几何最值问题讲义.doc

几何最值问题（讲义）
l 解决几何最值问题的通常思路
_______________________，_______________________，__________________是解决几何最值问题的理论依据，___________________________是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
l 几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值
图形

原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值
图形

原理
两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化
转化成求AB'+B'N+NC的最小值

二、精讲精练
1. 如图，点P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若∠AOB=45°，OP=，则△PMN周长的最小值为 ．

2. 如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

3. 如图，已知两点A，B在直线l的异侧，A到直线l的距离AM=4，B到直线l的距离BN=1，MN=4，点P在直线l上运动，则的最大值是___________．

4. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．

5. 如图，直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围为 ；
（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值为_____________．

6. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，且矩形ABCD的形状和大小保持不变．若AB=2，BC=1，则运动过程中点D到点O的最大距离为（ ）
A． B． C． D．

7. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，那么DE长的最小值是　 　．

8. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．

9. 已知等边△ABC的边长为6，l为过A点的一条直线，B，C两点到l的距离分别为d1，d2，当l绕点A任意旋转时，d1+d2的最大值为（ ）
A． B．12 C．
D．其最大值与l旋转的角度有关，故不能确定

10. 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过点B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．

【参考答案】
一、 知识点睛
两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，根据不变特征进行转化
二、 精讲精练
1．6
2．
3．5
4．2
5．（1）
（2）
6．A
7．1
8．
9．C
10．2；

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