高中数学推理与证明复习总结.doc

推理和证明
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳
类比
综合法
分析法
反证法
直接证明
间接证明
数学归纳法
本章知识网络：

一、推理
●1. 归纳推理
1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
2）归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论

3）归纳推理的特点：
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
●2. 类比推理
1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
2）类比推理的思维过程是：
观察、比较
联想、类推
推测新的结论

●3. 演绎推理
1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2）主要形式是三段论式推理。

3）三段论式常用的格式为：
M——P （M是P） ①
S——M （S是M）②
S——P （S是P） ③
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
二、证明
●1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
●2. 间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：和假设矛盾；和数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；和公认的简单事实矛盾）。
常见的“结论词”和“反议词”如下表：
原结论词
反议词
原结论词
反议词
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
¬p且¬q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
¬p或¬q
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

1、已知数列的前n项和，且，通过计算猜 想（    ）
A、    B、       C、       D、
a1=1
a2=1/3
a3=1/6
a4=1/10
an=1/[1+2+...+(n-1)+n]=1/[(1+n)*n/2]

2、已知a1=1，然后猜想（    ）
A、n    B、n2          C、n3       D、
3、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（  ）
A、甲是乙的充分非必要条件   B、甲是乙的必要非充分条件
C、甲是乙的充分必要条件    D、甲是乙的既不充分，又不必要条件
解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件
故选B
4、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（  ）
A、m≥－  B、m≤－   C、m=   D、m=－
X^2-(2i-1)x+3m-i=0
(x^2+x+3m)-(2x+1)i=0
x=-1/2
代入得到m=1/12

5、设R+，，M分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加{m2| m∈M}是（  ）
A、R+    B、R－     C、R+∪R－     D、R－∪{0}
6、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（  ）
A、m＝4，n=－3   B、m=－4，n＝13
C、m＝4，n=－21   D、m=－4，n＝－5
7、 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
8、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“”
9、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误
10、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
11、在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）
A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
12、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）
(A)1 (B)1＋a(C)1＋a＋a2 (D)1＋a＋a2＋a3
13、某个命题和正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
14、用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是（ ）
A． B． C． D．
①当n=1时，左边=2，右边=2，等式成立。
②设当n=k，时等式成立，即(k+1)(k+2)...(k+k)=2^k.1.3...(2k-1)
  当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+K+1)(k+k+2)
                              =2^k.1.3.5...(2k-1).(2k+1)(2k+2)/(k+1)
                              =2^(k+1).1.3.....(2k-1)(2k+1)
         右边=2^(k+1).1.3....[2(k+1)-1]=2^(k+1).1.3.....(2k+1)   即左边=右边，等式成立

综上：当N属于N+时，等式成立。

15、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
16、数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= （ ）
A． B． C． D．1－
17、（8分）求证：+>2+。
18、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
一、 1、B2、B3、B4、C5、B6、B 6-16 DCABB CABBB
17、证明：要证原不等式成立，
只需证（+）>（2+），
即证。
∵上式显然成立,
∴原不等式成立.
18、解： (1) a1＝, a2＝, a3＝,
猜测 an＝2－

(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,
当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－,
即当n＝k＋1时,命题成立.
根据①②得n∈N+ , an＝2－都成立
推理和证明
【最新考纲透析】
1．合情推理和演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；
（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；
（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
2．直接证明和间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；
（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】
要点考向1：合情推理
考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；
2．呈现方式金榜经，属中档题。
考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；
2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。
例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：
① cos2a=2-1;
② cos4a=8- 8+ 1;
③ cos6a=32- 48+ 18- 1;
④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.
可以推测，m – n + p =.
【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．
【思路点拨】根据归纳推理可得．
【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，．【答案】962．
要点考向2：演绎推理
考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；
2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。
考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性和完备性。
例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设，
将的最小值记为，则
其中=__________________ .
【命题立意】本题考查合情推理和演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．
【思路点拨】观察的奇数项和偶数项的特点．
【规范解答】观察表达式的特点可以看出，……，当为偶数时，；，，……，当为奇数时，．
【答案】．
要点考向3：直接证明和间接证明
考情聚焦：1．直接证明和间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。
2．以解答题的形式呈现，属中档题目。
例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20）
已知集合对于，，定义A和B的差为
A和B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设，求，；
（Ⅱ）证明：，且;
(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数
【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．
【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．
【规范解答】（Ⅰ）＝（1,0,1,0,1）
＝3
(Ⅱ)设
因为，所以
从而
由题意知
当时，
当时，
所以
(Ⅲ)证明：设

