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二项式定理及典型试题
知识点一：二项式定理
二项式定理:
①公式右边的多项式叫做的二项展开式；
　　②展开式中各项的系数叫做二项式系数；
　　③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.
知识点二：二项展开式的特性
　　①项数：有n+1项；
　　②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；
　　③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；
　　④系数：依次为.
知识点三：二项式系数的性质
　　①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离〞的两项的二项式系数相等
　　②单调性：二项式系数在前半局部逐渐增大，在后半局部逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.
　　③二项式系数之和为，即
　　其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
　　即
经典例题
1、“展开式
例1．求的展开式；
解：原式===
【练习1】求的展开式
例2.在的展开式中，第6项为常数项.
（1） 求n； 〔2〕求含的项的系数；〔3〕求展开式中所有的有理项.
解：〔1〕通项为
因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10.
〔2〕令=2，得所以所求的系数为.
〔3〕根据通项公式，由题意
令，那么，故可以取，即r可以取2，5，8.
所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为.
【练习2】假设展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1） 展开式中含的一次幂的项；〔2〕展开式中所有的有理项.
例3.的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：〔1〕二项式系数最大的项；〔2〕系数的绝对值最大的项〔先看例9〕.
解：由题意知，，所以，解得n=5.
（1） (1)由二项式系数性质，的展开式中第6项的二项式系数最大..
（2） 设第项的系数的绝对值最大，
得，即，解得.
，故系数的绝对值最大的项是第4项，.
[练习3]的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.
(1) 求展开式中含的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．的展开式中，项的系数是 ；
解：在展开式中，的来源有：
① 第一个因式中取出，那么第二个因式必出，其系数为；
② 第一个因式中取出1，那么第二个因式中必出，其系数为
的系数应为：填。
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5〔04安徽改编〕的展开式中，常数项是 ；
解： ，该式展开后常数项只有一项，即
6、求中间项
例6求〔的展开式的中间项；
解：展开式的中间项为 即：。
当为奇数时，的展开式的中间项是和；
当为偶数时，的展开式的中间项是。
7、有理项
例7 的展开式中有理项共有 项；
解：
当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数〔或说是不可约分数〕时，那么这个代数式是无理式。
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8〔00上海〕在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
解：
要使项的系数最小，那么必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为
（2） 一般的系数最大或最小问题
例9求展开式中系数最大的项；
解：记第项系数为，设第项系数最大，那么有 又，那么有
即
解得，系数最大的项为第3项和第4项。
〔3〕系数绝对值最大的项
例10在〔的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“〞型转化为型来处理，
故此答案为第4项，和第5项。
9、利用“赋值法〞及二项式性质3求局部项系数，二项式系数和
例11．假设， 那么的值为 ；
解：
令，有， 令，有
故原式===
【练习1】假设，
那么 ；
解：，令，有
令，有 故原式==
【练习2】设， 那么 ；
解：
= =1
10、利用二项式定理求近似值
例15．求的近似值，使误差小于；
分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。
解：==
且第3项以后的绝对值都小于，
从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在准确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对准确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，假设准确度要求较高，那么可以使用更准确的公式：。
[新课标人教版] 排列、组合与二项式定理〔选修2－3〕
考前须知：
1．本试题分为第一卷和第二卷两局部，总分值150分，考试时间为120分钟。
2．答第一卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试完毕，试题和答题卡一并收回。
3．第一卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号〔ABCD〕涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第一卷
一、选择题：本大题共16小题，每题5分，共80分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．〔08年上海卷12〕组合数C〔n＞r≥1，n、r∈Z〕恒等于 〔 〕
A．C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C
2． 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进展答题，要求至少包含前5个题目中的3个，那么考生答题的不同选法的种数是 〔 〕
A．40 B．74 C．84 D．200
3．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 〔 〕
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
4． 从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，假设有一个音键不同，那么发出不同的和弦，那么这样的不同的和弦种数是〔 〕
A．512 B．968 C．1013 D．1024
5．如果的展开式中所有奇数项的系数和等于512，那么展开式的中间项是〔 〕
A． B． C． D．
6． 用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，那么这样的五位数的个数是 〔 〕
A．36 B．32 C．24 D．20
7．现有一个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有〔 〕
A．20个 B．60个 C．120个 D．90个
8． 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 〔 〕
A．504 B．210 C．336 D．120
9．在的展开式中，x3的系数等于 〔 〕
A． B． C． D．
10．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数可能是 〔 〕
