小学数学重要内容解析-西南大学数学与统计学院.pdf

小学数学重要内容解析西南大学数学与统计学院算术大脑与数学大脑 科学网一谈谈数学脑袋与算术脑袋 科学网一再论数学脑袋和算术脑袋 数学家的大脑，跟我们i文些凡夫俗子有何不注重对数学的理解？！小学阶段所涉及的数学内容几何都是常识性的，只要记住 一些法则就会计算；小学生的抽象能力特别是演绎推理能力尚未养成，不应当、也不可能过多讲授数学道理。上述普遍观点正确否？基于双基的教学，不仅影响到小学，也影响到整个基础教育!教学目标：基础知识扎实一一主要是概念和法则的记忆、基本技能熟 练一一主要是计算和证明的能力 主要教学形式：教师讲授概念和法则，学生通过大量反复的练习，达 到记忆扎实、熟能生巧 对应的考试：概念的记忆与理解，计算的准确与速度。短期而言：此教学形式是合适的，效果是明显的！不利于培养学生的数学素养、感悟数学的思想，积累思维和实践的经 验，更不利于创新意识和创新思维培养，无法实现基于四基的课 程目标。=基的课程目标对教师提出了新要求 除了传统的双基之外，还：能够把握教学内容的数学实质，设计出符合学生认知规律的教学过程 让学生感悟实质；引发学生思考问题，帮助学生养成良好的独立思考习惯；引导学生能够正确思维和实践，帮助学生积累思维和实践经验。同样条件下，一个人事业成功与否，不仅仅取决于其掌握 多少知识，更取决于这个的思维方法！提纲 数学文化赏析 一些易混概念解析 小学数学基本问题解析 关于数学本质的认识 小学数学基本思想方法解析专业知识的储备是永恒的话题 数学与统计学的关系（区别）？为什么0是自然数？加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？倍和倍数的区别 时和小时有什么不同？怎样使用时和小时？最大的分数单位是1/2还是1/1?像0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数？计算出勤率可不可以不乘100%?足球比赛记分牌上的 3：2 是数学中的比吗？一个小学数学例子（数学的分析）数感的发展某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦，主人打算杀死这只乌 鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走，栖在远远的 树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起 走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离 开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人都没有成 功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清 了，飞了回来。乌勒与人数感的发展假设人类现在只有和乌鸦一样的数感，世界将是怎样？实际上，人的数感最初十分有限，以至于连乌鸦都可以与我们一比高 下，但是原始的数感使我们早期数概念的核心。数感的发展 匹配 经历一连串特殊环境，我们的祖先在自然界的亲身体验与 了解中，学会了一种技巧来给他们帮忙。在初次驯化野兽时，为了记录畜群的数目，他们用一粒小 卵石代替一只羊、两粒代替两只，一堆卵石代替一群 羊。无论是放羊还是送羊归圈，这种方法都能清晰记录下 羊对应石粒的数目。（英文中的calcuate（计算）就来源 于拉丁文的calculus（卵石）这种匹配能算是一种对应，不能说产生了绝对意义的数。数感的发展 随着比较稳定的农耕和牧业生活，单一的匹配方法不能解 决自然界众多量的意义。结果智者的观察，他们逐渐知道 了一些标准：鸟的翼可以代表2,苜蓿叶代表3,兽足代表 4,自己的手代表5.要想把收获的农作物以及牲畜的数量告 诉周围的人，只需把他们拿出来表示就可以了。这时候显露出数本身的绝对意义！进一步，发现了手指的快捷和使用：一指代表1,一指代 表1,二指代表2,五指代表5；要想表示6,就再拿只 手出来；要想表示11,连脚也用上，数感的发展数的诞生：各种5的意义逐渐地，用手指既可以表示5只羊，也可以达标5个人或者 其他什么东西。数的抽象概念随之产生。数感的发展 记数制 最初人类借助手指不自觉的伸屈，以表达事物的个数，随 着人类的强大，需要表达的事物以超乎想象的速度扩大。怎样以有限的手指作为工具表达大数？思曼：用尽可能少的记号和尽可能简单的约定将所有的数 表小出来。进位法：遵循位置的原则一一一个数字的值不仅依赖于它 在自然数序列中的意义，同时依赖于它在数组中相对于其 他数的位置。同一个2,在342,725,245三个数中，意义各 不相同。进位系统不只有十进制，还有二进制、八进制、十六进制、二十进制、六十进制等。也许是人生理上的巧合，而创造了 逢十进一的十进制最早人们利用计数盘来表示计数。342是用下图表示：计数盘问题：=代表 32?302?320?或者是3200?为了避免模糊，有必要把其中的空隙表示出来。