数学模型 第06章 差分方程与代数方程模型.pdf

第六章差分方程与代数方程模型 差分方程若干离散点上未知变量数值的方程.描述离散时间段上客观对象的动态变化过程.现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.差分方程与代数方程都是离散模型的数学表述，二者有着类似的向量-矩阵表达形式，求解过程 也存在相互联系.数学模型m第章差代 分数 方方 程程 与模型6.1 贷款购房6.2 管住嘴迈开腿6.3 市场经济中的物价波动6.4 动物的繁殖与收获6.5 信息传播6.6 原子弹爆炸的能量估计6.7 CT技术的图像重建6.8 等级结构6.9中国人口增长预测督名栽守核能充高等教育电子音像.6.1贷款购房贷款购房需考虑的问题网上的房贷计算器买多大的房子 一共贷多少钱 每月还多少钱贷款购房蔺单的差分方程模型房贷计算器最新2014公积金贷款计算署 提前还贷计算署2014房贷计算器|清愈填写：货款类别：。商业贷款。公租金贷款。组合型贷款计算方式：根据面积、单价计算单价：I 用平米面积：I 岸方米按揭成数：7成日根据货款总额计算按揭年数：20年（240期）0贷款利率：2014年1月1日基准利率 06.55%还款方式：0等额本息等额本金查看结果:房款总额：|h贷款总额：I k还款总额：I支付利息款：I fe首期付款：|fe贷款月数：I 月均还款：I*以上结果仅供参考浅室招押一天放款东方HI达汽车柢押抵手续不押车 咨词：400-006-2689输入必要信息轻击鼠标即得数学模型单利和复利 两种计算利息的基本方式单利 1万元存5年定期,年利率4.75%,到期后本 息(本金加利息)：10000 x(1+0.0475x 5)=12375元.复利 1万元存1年定期,年利率为3%,到期不取则 自动转存,5年后本息：10000 x(1+0.03)5=11593元.单位本金、同一利率八同一存期计算单利和复利:单利本息：l+r 复利本息：(l+r)l+nr利滚利！数学模型单利和复利 按单利计算的业务零存整取 零存整取每月固定存额，约定存款期限，到期 一次支取本息的定期储蓄.方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.例 每月存入3000元，存期5年（年利率3.5%）零存整取累计存入金额180,000元计算器 到期本息总额196,012.50元勤俭节约、科学理财八单利和复利 按单利计算的业务零存整取即每月存入金额，一月利率，存期(月)xk 存入4个月后的本息xr=a+ar x2=xt+a+a2rXj=x+a+akr左=2,3,%士二递推至左=1/一、n(n+l)xn=na+ar(1+2+.+n)=na+ar-乙a=3000,r=0.035/12,n=12x 5(月)。xn=196,012.50等额本息贷欷和 等额本金贷欷房贷计算器的选项贷款类别：商业贷款，公积金,组合型 年利率不同计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算.按揭年数：可选1至30年.选择20年.银行利率：基准利率、利率上限或下限.选择商业 贷款的基准利率6.55%.还款方式：等额本息还款或等额本金还款.等额本息贷款和等额本金贷款等额本息还款每月归还本息（本金加利息）数额相同.等额本金还款每月归还本金数额相同,加上所欠本金 的利息.所欠本金逐月减少。每月还款金额递减 例1 房贷计算器”选择等额本息还款,输入:商业贷 款总额100万元,期限20年,年利率655%.点击“开始 计算”得:还款总额1796447.27元,月均还款7485.2元.建立等额本息还款方式的数学模型,并作数值计算.等额本息还款模型人 贷款总额，月利率 贷款期限（月）4 第左月还款后尚欠金额 即每月还款金额本月欠额=上月欠额的本息-还款金额4=Xh i(l+r)-，女=1,2,.，左二递推至k=1X=x0(l+r)n-a l+(l+r)+.(l+rn+(l+，)=0(1+*1贷款到期时与=0a=xor(1+厂)(l+r)-l等额本息还款模型*0 贷款总额 r 月利率 n 贷款期限（月）所每月还款金额 a=%（7?（1+r）-14还款总额 A=na=xom（W（l+r）-l例 1 2o=100（万元）,r=0.0655/12,=12x 20=240（月）：=74852（元）,41=1796447.27（元）与房贷计算器给出的相同等额本息贷款和等额本金贷款例2 房贷计算器”选择等额本金还款,输入:商业 贷款总额100万元,期限20年,年利率655%.