A．2男6女 B．3男5女 C．5男3女 D．6男2女
11．假设x∈R，n∈N＋ ，定义＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，那么函数的奇偶性为 〔 〕
A．是偶函数而不是奇函数 B．是奇函数而不是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
12．集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，从A到B的映射f(x)，B中有且仅有2个元素有原象，那么这样的映射个数为 〔 〕
A．8 B．9 C．24 D．27
13．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 〔 〕
A．24种 B．36种 C．60种 D．66种
14．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为〔 〕
A．8 B．9 C．10 D．11
15．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，那么可以排出不同的值班表有 〔 〕
A．36种 B．42种 C．50种 D．72种
16．假设 的值为 〔 〕
A．0 B．2 C．－1 D．1
第二卷
二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在横线上．
17．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点〔如图〕，如果焊点脱落，那么可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，那么焊点脱落的不同情况有 种．
18．正整数a1a2…an…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…an，且a2n－1>a2n－2>…>an，其中ai〔i＝1,2,3,…〕∈{0,1,2,…,9}，请答复三位凹数a1a2a3〔a1≠a3〕共有 个〔用数字作答〕．
19．〔08年福建卷13〕假设(x－2)5= a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
那么a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)
20．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，那么满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有 ．
21．〔x＋1〕6〔ax－1〕2的展开式中，x3的系数是56，那么实数a的值为 ．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．〔本小题总分值10分〕将7个一样的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？
23．〔本小题总分值12分〕()n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：
〔1〕含x3的项；
〔2〕系数最大的项．
24．〔本小题总分值14分〕规定其中，为正整数，且 这是排列数是正整数，且的一种推广．
〔1〕求的值；
〔2〕排列数的两个性质：①， ②．(其中m，n是正整数)是否都能推广到是正整数〕的情形？假设能推广，写出推广的形式并给予证明；假设不能，那么说明理由；
〔3〕确定函数的单调区间．
25．(此题总分值14分) 一个同心圆形花坛，分为两局部，中间小圆局部种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两局部种植不同颜色的花.
〔1〕如图1，圆环分成的3等份为，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为，有多少不同的种植方法？

〔2〕如图3，圆环分成的n等份为，……，an，有多少不同的种植方法？
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案　
D
B
C
B
B
D
B
A
B
B
A
D
B
C
B
D
提示1．D 用公式验证，也可以用特殊值法．
2．B 分三步：
20211125
3．C
4．B 分8类：
5．B 中间项为
6．D 按首位数字的奇偶性分两类：
7．B 分三步：
8．A
9．B 原式＝
10．B 设有男生x人，那么，检验知B正确．
11．A
12．D
13．B　先排甲、乙外的3人，有种排法，再插入甲、乙两人，有种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占 ，故所求不同和站法有
14．C 共有〔1，1，1〕，〔1，2，2〕，〔1，3，3〕，〔1，4，4〕，〔2，2，2〕，〔2，2，3〕，〔2，3，3〕，〔2，4，4〕，〔3，3，3〕〔3，3，4〕10种．
15．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有
16．D 设f(x)＝()10，那么(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…－a9＋a10)＝f(1)f(－1)＝()10()10＝1。
二、填空题
17．13 按焊点脱落个数为1，2，3，4分四类，有
18．240
19．31 设f(x)＝(x－2)5=a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
那么f(1)＝(1－2)5= a5+ a4+a3+a2+a1+a0＝－1,
又，a0＝〔－2)5＝－32．故a1+a2+a3+a4+a5=31
20．65 分二类：第一类，甲上7楼，有52种；
第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，共有52＋4×2×5＝65种．
21．－1或6 项的系数为
三、解答题
22．解法1：∵7＝1＋1＋1＋4＝1＋1＋2＋3＝1＋2＋2＋2，∴分三类，共有分法
解法2〔隔板法〕：将7个小球排成一排，插入3块隔板，故共有分法
23．解：⑴由题设知
⑵系数最大的项为中间项，即
24．解：〔Ⅰ〕；
〔Ⅱ〕性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
事实上，在①中，当时，左边， 右边，等式成立；
当时，左边
， 因此，①成立；
在②中，当时，左边右边，等式成立；
当时，
左边
右边，
因此 ②成立。
〔Ⅲ〕先求导数，得.
令>0，解得x<或 x>.
因此，当时，函数为增函数，
当时，函数也为增函数。
令<0，解得<x<.
因此，当时，函数为减函数.
所以，函数的增区间为， ；
函数的减区间为
25．解：〔1〕如图1，先对a1局部种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，
因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同. 所以S〔3〕=3×2=6〔种〕
如图2，S〔4〕=3×2×2×2－S〔3〕=18〔种〕
⑵如图3，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、…、an都有两种不
同的种法，但这样的种法只能保证a1与ai〔i=2、3、……、n－1〕不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色.
于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1看成一局部，这样的种法相当于对n－1局部符合要求的种法，记为.
共有3×2n－1种种法.
这样就有.
即，那么数列是首项为
公比为－1的等比数列.
那么
由〔1〕知： .
答：符合要求的不同种法有
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