数感的发展宴建可以解决一股的藜字结论，但是二个什么符号都没 有的空位还是不能解送因记录需要带来的不便。空位符号应运而生！阿拉伯人产生了0,L 2,3,4,5,6普的值算盘上的“0”-0作为不可缺少的数字，不仅是一个定位的数，用于像 数203中的0 一一充当十位上的数字，还用来表示没 有的意义。还可以用来表示作为某种标准来使用，如火箭发射，发射 指挥人员倒计时，这时候0作为了发射的标准。还有些计量仪上也以。作为标准。数学文化常析之一形识别 自然界中充满各药黄拄的现1犬，形法是物体属性中最重要的属性，要 认识世界，必须分娜物体形获，进行图形识别，以阐释和理解他心的 形成。一切科学的起源都可以溯源于人类对各种自然现象和空间图形的认真 思索。5形识别早在公元前2000年，埃及人建立 工愿始跑鳌塞人并具爸有关三 角形和棱锥体等几何僦念。古埃及人是这棒定余的形和棱锥体等几何概念。.嬲糠罐蠹种非常巧 前人的根基，不需特别学习，我们对一些基本构型从小就有认识：点：星辰、无限的细沙 线：一棵大树，一条眼神的街道 与厦中春曷熊芳曹需智濡直的道路,遇到斜坡的时候，坡的急和乙 A B Z.C=180平行四边形的不稳定性：商家伸缩门四面体立方体八面体十二面体二十面体世界上只有这五种正立体！（柏拉图立体）伯拉图说：构成世界的四大元素是火、气、水、土，这四种元素都是 物体，而所有物体都是立体。火是四面体形状，因为火是四大元素中最小、最轻、最活跃和最锐利 的物体，四面体适合火的这些特性；土一定是立方体，因为立方体是五种立体中最稳定的形体；春是麟就罐麟羹矗盘松睛定是二十面 气在大小、重量和流动性方面都居中，所以是有八面体构成的；十二画整是至秋正义体中最特殊的，因而是上帝用来安排漫天星座的，他代表宇宙的形状。数学文化堂析之二鹰嘴的曲线是一条渐开线一条鲨鱼的背鳍，一条悬挂着的棕檎叶的梢部“自依依据精巧的苴图所安邦的万物，不论是单独的还是如体 的，都像是被按原激来创造一切的先知和理性所挑选出来并林列 成片的，它们只能由心灵来颔会，因而是完全无形的；但是是I实 的;的篇，是真正真实的，永恒的。”-尼电马克以柏拉图为代表的古希腊人被几何图形的对称性、视觉美、微妙的逻辑结构 所吸引，并在图形中发现了数与形的密切联系。毕达哥拉斯学派的三角形数和四角形数最为典型.四角形数三角彩敷、平方（拼方）敷出于对自然界神秘影响的思索，人们似乎发现了一些与数字十分一致的情形:偈数是可分解的，从而也是容易消失的、阴性的、属于地上 的;而才敢是不可分解的、阳性的、属于天上的；寺数可以象征白、是、热、日、火。偶数反过来,靠征黑、衣、冷、物冰；一表示理，li,因为理性是不变的；二表示不同的意见；四太示 公平，因为它是第一个平方数，是两个相等的数的柬枳；五次示婚 姻,因为它是第一个阴性数和第一个出性教的转合；下水道井盖为什么是圆形而不是正方形、矩形.六边形或者椭圆？为什么0也是自然数?目前年为 要B、”才 o O 以期嘉 法鬻提彳0-。，认议 直然会 一自法编 义为说改 定认的材 的都联教 婺交办用 然囿前召 自对主O将说。娄法班5实的上的是部。学极 曩9月数教积 国代直饕着为什么0也是自然数?o”作为自然数的好处：众所周知，数学中的集合被分为有限 集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班 学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数 的集合。因为自然数具有基数的性质，因此用自然数来描述有 限集合中元素的个数是很自然的。但在有限集合中，有一个最主要 也是最基本的集合，叫空集,元素个数为0。如果不把o作为自 然数,那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画有限集合元素 个数的任务了。于是，从自然数的基数性这个角度，我们看 到了把作为自然数的好处。为什么0也是自然数?把0”作为自然数，不会影响自然数的运算功能。o”加入传统的自然数集合，所有的运算规则依旧 保持，如新自然数集合0J2,n,中的任何两个自然 数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然 数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘 法的分配律也不会受到影响。所以，0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅 是人为的规定。它让我们更好地理解自然数和它的 功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数 学的定义和规定，还应该思考规定背后的 数学涵义。为什么0也是自然数?总4日.羁藉题有翻I1.o我们常说：从零开始、O零距离接触，就 凌代两手空空.,.再髓颦罐:明。是最小的自IWferi二普岂普铅三 生万物。可见，一是由道一种虚无的存在而产生的。第二，更重要的是书写的需要，10的位置记数写法是10。没有0,就写不出 10，20,30,1000。斤以0.,1人.