点击“开 始计算”得到:还款总额1657729.17元,每月还款金额 由第1月的9625元逐月递减,最后1月为4189.41元.建立等额本金还款方式的数学模型,并作数值计算.等额本金还款模型“0 贷款总额 r月利率”贷款期限（月）每月归还本金第1月还款金额芯=工+xor n还款金额逐月减少归还本金/所产生的利息%第左月还款金额 一苓,k=2,3,.：,nA=递推 至k二2。z-i k l、F 玉)(1-)r,n nk=1,2,-n等额本金还款模型“0 贷款总额 r月利率”贷款期限（月）X广第4月还款金额4+3-沅kin&还款总额 4=%+W但k=i 2例2 A；。=100（万元）,r=0.0655/12,=12x 20=240（月）：“1=9625元,%240=418941（元）,A2=1657729.17（tg）.与房贷计算器给出的相同等额本息与等额本金方式的比较等额本息方式简单，便于安排收支.等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,后期低于等额本息方式,适合当前收入较高人群.等额本息方式还款总额大于等额本金方式.等额本息方式前期还款额较少,所欠本息的利息逐月 归还,所以利息总额较大.0还款总额例 1 例2：4=1796447.27(元)，A2=1657729.17(tc).小结与评注 贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金.要点：明确利息计算，列出差分方程，利用递推关系.模型适用于任何还款周期（半月、一季度等）将公布的年利率折换为一个还款周期的利率.不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.周期越短还款总额越小?数学模型工 6.2管住嘴迈开腿测评体重的标准体重指数(BMI Body Ma ss Index)w体重(kg),/身高(m)._偏瘦 正常 超重 肥胖 世界卫生组织标准 I V18.W18.5-24.9 25.0-29.9 30.0我国参考标涯 28.0例，=l.70m,w=63.5kg 0BMI=22 标准的身材!多数减肥食品达不到减肥效果，或不能维持.通过控制饮食和适当运动,在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并得以控制的目的.模型分析人体通过食物摄入热量,通过代谢和运动消耗热量.二者平衡，体重不变.平衡被破坏则体重变化.分析对热量的吸收和消耗,建立体重变化规律的模型.减肥计划应以不伤害身体为前提.。吸收热量不过少、减少体重不过快.增加运动量是加速减肥的有效手段.以周为时间单位制订减肥计划.差分方程模型数学模型模型假设体重增加正比于吸收的热量,平均8000kc a l增加体重lkg.1)2)3)代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克 体重消耗200 320kc a l（因人而异）.0 70kg每天消耗2000 3200kc a l.运动引起的体重减少正比于体重,且与运动 形式和运动时间有关.模型假设4）为了安全与健康,每周吸收热量NlOOOOkc a l,且每周 减少量WlOOOkc a l;每周体重减少量W 1.5kg.调查资料 食物每百克所含热量食物米饭豆腐青菜苹果瘦肉鸡蛋热量(kc al/lOOg)12010020 3050 60140160150运动每小时每千克体重消耗热量运动步行(4km/h)跑步跳舞乒乓自行车（中速）游泳(50m/min)热量(kc al/hkg)3.17.03.04.42.57.9基本模型w优）第左周（初）体重（kg）,k=12,c（k）第4周吸收热量（kc a l）a热量转换系数平均8000kc a l增加体重1kg）a=l/8000（kg/kc a l）代代谢系数（因人而异）.w(k+1)=w(k)+ac(k)9(k),k=1,2,由阿吸收热量C（幻决定体重W优）的变化规律.减肥计划的提出某人身高l.70m,体重100kg,BMI高达34.6.目前每周 吸收20000kc a l热量，体重长期未变.制订减肥计划使体重减至75kg(BMI=26)并维持下去.1.在正常代谢情况下安排一个两阶段计划：第一阶段：吸收热量每周减少lOOOkc a l,直至达到 安全下限10000 kc a l/周；第二阶段：每周吸收热量保持下限，达到减肥目标.2.为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划.3.给出达到目标后维持体重不变的方案.