记由（Ⅱ）可知

所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数。则
由此可知，三个数不可能都是奇数，
即三个数中至少有一个是偶数．
注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；
（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。
要点考向4：数学归纳法
考情聚焦：1．新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视；
2．以解答题的形式呈现，属中档题。
例4：等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值;
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式成立
【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以 .
下面用数学归纳法证明不等式成立.
① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
② 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=

所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
注：（1）用数学归纳法证明和正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少和n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。

【高考真题探究】
1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）
（A） (B) (C) (D)
【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则导函数是奇函数，故选D．
2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.
【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：
【答案】
4．（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数。
（1） 求证：cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力和分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.
【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数，
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，
∴是有理数
即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
5．（2009江苏高考）设≥＞0,求证：≥.
证明：
因为≥＞0,所以≥0，＞0，
从而≥0，
即≥.

6．（2008安徽高考）设数列满足为实数
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：;
（Ⅲ）设，证明：
【解析】（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.
充分性：设，对任意用数学归纳法证明.
当时，.
假设当时，，则，且，.
由数学归纳法知，对任意成立.
(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；
当时，∵，∴.
∵，由（Ⅰ）知，∴且，
∴，
∴.
(Ⅲ)设,当时，，结论成立；
当时，由(Ⅱ)知，
∴.
∴
.

一、选择题
1．已知是的充分不必要条件，则是的（ ）
（Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件
（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既不充分也不必要条件
2．设a、b、c都是正数，则,,三个数（ ）
A、都大于2 B、至少有一个大于2
C、至少有一个不大于2 D、至少有一个不小于2
3．在△中，所对的边分别为，且，则△一定是（ ）
（Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等边三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形
4． 5.已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，则称为上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ）
（Ａ） （B） （C） （D）
5.给定正整数n(n≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）

(A)251×22 007(B)2 007×22 006(C)251×22 008(D)2 007×22 005
6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2 009+a2 010+a2 011等于( )

(A)1 003 (B)1 005(C)1 006 (D)2 011
二、填空题
7．对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”。类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。
8．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）
9．(2010汉沽模拟)在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，则.
三、解答题
10.观察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2010是第几行的第几个数?
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
11．已知数列：，，，（是正整数），和数列：，，，，（是正整数）．记．
（1）若，求的值；
（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．
12．已知数列，，，．记．．
求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
一、选择题
1．【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题”和“逆否命题”同真假，即：若则.
2．【解析】选D.
3．【解析】选A.，，，又因为，；
4．【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证，即证，即证，即证，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证；
5．【解析】选C.由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行时，最后一行数为(n+1)·2n-2，
所以当n=2 007时，最后一行数为2 008×22 005=251×22 008.
二、填空题
6．【解析】选B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,
又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,
∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.
7．【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中类比到等比数列经常
是，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。 .
答案：若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有。
8．答案：锐角 钝角9．答案：
三、解答题
10．【解析】（1）∵第n+1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n-1.
（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）=3·22n-3-2n-2.
（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，
∴2 010在第11行，该行第1个数是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987个数.
（4）设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.
则an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1，an+2=3·22n+1-2n，…，an+9=3·22n+15-2n+7,
∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)
=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5时，S5=227-128-213+8=227-213-120.
∴存在n=5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227-213-120.
11．【解析】（1）
∵
（2）用数学归纳法证明：当
① 当n=1时，等式成立
② 假设n=k时等式成立，即
那么当时，

等式也成立.
根据①和②可以断定：当
（3）

…
∵ 4m+1是奇数，均为负数，∴ 这些项均不可能取到100.
此时，为100.
12．【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为，
所以．即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），得．
因为，所以．由及得， 所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，又因为， 所以．

例1（09浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．
答案．
【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．

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