：.9这10个数字是曩凝您上第三 a+0=0+a=ao在自然数中5-5,。的出现可以保证自然数集有单位元二 A-.=0,如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了?基种意义上说这是老师的习惯。对学生而言，由于尚未形成习惯，也 果必就不好接受。加法与减法,乘法与除法是否互为逆运算？一般说运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的有序元素对a、b,有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应，叫做集合A中定义了一种运算。由这个运算可以得出两个运算，就是把a、b中的一个当作所求的，而把c当作已知,这样得出的运算叫做原来运算的逆运算。它的第一个逆运算是：对于元素对c、b,使元素a与它们对应；它的第二个逆运算是：对于元素对c、a，使元素b与它们对 应。如果一个运算满足交换律，即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a,永远得到 同一的结果，那么，这个运算的两个逆运算是一致的。也就是说，在这种情况下，这个运算有唯一的逆运算。例如，对于整数集来说，任意两个整数的加法运算满足加法交换律，所以加法有 唯一的逆运算减法。又如，任意两个整数的乘法运算满足乘法交换律，所以，乘法有唯一的逆运算除法。但是，每一个运算并不都有逆运算。例如，在自然数集合中，定义了自然数的加 法，而它的逆运算减法，对于任意两个自然数a、b,并不是总能施行的。加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？2口法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算这似乎成了许多 老师的口头禅，这其实是一种误解。例如：力口法2+3=5或其逆运算为5-2=3，5-3二2。故此，加法的渔运算只有减法；5-3=2 ,2+3=5。减法5-2=3。其逆算有5-3二.故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。.酷量知,只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为 同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆 会算。为什么不写倍？在学习求一个数是另一个数的几倍应用题时，很多小朋友会自然提出 这样的疑问，如：饲养小组养了 12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭 的几倍？为什么工23二4”的后面不写倍呢？首先应肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又对学生 说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称。如：12 只的只；8克的克。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出 一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，倍不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果4”，表示12里 面有4个3,就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。所以，在算式里不写倍，以免倍与单位名称发生混淆。“倍和倍数”的区别在第一学段我们学习了 倍的初步认识，认识了概念倍，而 在第二学段，我们又学习到倍数这个概念。那么，倍和倍 数这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？倍指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男 生有10人，女生有30人，因为10X3=30或者“3023”,我们就 说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人 数（10）的3倍等于女生人数（30）。不如说，倍其实表示的 是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）O“倍和倍数”的区别 倍数指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，倍数是不能独立 存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必 须为整数）。同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6X5=30,“6x5”表示6的5 倍。所以从这个角度来说，倍的涵义应宽泛于倍数，后者 可以视为前者在特定情形下的一种表现。