减肥计划的制定 w(k+1)=iv(fc)+ac(k)1.确定某人的代谢消耗系数4每周吸收20000kc a l,体重100kg不变.c(k)=c,w(k+l)=w(k)=w。w=w+cc /3w行 1/8000c=20000 A/3=20=0.025.=100 卬 8000 x100每周每千克体重消耗20000/100=200kc a l 正常代谢消耗相当弱.2.正常代谢情况下的第一阶段计划吸收热量由20000kc a l每周减少lOOOkc a l,直至达到安全下限10000 kc a l/周.。c(左)=20000-100%,左=1,2,10 c(10)=10000w(k+1)=w(fc)+ac(k)-J3w(k)第一阶段需 10周：w(k+1)=(1-0M 幻+(20000-100供)=0.975叩(左)+2.5-0.125fc,k=1,2,10w=100kg 第 11 周(初)体重 w(ll)=93.6157kg3.正常代谢情况下的第二阶段计划吸收热量保持下限c加=10000kc W周，体重减至75kg.w(fc+1)=w(A)+ac(k)-3w(k)Q w(左+1)=(1-尸)w(Q+acmin=0.975w(左)+1.25,左=1 LI 2,一(11)=93.6157 w(11+h)v(ll+22)=74.9888kg第二阶段需22周.两阶段计划共需32周.4.为加快进程而增加运动 外每周运动时间(h)尸运动每小时每千克体重消耗热量而於 ayt vv(k+1)=w(左)+ac(k)-(/?+aj4)w(k)取八=40(如每周步行7h加乒乓4h)a =0.03w(左+1)=0.97以左)+2.5 0.12 1，k=1,2,()w(左+1)=0.97w(幻+1.25,左=1L12 w(ll)=89.3319 kg,w(ll+12)=74.7388kg第二阶段缩短为12周 两阶段计划共需22周.5.检验“每周体重减少量W 1.5kg正常 代谢,，.、(S 975w +2.5-0.125 匕必k+1)=39751幻+1.25,k=1,2,.,10 k=11,12,.增加运动w(A+1)=0.9714/(k)+2.5-0.125 0.97w(k)+125,k=1,2,.10 k=11,12,.编程计算w优）w（左）w（k+1）/用勺0 假设4贝凡与尔/成正比1，左_%=_2（_/），20,k=l,2,假设3%勺（）+10假设4 4+户0与以喷成正比+1%=仅一%），#，k=124,以的差分方程组消去”凡卜加1-x0=-aj3xk-x0）,k=12 出的差分方程模型聋分方程模型yk-y0=-a(xk-x(),a0,左=1,2,4+i/=#(%)，尸，k=,2,%左+_%o=_3(左_/)，左=L2,O 4递推至左一 000cB、(。oo,飞从、a(3(a l/0 XQkTg/，为不稳定数学模型模型分析一 为=一2（4一%）,a0.k=1,2,一+1-=%-=），0。，攵=12例.平衡状态：x（）=100,为=10（元）.设%1=110数量减少1 1价格上涨01元1 a=0.l价格上涨1元：下一时段供应量增加5 1住5k9 10a/3 0,左=L2,4+1一%。=分（%），4，左=12例.平衡状态：“0=100,为=10（元）.设%/IIOa=0.1）a=0.24 j3=5a/3 1%o,为不稳定模型分析%一%=一。（一天）,a0,k=1,2,a商品数量减少1单位,价格上涨幅度4+1X0=伙”%），。0,左=12B价格上涨1单位，（下时段）供应的增量a 消费者对需求的敏感程度 a小,有利于经济稳定 月生产者对价格的敏感程度 力小，有利于经济稳定经济稳定数学模型差分方程模型的图形表示/第4时段商品数量消费者需求关系生产者供应关系以第4时段商品价格-y。=一仇（%之-%。）需求直线）&+1 一。=B（yk-yo）口供应直线g蛛网模建/与g的交点尸0（礼凡）平衡点 一旦4中0，贝！!%=%且4+1=4+2.=项），%+1=%+2=寸0设偏离%0再f f y2 f%一40，%一为4 TP2Tp3-P。尸0是稳定平衡点液用 尸。是不稳定平衡点K于 Kg差分方程模型与蛛网 模型的一致差分方 yk-yo=-a%-%0)直线/斜率Kf-a 程模型 xk+1-XO=P(yk-y0)直线 g 斜率 K=l/3 ok-sa l/3 土S 丫心外-8”0，为不稳定蛛网模型Kf Kg尸。是不稳定平衡点政府的干预办法。稳定平衡x差分方程模型的推广消费者需求关系不变。yk-yo=（益-0）生产者管理水平和素质提高根据当前和前一时段的价格决定下一时段的产量.见+i%。=S（y/c y。）。项+i%=+X.J/2乂4,4的差分方程组已知a,限X。