三角形的外心内心重心垂心和旁心.docx

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
序号
名称
定义
图形
性质
1
三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)

1， 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；
2， 锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在三角形外
2
三角形的内心
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)

1， 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；
2， 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一
3
三角形的重心
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心

1， 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2；
2， 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；
3， 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
4
三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心

A
B
C
D
E
F
O

1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)

1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。