一州寸和小时有什么不同？怎样使用时和小时？首先明确，小时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的关于我国统一法定计量单位的命令中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、小时、分作为辅助单位。（注：里的字，在不致混淆的情 况下，可以省略）o这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、小时、分、秒。由此，时既可以表示时间，又可以表示时刻。由于时间和 时刻这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位 时时，现行教材作了如下处理：约寸和小时有什么不同？怎样使用“时和“小时?当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位时。例如：超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略小 字）在用语言表述时间的长短时，为避免时间和时刻这两仝概 念产生混淆，则在时的前面加上一个小字。例如：超工苛 业时间12小时。小时字样。例如：公园每）。“改写和省略是一样的吗？从形式上看，将改写与省略两种对数的变化置 于了同一个要求之下（如：把一个数改写成用亿作 单位的数），真希望编者不是有意而为之，因为改写 与省略其本质是完全不同的。“改写和省略是一样的吗？目的不同。改写的目的是方便对大数的读写，而省略贝II是 取数的近似值。方法不同。改写是去掉亿位后面的0,再写上一个亿 字，而省略除了要找准亿位，还要考虑被省略的尾数的最 高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。符号不同。改写只改变了数的表现形式，大小并未改变，所以 用二”号连接；而省略既改变了数的形式，又改变的数的大小,所以用Y连接。“路程就是距离吗?许多老师的教学语言中替代使用，其实不然。路程是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而距 离则指连接两个地点而成的直线段的长度。路程所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是 折形线。一般情况下，两个地点之间的路程要大于它们之间的 距离，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相 等。最大的分数单位是1/2还是1/1?分数单位的含义：把单位T”平均分成若干份，表示这样一份的 数。在分数意义中，关键是分，没有分，就没有份。因为 把单位T”平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓分），由此得到的分数单位是1/2,所以1/2是最大的分数单位。尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它已不是我们通常 意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以1/2为宜。像 0/3、0.2/3.3/0.2 这样的数是不是分数?分数的定义明确告诉我们:把单位T”平均分成若干份，表示这样 一份或几份的数，叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要 表示的份数叫做分子。由此可知，分数的分子和分母都应该是非零 自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具 分数的实质，因此都不应该视为分数。进而，在考查学生对分数涵义的理解时，应着眼于通常意义上 的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生 的思维并无多大实际意义，而且会令诸如分数都大于0”等命题 的真与假陷入尴尬。比6多1/2的数”应该是 6+1/2”还是 6*(1+1/2)?实具：其于的以身”属定所本。6玄角勺 E巡。白2勺 AE数数1/昵 刀”6+胃或/2,lt/2几数/71是 犬21多小个该 段质旷渥这应 tTT r 短中可才数 颦题也的 州向多 白数列 修量畴整上浮 范是础比范是清以基弄可的，得差既追以 先而的 所%,加是 鬟数的/个个里Um 这个一这舶清一比，的弄是求数里非要质体这而当然，如果题目确定为比6多它的1/2的数，那答案则属于后者。计算出勤率可不可以不乘100%?人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材有不同的理解。同一课 程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来了困惑：到 底可不可以不乘100%呢？求xx率其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数 占应出勤人数的百分之几。