,打，由初始值“1，”2递推地计算4,丫人数学模型差分方程模型的推广新模型刈7。=用（匕+%）/2-乂必=1.21 o y（）稳定 讨论稳定条件差分方程模型的推广yk-yQ=-xk-%0)叫+i 4=例(x+x _i)/2%2s+2+。色+1+色=2(1+20%,左=L2,二阶线性常系数差分方程xk+2+k+i+a2xk=%,%已知，k=0,1,2,4,丸2特征根 k+以几+%=0特征方程以I,以g，=$了稳定平衡点差分方程模型的推广2 天+2+a伙N+a伙k=2（1+a伪 X。特征方程 222+a3X+a/3=04”-3，?）2-8吻 口吐和稳定条件“一%0）：|41|丸2 I vl 邓 2比原模型的稳定条件aB 0,至少一,个仄 0.4一第，年龄组的死亡率（一个时段内死亡数量 在总量中的比例）.s=l-4存活率模型覆立,fl第i年龄组（出生婴儿法+i时段数量为（k+1）=2岸仆）=各年龄组4时段繁殖数量之和.仁0,2,左时段第i年龄组存活的部分到4+1时段演变为第洱1年龄组.%+式卜+1)=SjxKk)z=l,2,.,n-1,：0,l,2,个变量的差分方程组已知 s,.及匹（0）。任意时段各年龄组的种群数量按年龄分组的种群增长模型数学模型n模型覆立 七（左+1）=左）%j+1（fc+1）=SjXi（k）1=1么 b2 bn-l bn邑 0 0 0L=0 s2 0 0Leslie矩阵（矩阵L）%（左）=七（左）,巧（左），xn（幻丁 按年龄分组的种群数量 x（k+1）=Lx（k）M 左）=。）Leslie模型0 0%-10n%*（左）=M（左）,芯（左）,（左）了，（k）=x/k）/xj（k）i=l“体）的归一化向量，按年龄分组的分布向量.模型 例.种群分5个年龄组,繁殖率为%=0,%=。2,求解。3=18,办4=0.8,85=0.2,存活率为1=0.5,2二089S3=0.8,S4=0l，各年龄组初始数量均为100只.求任意时段各年龄组数量忒幻及分布向量%*%).-o0.21.80.80.21 000.500001 00L=00.8000 x(0)=1 00000.8001 000000.101 00 x(k)=Z?x(O)%2(上),(上)产数学模型？x(左)=%l(/c),%2(k)，(k)Tk012342627282930%1（左）100300220155265393403412423434x2(k)1005015011077190196201206211x3(k)100804012088149152157161165x4(k)10080643296117120122126129x5(k)100108631112121213数量向量工优）0 5 10 15 20 25 30 x(k)y。2（L11-_一 JC5()女充分大（好仍在增长（左）趋向稳定结果分析分析左充分大后x*(依的变化规律稳定状态分析的数学知识矩阵L存在最大特征根;I(正单根)口：2丸对应特征向量町 立=口 立 2_.1/0 04 口，丸，丸2，犬1x(k)=Lx(O)满足JmMk)/=3 c常数bn-l bn 0 00 0s.i 0结果分析 左充分大X,X*的特性！蚂x(幻/才=，特征向量乙=1，+若一,9”了当二色 A 7L/I1.分布向量/(左卜/稳定分布.与初始分布无关.2.数量 x(k+1)2 Ax(k)口%(左+1)=Ax,(女)各年龄组数量按同一倍数丸(固有增长率)增减.2=1目各年龄组数量保持不变.3.4=1时x(k)-cxA x2二口叫邑与，与%/伏卜s.x(k)s,等于同一时段相邻年龄组的数量比.|/I I 1 II数学模型用算例验证X*优)的特性结果分析-00.21.80.80.21.由L计算得到2=1.0254,0.50000L=00.8000%*=0.4559,0.2223,000.8000.1734,0.1353,0.0132T0000.10模型求解中x*(30)近似于2.模型求解中阳.(30)与匹(29)之比约为加1.0254.3.4=1.0254比1略大,匹+1(30)与阳(30)之比近似于力饲 养动物种 畔的 妗续稳定收获模型控制饲养动物各年龄组的数量,实现持续稳定收获:同一年龄组种群的收获量在每个时段都相等.实现方法：每个年龄组每个时段种群的增长量=同一时段的收获量.种群数量始终不变.