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二项式定理
概念回顾：知识网络结构
应用

1．二项式定理
（1）二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
（2）二项式系数、二项式的通项
在※式中它的右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
（3）二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数和都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
（4）几点注意
①通项是的展开式的第项，这里
②二项式的项和的展开式的第项有是区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把－看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
2．二项式系数的性质
（1）杨辉三角形：   对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算。
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
（2）二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是r为自变量的函数，其定义域是：．
当 时，的图象为右图．
这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是，，
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如 ），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为
③二项式系数的和为，即.
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即.
常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题。
二、题型阐述：
（一）二项式展开式
例1．求和：
例2．已知展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，试求该展开式中二项式系数最大的项。
例3．若在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（二）二项式定理的定用
例5．用二项式定理证明：能被整除
例6．求证：其中。。
例7．求的展开式中含的项的系数。
三、专题训练：
一、选择题
1.（2009浙江卷理）在二项式的展开式中，含的项的系数是( )
A． B． C． D．
2.（2009北京卷文）若为有理数），则 （ ）
A．33 B． 29 C．23 D．19
3.（2009北京卷理）若为有理数），则 （ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
4.（2019全国卷1理数）(5)的展开式中的系数是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
5.（2009江西卷理）展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为
A． B． C． D．
6.(2009湖北卷理)设，则
7.（2009陕西卷文）若,则的值为
（A）2 （B）0 （C） (D)
8.（2009重庆卷文）的展开式中的系数是（ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
二、填空题
1.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b= .
2.（2009湖南卷文）在的展开式中，的系数为 6 (用数字作答).
3.（2009全国卷Ⅰ文）的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.
4.（2009四川卷文理）的展开式的常数项是 （用数字作答）
5.(2009湖南卷理)在的展开式中，的系数为_____(用数字作答)
6.（2009浙江卷理）观察下列等式：
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于， ．
7.（2009全国卷Ⅱ理）的展开式中的系数为 。
8.（2009重庆卷理）的展开式中的系数是（ ）
A．16 B．70 C．560 D．1120
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