如果公式只写成：出勤率二实际出勤人数/应 出勤人数，我们说这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人 数的几分之几），并不是百分数。因此，在公式后面乘上T00%，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因 此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率的公式中，都应乘TOO 犷。建议各版本教材的编委统一思想，以免给一线教师造成认识上的混乱。也球比赛记分牌上的“3：2”是数学中的“比”吗？可以从两个方面来理解它们的差别。/分1以O 差1为富 第差商数以2表 k/3 傀分：的3是 示W S 表嘉是相，后可 靓唯其即 分分，6数 得2星除 噌是弱 贾髭 徵另二(J1塞三，数学中的、”发一一 督就双2在后赛昂希实际得分工比是可以化简的，如 4:2=2：1;二 生球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能;同小学数学的一些基本问题 数与代数（数量？数量关系的本质？）（负数？分数？小 数？）（乘法是加法的简便运算？）（估算学习的意义？方程的本质？）图形与几何（中小学涉及到了哪些几何？）统计与概率（数学与统计学的区别？三种统计图的共性与 差异？随机性与不确定性？）关于数与代数的认识 数量：有实际背景的，关于量的多少的表达，是对现实生 活中事物的抽象 数量关系的本质：多与少 比较数量多少的方法：对应 数：对数量的抽象数的关系是对数量关系的抽象。其抽象方法有两种：对应 方法，定义方法（依赖于大小关系）乘法是加法的简便运算吗?自然数集合上的乘法是加法的简便运算整数集合上的乘法不是加法的简便运算 如何理解负负得正如何解释“3x(-2)(-3)x(-4)”?整数集合上的乘法运算是自然数集合上乘法运算的推广，推广的工具 是交换律和分配率。(3)x(4)=?学生1:在数轴上，从-3出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰 好至IJ-15的地方，故得(3)X(4)=-15学生2:在数轴上,从-3出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰好 至2的地方，故得IH同(-3)X(-4)=9学生3:在数轴上，从原点出发，反方向移动4次，每次移 动3格，恰好到-12的地方，故得(-3)X(-4)=-12 张孝达前辈：应该对学生这种敢于独立思考给予肯定和鼓励，然 后思考如何解决。问题：在数轴上如何自然地说明负负得正规定的合理性？在数轴上如何显示 与的区别？3x4=12(-3)x(-4)=12 乘法运算，1是非常重要的数(相当于0对于加法运算)乘法的运算法则：1X1=1,lx(-1)=(-1)xl=-l(-1)X(-1)=1 证明：0=0 x(-1)=(-1)+1 X(-1)=(-1)X(-1)+lx(-1)=(-1)X(-1)+(-1)(-1 的相反数是 1)近似计算和估算 为解决实际问题而进行计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只 需要或只能得到同准确数相差不多的近似数。为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误；所用的计算公式正确 表达了有关的几个数量间的关系，（而不是近似公式）并且计算过程中每一步都 是按相关的计算法则进行的。在科学技术的计算中，所用的原始数据大多数不是准确数，而是有一定误差的近似数,为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是 近似计算。估算是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的 判断。精确计算得到的是准确数；近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数。如果对计算结果的误差范围也没有提出要求，那就可以用估算来解决。通过估算或近似计算，得到的结果只能是用（约等于符号）连成的近似的 等式。但近似的等式在一定的条件下通过推理，可以得到用等号二连成的精确的 等式。为什么要学习估算?估算往往要涉及在哪个数位上进行计算的问题，因此，需要在计算之 前针对实际背景选择合理的量纲。选择量纲的过程可以让学生感悟估 算是对现实问题的度量，进而感悟如何进行估算才是合理的。确定了量纲以后，在具体计算时，就可以在量纲的整数位上进行估算,至多以量纲为基准取小数点后一位进行计算。对于已经给定了数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界，为此,需要对给定的数量进行适当的放大或者缩小，然后凑整计。