假定自然环境下饲养动物仍服从种群增长模型:西也卜第i年龄组第4时段的种群数量.x(k)=双(左),%2(左)，七2(左)r x(k+1)=Lx(k)模型速立种群增长模型Mk+D=八（外九一第i年龄组种群的收获系数（收获量与总量之比）增长量=收获量%(左+1)%(左)=%为(左+1),i=12，凡 k=1,2,x(k+1)x(左)=Hx(k+1),k=1,2,Lx(k)x(k)=HLx(k),k 1,2,4 o o0 0 0 0,hn实现持续稳定收获种群数量x（A）=x（对左不变）Lx X HLx口 Lx=Lf=L-HLz/最表征根为1数学模型模型速立 持续稳定收获Lfx=x,L=L HL0 0%。4)02(i)力2（1 4）2(1-4)一、（1-初0 00Lf=02(1 H)0Lr的最大特征根兄=1（1 4）四+25（1 一色）+。前Sj（l 色）（1 4）=1给定乐Sj,选择收获系数也 持续稳定收获模型速立持续稳定收获Lx=x,L=L-HL/的特征向量（兄=1）种群数量的稳定分布:1=LS（1%）,/S_（l 一色）（1 增长量=收获量Lx-x-HLx。收获量的稳定分布HL VHLx=bx+优1(1/z2)+SiLt(1 a)(1 4),用 J,/23sls2(1 4)，4 S Sn_x(1 数学模型模型求解 持续稳定收获的条件（1 一%）自+Z?2sl（1。）+-S%_1（1 一 色）（1 一）=1例.设一个种群分成3个年龄组,各年龄组的繁殖率 为8 1=0,%=5,%=2,存活率为Si=0.8,s2=0.5.确定各年龄组的收获系数以实现持续稳定收获.求种群及收获量按年龄组的稳定分布.持续稳定收获（1 4）4（1 生）+0.8（1 色）（1%）=11.取入2=0.75,入3=1 2.取4=0.5,人2=。5 砥=1模型求解满足持续稳定收获条件1.入1=0,人2=0.75,入3=1 2.%=0.5,入2=05,入3=11.不出售幼畜，出售75%成年牲畜及全部老年牲畜.2.出售50%的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜.种群数量的稳定分布1=口,。20)2=l,0.4,0)r收获量的稳定分布 1.必，=0,060.1。2.HLxf=l,0.4,0.2r小结与评注模型基本假定：种群参数(繁殖率、存活率)只 与年龄有关,与时段无关(稳定环境、时间不长).Leslie矩阵为常数矩阵一可用特征根方法作 稳定性分析.如果种群参数随时段变化=4),模型表为 x(k+1)=L(k)x(A),无稳定性分析.人口增长与动物种群数量变化规律相同，类似建立离散型女性人口模型Leslie模型.6.5信息传指当今每天都有大量的、正面或负面的信息，甚 至谣言，通过各种传统的、近代的、特别是互 联网的渠道，在几乎没有限制的人群中传播.考察总人数一定的封闭环境,开始极少数人得到 了一条信息或制造了一条谣言,然后通过人与人 之间的交流在人群中传播,使获知的人越来越多.在合理的简化假设下，建立数学模型来描述信 息传播的规律，研究其发展趋势.模型假设1.在封闭环境中人群的总人数不变.2.信息通过已获知的人向未获知的人传播.已获知信息的人数越多（传播人群），每天 新获知信息的人数越多.未获知信息的人数越多（潜在人群），每天 新获知信息的人数越多.3.每天新获知信息的人数与已获知信息的人数 和未获知信息的人数的乘积成正比.模型建立N总人数p厂第左天已获知信息人数（传播人群），N-p广第左天未获知信息人数（潜在人群）.假设：第4+1天新获知信息人数E+1-P产A4 与Pk和N-的乘积成正比.0 Pk+i-Pk=cPk（N-Pk）Pk/Pk 对于潜在人群的一位而言，每天 N Pk 新获知信息人数的百分比增量.。是反映传播速度的参数，。越大传播速度越快模型求解 pk+l-pk=cpk(N-pk)/+1=(1+CN)PM1_/PDP厂第4天获知信息人数log ist ic微分方程的离散形式差分方程设21000,初始获知信息的人数Po=lO.80天后取才接近NPkc=0.0002k1000800600400200 0p4接近N只需40天Pa图形恰似log ist ic方程x=r%(1-%/%皿)的S形曲线.log ist ic微分方程的离散形式差分方程无法得到网的显式表达式 关注kTOO时Pk的变化“+1=(1+CN)pk(l-C1+c NPk)标准 形式4+1=%(1-X0一阶非线性差分方程通过讨论线的平衡点及其稳定性 研究的收敛性质(k-8).预备知识64差分方程的类型、求解及稳定性标准形式乙+l=b4(l-4)的平衡点及其稳定性解代数方程x=f(x)=bx(l-x)得到非零平衡点九*:=1 1/b为判断x*的稳定性计算了(x)Rx(l-%)在x*的导数：:()=b(l-2x*)=2-b根据x*稳定性条件ir(%*)i i,ibl只需讨论反3和力3时出的变化规律(女一 8).