四川高职单招数学试题附答案.docx

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二 .数学 单项选择（共10小题，计30分）
1．设集合，则( )
A． B． C． D．
2. 不等式的解集是( )
A．x<3 B．x>－1 C．x<－1或x>3 D．－1<x<3
3．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 函数 在定义域R内是( )
A. 减函数 B. 增函数 C. 非增非减函数 D. 既增又减函数
5. 设，则的大小顺序为 （ ）
6.已知，，当与共线时，值为（ ）
A. 1 B.2 C . D.
7. 已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8．已知向量a，b，且a⊥b，则（ ）
A． B． C． D．
9　点到直线的距离为( )
A． B． C． D．
10. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师与2名学生组成，不同的安排方案共有 (　　)
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）（2019•四川）复数=　_________　．
12．（5分）（2019•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　_________　．
13．（5分）（2019•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　_________　m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14．（5分）（2019•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是　_________　．
15．（5分）（2019•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值与最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有　_________　．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题12分）设数列的前项与，且成等差数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项与，求得使成立的的最小值。
17．（12分）（2019•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18.（本小题满分分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为。
（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（II）证明：直线平面
（III）求二面角余弦值
19．（12分）（2019•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项与Sn；
（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项与Tn．
20.（本小题13分）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点。当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为。
（1） 球椭圆的方程；
（2） 在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（14分）（2019•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
A
B
D
C
A
B
A
二、填空题：
11.
解答：
解：复数===﹣2i，
故答案为：﹣2i．
12.
解答：
解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
13.
解答：
解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m
∴CD==46≈79.58m．
又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m
∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m
故答案为：60m

14.
解答：
解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0与动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
15.
解答：
解：（1）对于命题①
“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”
∴命题①是真命题；
（2）对于命题②
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值与最小值．”是假命题；
（3）对于命题③
若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④
∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，
∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；
假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．
∴a=0．
即函数f（x）=（x＞﹣2）
当x＞0时，，∴，即；
当x=0时，f（x）=0；
当x＜0时，，∴，即．
∴．即f（x）∈B．
故命题④是真命题．
故答案为①③④．
三、解答题
16. 解：（1）当时有，
则 （）
则是以为首项，2为公比的等比数列。
又由题意得 则
（2）由题意得 由等比数列求与公式得
则 又当时，
成立时，的最小值的。
点评：此题放在简答题的第一题，考察前项与与通项的关系与等比数列的求与公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。
17.
解答：
解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）=，
P（X=10）==
P（X=20）==，
P（X=100）==，
故分布列为：
X
﹣200
10
20
100
P

由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．
由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
18.
【答案】
（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可
如图
（II）
连接，取的中点，连接
因为、为线段、中点，所以且
又因为中点，所以
得到且
所以四边形为
得到
又因为平面
所以平面（得证）
（III）
连接，，过点作，垂足在上，过点作平面垂线，交于点，连接，则二面角
因为平面，且,所以
又，平面,所以平面
且，所以，所以三角形为
设正方体棱长为，则，
所以，
因为，三角形为，所以
所以，所以
所以
19.
解答：
解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，
∴，
又等差数列{an}的公差为d，
∴==2d，
∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，
∴=b8，
∴=4=2d，解得d=2．
又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n．
（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，
又，令y=0可得x=，
∴，解得a2=2．
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，
∴bn=2n．
∴．
∴Tn=+…++，
∴2Tn=1+++…+，
两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣
=
=．
20:
【答案】
解：（1）由题知椭圆过点。得
解得：。
所以，椭圆方程为：。
(2)假设存在满足题意的定点。
当直线平行于轴时，，两点关于轴对称，得在轴上。不妨设
当直线为轴时，。解得
下证对一般的直线，也满足题意。
由得轴为的角平分线。所以。
不妨设
，化简得①
又椭圆方程与直线方程联立得：
带入①得成立。故假设成立。综上存在点满足题意。
21:
解答：
解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，
又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；
②当，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；
（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令h（x）= （1＜x＜e）
则．由＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，
=+＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，
又，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．

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