所谓量纲就是通常所说的数量单位，比如，我们考虑距离的度量：如 果要度量北京到纽约的距离，那么用万公里比较合适；如果要度量长 春到北京的距离，那么用百公里比较合适；如果要度量教室的大小，那么用米比较合适；如果要度量书桌的大小，那么用厘米比较合适。为什么要学习IS算?脑科学家研究：人们进行精算和估算时大脑的反射部位一一精算主要 激活脑左额叶下部，与大脑的语言区有明显重叠古算主要激活脑双 侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切。就教育价值而言，根据脑科学家的研究成果，很可能会有这样的区分:精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力 o显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少 的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，数学教学内容 不仅要有精算也要有估算。为什么星学习估算？日常生活实践中，人们遇到的大量计算都是估算，应当让学生知道估 算。精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算，学 习估算对于培养学生的数感有好处。同时，估算不是近似计算，更不 是精算以后的四舍五入古算也不是估计：估算也是需要算的。基本结论：小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，否 则就失去了估算的教育意义。数学与统计学的关系?大不列颠百科全书认为统计学是关于收集和分析数据 的科学和艺术。陈希孺院士认为：统计学是有关收集和分析带有随机性误 差的数据的科学和艺术。如何认识统计学？如何看待中小学数学课程增设统计内容的意义和价值？一,数学与媪计学的关系？统计原本是用来收集和分析国家管理中需要的各种数据，比如国民收入、各种 税收。为了直观，人们发明了各种报表，直方图，扇形图等。这种传统意义上 的统计学，即古典统计学，在今天依然是非常重要的，这也是我国小学统计教 学的主要内容之一。14世纪左右，航海业在欧洲兴起，随之航海保险业开始出现，近代统计学由此 逐渐发展起来，19世纪末，人们把数学特别是概率论的有关知识引进统计学，构建了统计学的基础。与古典统计学相比，近代统计学依然是对于数据的收集 和分析，但却有本质的区别，因为近代统计学进行分析的基础是不确定性，即 我们所说的随机。到了现代，人们发现采用随机方法对大量数据进行分析，不仅方便而且更为准 确，比如，对于国民收入，我们可以动用大量人力物力来收集数据，但是谁都 知道，这样收集的数据不可能准确，远不如我们依据某种原则划分出地区和人 群，然后抽样，加权求和准确。特别是到了21世纪，银行、保险、电信以及材 料科学、基因组学等新兴学科的实验数据是海量的，对其进行分析只能借助随 机的方法。数学与统计学的区别?统计是数据分析的科学和艺术。法进无上义础知 定基多 裔很 没型的，模学 义些数点构我出型系 的模联 题是的问的切 究题帝!允学工:研同计与析大刀 点，统计 发究，统 出研是为 的的但作喀字。、/问!允方 究行研想 研进行思建。推 是上的 学础学计，的统 虑型，考模法 度和绎 角据演 个数曷 这在上 系L质 关建本 量是在 5子程过 量统理 数而推 从。的:的学。同上不础：纳 础基同归 基的不是 论号法上 立符方质AI、1-4、】S 白不白才题念 曷问程 究在究过研断们就器曾稗胆却断愿也不回在鳌常隹有原上髻脚足隹的，它对结果的判断 标港是对与错，统计学对结果的判断琮准是好与斥。数学与疏计学的区别立论基础不同:数学一一概念与符号；统计学一一数据推理方法不同:数学推理一一公理和假设；统计学推断一一 数据和数据产生的背景判断原则不同:数学是一门科学一一本质上是确定性的，对 结果的判断标准是对与错；统计学是一门科学也是一门艺 术一一对结果的判断标准是好与坏2018/8/2例：函数.概率与统计的对比 在一所小学，对于香港的男演员，学生们不是喜欢成龙就 是喜欢周星驰。首先建立关系式尸f(x),其中X表示学生，y表示学生喜欢的 演员。为了方便起见，用1表示周星驰，用2表示成龙。那么就构成了一个函数关系：1,1=1,2,32,工=4,5,62018/8/2学生是三年级以下的，即z=l,2,3,则函数值对应于周星驰，即y=h学生 是四年级以上的，即z=4,5,6,则函数值对应于成龙，即）=2。I 9如果我们知道，这所小学的学生存彳喜欢周星驰向彳喜欢成龙，则构成了 J U概率关系.令=1表示事件“学生喜欢周星驰，0=2）表示事件.学生喜欢 成龙”，那么对于一名随机抽查到的学生，这名学生喜欢周星驰和成龙的概率分 别为1 2Py=l=W 和巴y=2=wJ J2018/8/2如果我们除了前面假想的背景，即“让所小学的学生们不是喜欢成龙就灵A 欢同星以外没有其他信息，希单通过调查数据来估计学生喜欢两位演员的分 布，则是统计关系。令学生喜欢周星驰的概率为a我们通过调查来估计这个概 率。调杳了几名学生,其中有小名学生喜欢周星驰，于是我们就用:来估计加 这时学生喜欢成龙的概率就是1 一人用1一?