解得：
因此所求曲线方程为
4．若　　　　　．
解：
5．由定积分几何意义知，= 。
解：由定积分几何意义知，就等于圆在第Ⅰ象限面积，即
圆面积，因此
6．　　　 　　　.
解：0
7．=　　　　．
解：
8．微分方程特解为 .
解：由得，，两边同步积分，得
由于，因此，因此
从而，因此微分方程特解为
9．微分方程通解为 .
解：，，，
，，即
因此微分方程通解为
10．微分方程阶数为 ．
解：微分方程阶数为阶
二、单选题（每题2分，共20分）
1．在切线斜率为2x积分曲线族中，通过点（1, 4）曲线为（ A ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C． D．
2．若= 2，则k =（ A ）．
A．1 B．-1 C．0 D．
3．下列定积分中积分值为0是（ A ）．
A． B． C． D．
4．设是持续奇函数，则定积分（ D ）　
A．　　B． C．　D． 0
5．（ D ）．
A．0 B． C． D．
6．下列无穷积分收敛是（　B ）．
　　A．　　　　B． C．　　　　D．
7．下列无穷积分收敛是（　B ）．
　　A．　　　　　　B． C．　　　D．
8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程．
A． B． C． D．
9．微分方程通解为（ C ）．
A． B． C． D．
10．下列微分方程中为可分离变量方程是（　B ）
A. ； B. ； C. ； D.
三、计算题（每题7分，共56分）
1．
解：
2．
解：

3．
解：
4．
解：

5．
解：

6．求微分方程满足初始条件特解．
解：微分方程通解为
这里 ，
代入得微分方程通解为
将初始条件代入上式，解得
因此微分方程特解为
7．求微分方程通解。
解：微分方程通解为
这里，
代入得微分方程通解为
四、证明题（本题4分）
证明等式。
证明：
考虑积分，令，则，从而

因此