数学模型不同值下招+i=b%l-维）的计算结果（初值%o=O.2）0（单调收敛）出一X*（振荡收敛）4的2个子序列趋 向另夕卜2个平衡点出的4个子序列趋 向另外4个平衡点4的8个子序列趋 向另外8个平衡点山不趋向任何平衡 点，出现混沌现象拓展阅读61差分方程4+i=b4（1-的收敛、分岔和混沌模型讨论b=1+cN xk=i+函 Pk标准形式八+1=%（1 线）平衡点%*=1 1/b lb3,x*稳定原方程pk+r(+cN)pk_Pk)平衡点p*=Nc N2,p*稳定b2,4单调收敛于%*2b3,出现分岔、混沌cN l,Pk振荡收敛、分岔、随沌模型讨论外+1=(1+。即(1-七2)(Pa+i-Pk)/Pk c=-N-Pk21X设总人数N固定，讨论参数c（传播速度）的上限.传播过程中对于任意的左都有Pk-vM）cpkl 可以无限接近M 0 c的上限是1/M模型拓展信息自由传播 家人为干预信息（谣言）的传播 每天被制止传播谣言的人数比例.Pk+1-Pk=cpa-pG。Pk+1-Pk=cPk（N-Pk）-aPkb=1+cNaXk 1+cN-a Pk与+1=%（1-xQ被制止传播谣言的人又加入到听信谣言的 潜在人群中.模型拓展 Q 每天被制止传播谣言的人数比例.被制止传播谣言的人既不再传播也不会听信,从此退出这个信息传播系统.增加新的人群被制止传播后退出系统者.9厂第4天退出系统者的人数 qk+i-Qk=PkPk+i-Pk=cpN-pk-qk)-apk Pq 外联立组成非线性差分方程组.给定Po和为可递推计算以和在小结与评注信息传播模型的解只能具有单调增的收敛形式，完全符合人们的直观认识.讨论方程冗线（1-4土）的平衡点及稳定性,说明非常简单的非线性差分方程,也会出现比 相应的log ist ic微分方程有着远为复杂的特性.实际上信息传播速度C不可能保持不变，用随 左而变的7代替C,仍可递推计算外,结果会更好.受限环境下传染病的蔓延和生物种群的增长都可以建立类似的数学模型.数学模型 F6.6 原子弹爆炸的能*估计1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的阿拉 莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带，利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2X l(Pt.原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传 播,爆炸的能量越大,在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒测量：时刻/所对应的“蘑菇云”的半径r%(ms)r(m)(ms)r(m)”ms)r(m)”ms)r(m)”ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒用量纲分析方法建立数学模型，辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.量纲齐次原则在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.物 理=J的=J纲长度I的量纲记=/质量机的量纲记M=m 时间t的量纲记T=t 速度v的量纲v=Lrx 加速度a的量纲a=LP2 力/的量纲f=LMr2动力学中 基本量纲 L,M,T导出量纲引力常数k的量纲k=/2M.2a3册172对无量纲量a,于=心外量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动 求摆动周期t的表达式 设物理量t,m,I,t _1加%产0%门、g之间有关系式 J儿i g(D%,。3为待定系数，丸为无量纲量(1)的量纲表达式t=maiirgY30 T M的+的72的%=0 a2+a3=02a3 1%二 0口%=1/2a=-1/2 与%=2兀代对比量纲齐次原则单摆运动t=荷产g%为什么假设这种形式?设夕=f（x,y,z）对的两组测量值j女/1和j力药，”,以的量纲单 位缩小也C倍0=HP2 P2Pi=f（4y 1*1）,P2=f（x力句）P；=/（研/%）,p；=/（。马力%，%）/（%,，4）=/（为/x，c z j f（x2,y2,z2）/（/为，仁2）口%/（苍，/）的形式为 于（X）y z）=Axaypz7单摆运动中t,m,I,g的一般表达式 m,/,g）=。A/加2/为短4词=M7卬=”广2月以为待定常数,九为无量纲量（力尸厂（力7）乃（ZM1T）为（L=2/=MT2y3+以 为 丁1-2%二 LoMr%+以=。