来估计，这实际上是最大似然估 rt计。当然，我们还可以更仔细地来估计学生喜欢两位演员的分布，比如,分别调 在每个年级学生的情况或者分别调杳男生女生的情况等。2018/8/2数学与统计学的关系?中小学数学课程内容中加入统计学的内容，主要原因有三点：有利于养成数据意识，即通过数据来分析问题的潜在意识和自觉习惯,其实质是每当遇到问题时，通过事实来分析，用数据来说话。因而,必须调查研究收集数据，并在此基础上进行推断。只有这样，才有 可能客观地反映实际情况，进而解决问题。有利于建立随机的观念。有些事情可能发生，有些事情可能不发生，这在日常生活中大量存在，即便如此，只要我们掌握了足够多的信息!也能够做出合理的推断。有利于学习如何去判断事情的主要因素。统计学能够在一堆看似杂乱 无章的数据中提炼信息，寻找规律。这就需要抓主要因素，比如在股 票市场上，核心企业就是主要因素，是左右股市的主要力量。2018/8/2数学与统计学的关系?在小学阶段各学段统计内容的课程设计和教学设计有所侧重。在第一学段（1至3年级）侧重于统计直觉的培养。首先，应该对数有 一定的理解和感悟，如张奠宙先生所说的建立数觉。这主要是数的大 小的比较以及对于数的分类。后者对于学习现代数学和现代统计学都 是重要的，但是过去我们很少接触，比如，我们可以给学生提出这样 的问题：想一种标准，用这种标准把全班同学分一下类。显然分 类方法是多种多样的，这个标准可以是性别，出生月份，家庭区域等 o其实，这里也涉及抓主要因素的问题，分类的原则与标准就是主要 因素。其次，在数觉的基础上，学习一些抽样的方法。当然，要结合身边的 事情，比如，学生的身高、脚的大小、睡觉的时间等，这可以得到一 些有趣的结果。另外，还可以学习平均数、统计表、直方图等。最后，可以学习分层抽样，并且通过比较，领会分层抽样的好处。因 为有了数据分类的基础，学习分层抽样就比较自然了。2018/8/2 在第二学段（4至6年级），可以有一些具有背景的理性的思考。比如,再次进行学生身高的调查，然后与以前的数据比较，看身高的变化,这可以进行许多有趣的学习，可以做直方图或折线图，然后比较；可以分类比较，可以通过斜率来分析变化率；甚至可以通过变化率来 预测未来。除此之外，还要体验社会调查，比如市场物价调查，评估 物价是上升还是下降，这里也涉及抓住主要因素的问题，学习如何去 设计调查表，比如家庭的开支，同学对于图书的喜好，人们对于环保 的理解等等。在这个阶段，可以渗透随楣口概率的思想。分清楚有些事情可以直接 判断可能性的大小，有些事情需要通过调查估计可能性的大小。可以 涉及加权平均，中位数和众数的学习一定要结合具体的案例进行，并 且与平均数比较，这是因为中位数和众数在日常生活中用得不多。最好有一个案例能够贯串小学统计教学的全过程，比如关于身高的调 查分析，让学生们积累调查记录，逐年比较，对统计的学习有一个整 体的了解。2018/8/2如何理解随机性与概率？随机性与规律些 概率与机会 有些概率是无法精确推断的 有些概率是可以估计的 随机事件?目前不知道结论是否正确的命题是随机事件吗?和重复试验无关的不确定结果是随机事件吗？2018/8/2随机性与规律性有许多定律，例如牛顿三定律、物质不灭定律、爱因斯里相对论等。但是在许多领域，很难用如此确定的公式或论述来描述-此现象，比如,人的寿命c 一个吸烟、喝酒、不锻炼的人可能比一个很少得病、生活习惯良好的 人活得长.可以说.活得长短是有一定随机性的e这种随机性可能和人的经历、甚 因、习惯等无数说不清的因素都有关系.从总体来说,我国公民的预期寿命却是非常稳定的。而且女性的预期寿 命也稳定地比男性高几年。这就是规律性。你可能活过这个预期寿命,也可能活不到这个年龄,这是随机的.但是总体来说，预期辱命的稳定性，说明了随机之中有规律性.这种规律 就是统计规律。2018/8/2概率与机会 常听到概率这个名词，如天气预报中提到的降水柢串,如果降水概率是 百分之九十，那就很可能卜札但如果是百分之八就不火可能F札 因此，从某种意义说*篇率描述了某件，情发牛的机会.M然.这种极率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零，换言之.梭率是在。和1之间的一个数，说明某事件发生的机会有多大.2018/8/2把一跑匀硬币掷100短，100次都是正面可能吗？掷第101次，出现正面的可能性大还是反面？【有些概率是无法精确推断的】比如你对别人说你下一个周末大公园的概率是百分之八十.但你无法精 确说出为什么是百分之八十而不是百分之八卜四或百分之七十八.其实你想说的是你很可能去但乂没有完全肯定。实际上到了周末,你或者去，或者不去；不可能有分身术把仃分之八十的 你放到公园，而其余的放在别处。【有些概率是可以估计的】如掷色广只要没有人做手脚，你得到一点到六点中的任何点的概率都 应该是六分之一。这反映了掷色子的规律性。但掷出色子之后所得到的结果只可能是六个数目之一.这体现了的机性。如果你掷】000次色子，那么.大约有六分之一的可能会得到6,这也说明 随机结果也具有规律，而且有可能通过试验等方法来推测其规律。2018/8/2随机事件概率论是研究随机现象。