立体几何的动态问题翻折问题.doc

立体几何的动态问题之二
———翻折问题
立体几何动态问题的基本类型：
点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等
一、面动问题（翻折问题）：
（一）学生用草稿纸演示翻折过程:
（二）翻折问题的一线五结论

五结论：
1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；
折线两侧的几何量和位置关系发生改变；

二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围和最值问题
1、（2016年联考试题）平面四边形中，，,且，现将△沿对角线翻折成，则在折起至转到平面的过程中，直线和平面所成最大角的正切值为 .

解：由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心为半径的圆，当点A运动到和圆相切的时候所称的角最大，所以。
【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误进行分析，找出错误的原因。
2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形中，∠60°，线段，的中点分别为E，F。现将△沿对角线翻折，则异面直线和所成角的取值范围是
A.B. C. D.

分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一：特殊值法（可过F作平行,找两个极端情形）
方法二：定义法：利用余弦定理：
，有
异面直线和所成角的取值范围是
方法三：向量基底法：

方法四：建系：

3、（2015年浙江·理8）如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则 （ B ）
A.B.C. D.

方法一：特殊值
方法二：定义法作出二面角，在进行比较。
方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。

4、（14年1月浙江省学业学考试题）如图在△中，＝1，＝x，D是斜边的中点，将△沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得⊥，则x的取值范围是(A)
A．(0，] C．(，2 ] D．(2，4]
方法一：利用特殊确定极端值
方法二：在中利用余弦定理转化为的函数求解。
方法三：取的中点E,连接在中利用两边之和大于第三边求解。

（二）翻折之后的求值问题
5、（2016届丽水一模13）已知正方形，E是边的中点，将沿折起至，如图所示，若为正三角形，则和平面所成角的余弦值是

6、（2016届温州一模8）如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为 ( D )
A．　　　　　B．　　　　　　　C． 　　D．

三、课后练习
1、（2012年浙江10）已知矩形，1，。将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ B）
A.存在某个位置，使得直线和直线垂直.
B.存在某个位置，使得直线和直线垂直.
C.存在某个位置，使得直线和直线垂直.
D.对任意位置，三对直线“和”，“和”，“和”均不垂直

2（2009年浙江17）如图，在长方形中，21为的中点，F为线段(端点除外)上一动点，现将沿折起，使平面⊥平面,在平面内过点D作⊥为垂足，设,则t的取值范围是.

3、（16年浙江六校联考）如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，
现将△所在平面沿折起，使点在平面上的射
影在直线上，当从点运动到，再从运动到，
则点所形成轨迹的长度为.

A
M
F
E
D
C
B
N

4、（2010年浙江19改编）如图，在矩形中，点E，F分别在线段，上，．沿直线将翻折成，使平面平面．点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使和重合，则线段的长为

5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形中，已知2，4，点E、F分别在、上，且1，3，将四边形沿折起，使点B在平面上的射影H在直线上.
(Ⅰ)求证:⊥;
(Ⅱ)求线段的长度；
(Ⅲ)求直线和平面所成角的正弦值.
F
C
A
B
D
E
H
A
E
F
C
D
B

17. 解：（1）由于平面，∴，又由于，，
∴，∴.
法一：（2）设，，过作垂直于点，因为线段，在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：
，可解得，
∴线段的长度为.
（2） 延长交于点，因为，∴点到平面的距离为点到平面距离的，∴点到平面的距离为，而，直线和平面所成角的正弦值为.
法二：（2）如图，过点作，过点作平面，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设点，

由于，，，
∴解得于是，所以线段的长度为.
（3） 从而，故，，
设平面的一个法向量为，设直线和平面所成角的大小为，
则.

立体几何的动态问题之三
———最值、范围问题

1、（2006年浙江·理14）正四面体的棱长为1，棱∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.

2、（2008年浙江·理10）如图，是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动使得△的面积为定值，则动点P的轨迹是 （ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线

O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
·
3、（15届高考模拟卷·文）如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为
B
A
C
D
M
P
4、（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面是边长为2的正方形，M为正方形对角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包括圆周），若直线和直线所成角为45°，则点P形成的轨迹为 ( )
A．椭圆的一部分B．抛物线的一部分
C．双曲线的一部分D. 圆的一部分
5（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点P沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若＝15 m，＝25 m，∠＝30°，则θ的最大值是．(仰角θ为直线和平面所成角)

6（2015·浙江卷8）如图11­10，斜线段和平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠＝30°，则点P的轨迹是()

A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支
式题（1）如图，平面α的斜线交α于B点，且和α所成的角为θ，平面α内有一动点C满足∠＝，若动点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为．
(2)在正四面体中，M是的中点，N是棱上的一个动点，若直线和所成的角为α，则α的取值范围是．

7、(2014年7月浙江学考第25题)在棱长为1的正方体
中，E、F分别是棱的中
点，Ｎ为线段的中点，若Ｐ、M分别为的动
点，则的最小值为

8、（16届嘉兴一模·文15）边长为1的正方体
将其对角线和平面垂直，则正方体在平面上的投影面积为．
9、（16届高考模拟卷·理）正方体﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面的对角线在平面α内，则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是．

10、（16届高考模拟卷·理）将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11、（16届宁波一模·理14）在中，，将直线绕旋转得到，直线绕旋转得到，则在所有旋转过程中，直线和直线所成角的取值范围为．
12、（16届金华十校一模·理14）在四面体中，已知⊥，6，2，且，则V四面体的最大值为
A.6B.C.D.8
13、（15年上海高考题改编）在四面体中，已知，，
，则最大值的取值范围是
A. B. C. D.

【答案】B.
【解析】
试题分析：设，设，则由题意，在空间图形中，设，
在中，，
在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，，
过作，连结，∴，
则就是二面角的平面角，∴，
在中，，，
同理，，，故，
显然面，故，
在中，，
在中，