基本解=0.4058 2/5量纲分析法的评注物理量的选取0(.)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲的选取基本量纲个数；选哪些基本量纲.基本解的构造有目的地构造Ay=o的基本解.方法的普适性不需要特定的专业知识.结果的局限性 函数方和无量纲量未定.背景6.7 CT技术的图像重建 CT（计算机断层成像）技术是20世纪50至70年代由 美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的.1971年第一代供临床应用的CT设备问世.螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用.CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测 等领域也得到了广泛的应用.什么是CT,它与传统的X射线成像有什么区别?概念图示 一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球单方向观察无法确定 球的数目和透明度光源X二人眼射二p O。鼻胶 线二片,人体内脏让物体旋转从多角度观察能 分辨出5个球及各自的透明度光源X二厂个人眼探 2 二二i 测 管:7 器人体内脏图像传统的X射线成像原理 CT技术原理重建CT技术:在不同深度的断面上，从各个角度用探测器接 收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线;经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建.X射线强度衰减与像重瘦的数学原理h射线强度 人物质在射线方向的厚度模型r/。入射强度 4物质对射线的衰减系数射线强度的衰减 史 I率与强度成正比.dz射线沿直线L穿行,穿过由 不同衰减系数的物质组成的 非均匀物体(人体器官)./=J/(x,y)dl/=/oex p(-/(x,y)d/)。I=叱l(x,y)d/=lny数学模型X射线强度衰减与像重瘦的数学原理一(X,y)d/=ln 学右端数值可从CT的测量数据得到图像多条直线上的线积分L（羽 y）dl。被积函数（%,y）重建口反映人体器官大小、形状、密度的图像数学 与）=1/（羽y）d/原理 Ra don变换8%(.)71 J(Ra don逆变换0a，（加与。相距g的直线上的线积分层（为对所有g的平均值 实际上只能在有限条直线上得到投影（线积分）.图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个 领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件.像重瘦的代数模型加个像素打束射线(i=l,/)数学极刑像素/每个像素对射线的衰减系数是常数广像素/的衰减系数A/i射线在像素/中的穿行长度 o5 i4=1 i=l转移矩阵。=俏卜.,P炉是每年从i转至/的比例基本模型 P厂每年从，转至/的比例退出比例w=（叫，叫,，吗）,叱每年从/退出的比例kW（t）=/年退出总、人数i=lk2%+叫=1，夕小叱2。=1,，左7=1k调入比例升=（不公,）。之0，=1 i=lrr每年调入i的比例（在总调入人数中）R（t），年调入总人数，（尺/年调入/的人数基本模型总人数NQ+1)=N+尺Wk等级7人数%(%+1)=，pijn.(t)+qR(t)i=l-挈,n(t+1)=n(t)Q+R(t)r总人数增量/=N(t+1)-N=n(OwT+M)分布 总人数N 转移。=%退出w,W 调入r,尺ktri=1，二1p1+吗=1n(t+1)=n(tQ+wTr)M基本模型已知 Q VP,M(0,z z(O),可预根！h Q)基本模型n(t+1)=n(0(2+vvT r)+M(/-)rP=Q+n(t+1)=n(t)P+M(t)rk kQ=p 5p+叫=1$=1j=l ITp的行和为1（随机矩阵）0若总人数不如=N(t+1)-N(t)=0 等级结构 a(t+1)=a(t)P=a(tQ+wT r)与马氏链基本方程z(+l)=a()尸一致等级结构状态概率 P转移概率矩阵用调入比例进行稳定控制a(t+1)=a)P问题：给定。，哪些等级结构可 以用合适的调入比例保持不变P=Q+wT rQ=p/，Zp，7+叱=iJ=1若存在“吏a=a(Q+再)，应满足弓羽,/=1称。