随机现象是指：在条件相同的情况下，做重复试验，试验 结果却不确定，以至于在试验前无法预料是哪一个结果出 现，我们把这时的试验结果称为随机事件。2018/8/2一个小学数学例子I数学的分析!题目比较的大小:555553-III/5-H-555555 777777得有得即学生L（作商比较）由 555553 777777 555553x7 5x7x111110-1-21555555 777775 5x777775 5x7x111110-25N B-学生2:（化大为，卜）期彩2 2N=1-=1-5555555 77777777由 555555 777777 31 2 v _2,-5555555 -77777777 AvB.学生右（住瞰山狡）期彩1 555555,2 1 777777.2A 555553 555553 B 777775 777775由 555553 -3 X B A A=-=-S|Z蠲1过懿演懿鬻操喔器舍；釐埴案至建立结果需要验证7值得提倡。这个问题是应用题吗?,试问：我们给他坐的椅子是生匕手度 这却，的长的自这 好可蕴和。!解的的比 题理富手、用比 应领了己是先情未、富,例直婚地例的 生同翟质 董曩本 个鸡常后学 一如裴数 是正，等 这。想以，境思比相欢问凌体材将 题一了；的题现大现的型生模过高 子通子 际蟹椅 的学计 是好。设想于 然一思用 虽是的值,，例比次人笔 题其巨铅 问。量和又如，日本有_.坛的面积为场地的一半。猥公嘘髓鞭藉黠髓辍地辘酶踊Tfo2018/8/2关于数学本质的认识 小学几何内容为什么要增加？新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，为什么要增加？几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其 次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主 要包括这两部分内容。但是，实际上，大学数学的许多问题，它的原始思想是非 常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范 畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几 何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大 了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。2018/8/2关于数学本质的认识对于小学来说，直观几何最为基本。直观几何学教学的重点是什么?小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描 述立体。事实上我们生活的空间是三维的，接触的物体都是立体的，但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的；因此，空间 图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新 课程的教材中，通过照相机从不同角度下拍摄照片，通过三视 图科学描述简单对象，都是要用平面图形描写立体事物。2018/8/2关于数学本质的认识 什么是长度、面积、体积？小学教材中大都这样表述面积和体积：物体表面或平面图形的大小 叫面积，物体占有空间的大小叫做物体的体积。这是它们的定 义吗？2018/8/2关于数学本质的认识 这些只是对面积、体积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈大小。在严格的定义里不能 出现大小的词汇。人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义（那是大学 数学课程的内容）。现在的教材上，把体积说成占有空间的大小，要学生记住，实在没有必要。事实上，要理解空间，比理 解体积更困难，往往是越解释越糊涂。这说明，对于这类定义不要太 当真。在小学里，学生头脑里的体积直觉，已经够用了。2018/8/2关于数学本质的认识 在课堂上，我们会看到类似排水法测土豆的体积的案例。这是物理方法。数学上可以运用，做一些教学实验。但是，数学 的本质是如何计算某些图形的面积和体积。注意是找出计 算的方法和公式，并不是一味地度量。面积的严密定义是一 些集合类上定义的有限可加、运动不变、单位正方形面积为1的集 合函数。这是大学里研究的问题。但是在小学课堂上，要让小 学生体会面积、体积的一些特征：例如可以演示，不相交的两图 形合并后的面积是两图形面积之和，图形搬来搬去，其面积不变,进而可以用单位正方形的割补、拼接去度量复杂图形面积，等2018/8/2关于数学本质的认识小学数学为什么要渗透平面坐标思想？坐标的核心思想就是确定位置 吗？很多的教案都这样说，其实不准确。学习坐标确定位置，好像用经纬 线确定地球表面上的位置一样，是地理学的研究目标。数学课程中更 重要的是用坐标来表示几何图形。例如，两个坐标都一样