第1章集合与简易逻辑单元测试题.doc

第1章《集合和简易逻辑》单元测试题
刘　忠（江西省永丰中学特级教师）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝｛（）22=4｝｛（）22=1｝，则A、B的关系为（　 ）
A. B. C. D. A∩
答案：D. 解：因为集合A、B都是以原点为圆心的圆，其半径分别为2、1（注意：圆是曲线，不包括其内部），∴A∩Φ.
评析：本题易错选C.主要是由于韦恩图的干扰.
2. 已知集合的元素个数为（ 　 ）
　 A. 0 　 B. 1或2 　 C. 0或1或2 D. 不确定
答案：A . 解：∵没有既是直线又是圆的图形，∴.
评析：本题易错选C.认为直线和圆的交点个数为0或1或2 .
3. 对于以下集合和集合的关系：其中正确关系的个数为（ ）
A.3　　　 B.　 4　　 　C. 5　　　　　 D. 6
答案：D.解：以上六个关系都正确的.本题易错选C，认为是错误的.
4. 若,则集合中的所有元素之和为( )
A. 15 B. 14 C. 27 D. -14
答案：A. 解：∵＝，∴中的所有元素之和为15，故选A.
5. 若集合，则等于( )
A. B. C. D.
答案：B. 解：因为，所以故选B.
6．若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）
A.　　　　 B.　　　 　C.　　　　 D.
答案：A. 解：由知，，故.
7、有限集合中元素个数记作，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是 ；
②的必要条件是；
③的充分条件是；
④的充要条件是.
其中真命题的序号是（ ）
A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③
答案：B解：由 知 0，故①正确；由的定义知，故②正确；若，亦可能成立，故③不正确；④显然不正确.
8.已知集合，则的关系最恰当的一个是（ ）
A. B. ＝B D.
答案：C. 解：=｛0｝＝＝B，故选C.
评析：本题易错选A，原因是认为.
9.已知集合 、分别为函数f(x)的定义域和值域，且,　则实数m的取值范围是（ ）　　
A.　 　　 B.　 　 C.　 D.
答案：B.解：∵集合A、B分别为函数的定义域和值域，∴、.
∵,　再由且，知，即；又.综上，知.　故选B.
评析：本题易错选C，原因是忽视了的条件.
10.（理科）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C.解：因为表示数轴上坐标为－2,1的两点这间的距离，所以，因此要使不等式无解，只需，故选C.
（文科）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C.解：当时不等式显然成立；当时.所以，故选C.
评析：本题易错选B，原因是丢掉了的情况.
11.（理科）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
（文科）若二次不等式的解集是,那么不等式的解集是 （ ）
A.{< -10或x > 1} B.{－< x <} C.{4< x <5} D.{5< x < -4}
（理科）答案：A. 解：易知，所以，所以即，所以，所以的解集为，故选A.
（文科）答案：A. 解：易知，且又由知，所以即，所以，故选A.
12. （理科）设集合，若集合A、B满足A∪，则称()为集合I的一种分拆，并规定：当且仅当时，()和()为集合I的同一种分拆.则集合I的不同分拆的种数为（ ）
A. B. C. D.
（文科）若,则B的个数为（ ）
Ⅱ
Ⅲ
B
A
I
A. B. C. D.
（理科）答案：A.解：如图，满足题意的集合A、B的组数＝A∪B中所有的元素进入区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的方法数＝，故选A.
（文科）答案：B.解：集合B除了要有元素这个元素外，还需有元素这个元素中的１个或２个或…或个，所以集合B的个数为，故选B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.命题“若，则或”的逆否命题是 .
答案：若，则.
14.已知集合，集合{a, a2}，若，则实数 .
答案：1. 解：∵，∴由及知因此1.
15. 设是集合A到集合B的映射，如果B＝，则＝　　　.
解：∵集合A中的每一个元素在集合B中都有惟一的象，但B中的元素未必都有原象，∴.再由映射的定义，知或或，故＝.
16. （理科）对于以下命题：
（1）若,则B的个数为；
（2）设命题p：“对一切实数x，”，则非p是 “ 对一切实数x， ”；
（3）已知都是的必要条件，的充分条件，是的充分条件,则是的必要条件 ；
（4）若A表示满足条件p的集合，B表示满足条件q的集合，则“p是q的充分不必要条件“”.
其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上）.
（文科）对于以下命题：
（1）含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；
（2）对于命题“矩形的对角线相等”，其否命题是“不是矩形的四边形对角线不相等”；
（3）已知命题A、B、C，若非A是非B的充分条件，B是C的必要条件，则A是C的必要条件；
（4）若A表示满足条件p的集合，B表示满足条件q的集合，则 “p是q的充分条件” “”.
其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上）.
（理科）答案：（3），（4）.解：命题（1）的正确答案为2n.事实上，集合B除了要有元素这个元素外，还需有元素这个元素中的１个或２个或…或个，所以集合B的个数为；命题（2）的正确答案为“ 存在一个实数x， ”.
（文科）答案：（1）、（2）、（3）、（4）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知三个非零实数成等差数列，且，求证：不可能成等差数列.
证明：（反证法）假设成等差数列，则.
又因为成等差数列，所以，所以，
所以，所以，这和矛盾，
故假设不成立，即不可能成等差数列.
18．（本小题满分12分）
已知p:方程有两个不等的负实根；q:方程无实根.若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围.
解：；.
因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p、q一真一假.
（1）若p真q假，则；
（2）若q真p假，则.
综上所述，m的取值范围是.

19. （本小题满分12分）
设集合.若，求实数的取值范围.
解：∵，又，所以或，或，或.
（1）当时，.
（2）当时，
（3）当时，
（4）当时，
综上所述，实数的取值范围是.
20. （本小题满分12分）
已知, ={正实数}，若A∩Φ,求实数p的取值范围 .
解：（1）时，；
（2）A时，∵方程无零根，∴两根均为负，∴.
综（1）（2）知，
21. （本小题满分12分）
（理科）设集合，.
（1）当时，求A的非空真子集的个数；
（2）若，求m的取值范围；
（3）若，求m的取值范围.
（文科）解关于的不等式.
解：（理科）化简集合，集合.
（1）,即A中含有8个元素，A的非空真子集数为个.
（2）显然只有当1=21即 －2时，.
（3）① －2时，；
②当m<－2 时，，所以,因此，要，则只要，所以m的值不存在；
③当m>－2 时, （1,21）,因此，要，则只要.
综上所述，知m的取值范围是：－2或
（文科）因为，所以
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，.
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
22. （本小题满分14分）
（理科）对于函数f(x),若f(x),则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数a的取值范围.
（文科）已知集合，
，若，求实数的取值范围．
（理科）证明(1)：若φ，则 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)(f(t))(t),即t∈B,从而 .
解(2)：A中的元素是方程f(x) 即的实根.
由 A≠φ，知 0 或 即 .
B中元素是方程 即 的实根，
由，知上方程左边含有一个因式，
即方程可化为，因此，
要，即要方程 ①要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.
若①没有实根，则，由此解得 ；
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 21=0.
由此解得 ,再代入②得 由此解得.
综上所述， a的取值范围是.
（文科）原命题等价于方程组在上有解，
即在上有解.
令，则由知抛物线过点.因此：
①抛物线在上和轴有且只有一个交点等价于，所以.
②抛物线在上和轴有两个交点等价于
解之得.
综上所述，实数的取值范围为．