=(q,ak)为稳定结构.Z=1T=(Q+w r)a aQT aw.k可验证=1i=laaQrQj 为稳定结构用调入比例进行稳定控制为稳定结构例大学教师（助教、讲师、教授）05等级;1,2,3,已知每年转移比例。二。0.4 00.6 0.3求稳定结构=（1，2必3）（1+2+。3=1）%0.5%aaQ OB的+0.8%a2=。1 与 Q3=L5i2交点:000.8(0,0,1)(1,0,0)6z*=(0.2860.280.428)数学模型用调入比例进行稳定控制*。一为稳定结构研究稳定域B的结构:寻求心aQ的另一种形式a=a（Q+wrr）0 r=a=（）的 aW/=（/-。尸k记 =记的第i行由=（由1，阴2,，帆左）kM=rm/i ii=lk。枚T=(Z%)T i=l，=1 k,=(0,1,0)记M的第，行元素和4=2%krM=Z r.e.i1T a=(aw)rM#对行求和口J=1 k22 rMi用调入比例进行稳定控制 研究稳定域B的结构ka=-Z i=l k卜=rM mE 丫卅j 1 ij=lr Ob O当。能表为以为系数的v的线性组合,kk可验证=1且4 N，Zz=1时4是稳定结构1=1i=l稳定域B是左维空间中以片为顶点的凸多面体2000.5000.40.6 000.30.8M=(z-e)i=2 32.5 3.750 5N、7,/ll2 6.25,y6y3 5I=(0.286,0.286,0.428)M 的第行 mi=,mi2,mz3)3，行和4=2=mJ也例Q$2=(0,0.4,0.6),S3=(0,0,1)a=b1s1+b2s?+b3s 3,bi Zb=i稳定域B是以电为顶点的三角形j=i（o,o）T八0.286s3(0,0,1)0,286(1,0,0)小结与评注等级结构的演变、预测和控制在社会系统中有 广泛应用.建立等级结构演变过程的基本方程,预测未来结构.讨论总人数和内部转移比例不变情况下,用调入 比例控制级结构的变化.各种推广情况：总人数按照一定比例增长；调入比例有界；调入比例固定而用内部转移比例 控制级结构的变化.6.9中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。1512963012.95亿里亿116亿 10.32 亿1953 年 1954 年 1982 年 1990 年 2000 年 2010 年6JJ30H 6JJ30H 7JJ1H 7JJ1II 11JJ1II 11JJ1H 2007年公布的国家人口发展战略研究报告提出，如果我国人口总量峰值2033年前后达到峰值15亿人左右，全国总和生育率应保持在18左右,过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展.中国人口增长预测 全国大学生数学建模竞赛2007年A题近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素，影响着中国人口的增长.要求从中国实际情况和人口增长特点出发，参考2005年人口抽样数据，建立中国人口增长的数学 模型，并对人口增长中短期和长期趋势做出预测。以发表在工程数学学报2007年增刊二上学生优秀论文为基本材料，介绍建模过程.数学模型2005年人口抽样数据72百020713 7 555 o o o o o o O乡妇女生育率女死男性男死女性女死幺亡率比例亡率比例亡率rp琪多10.790.6513.970.5418.550.540.651.450.511.960.40.651.160.511.310.420.650.730.510.66 0.280.531.910.530.8229.0168.2395.010.420.491.750.520.7848.17113.45150.840.490.492.060.540.9264.95129.4164.580.40.581.770.620.6284.17139.5167.17 1160.021630.03130.8144.90.01189.30.03157.3172.60.03355.20.08237性例48 女比O.镇死碎9.1男亡7 4 74 4 4 o o O 3 8 79 5 5 o o O17.515.8 3.5 2性例56585558 分比O.O.O.O.十 龄男性 比例男死 亡率女性 比例女死 亡率00.466.380.46.0810.460.840.390.7620.410.580.340.0530.450.560.390.37200.690.590.740.06210.690.430.760.26220.730.650.780.23230.860.420.940.21 880.02174.50.0311