数学中的推理和证明.pdf

西华师范大学数学与信息学院 一、数学中的推理1.推理的意义和结构从一个或几个已知的命题得到一个 新命题的思维形式叫做推理.其中，已知的命题叫做前提（或条 件），得到的新命题叫做结论.在形式逻辑中，常把一个推理形式表示为:前提结论或“前提f结论”例如:所有的矩形对角线相等正方形是矩形正方形对角线相等黑人是黑头发中国人是黑头发 中国人是黑人都是由两个前提得到一个结论的推理.如果舍弃了前提与结论中的命题的具体内容，仅保 留其逻辑结构，便得到抽象的推理形式.以上两例的推理形式分别是：所有的M是P 所有的S是M 所有的S是P所有的P是M 所有的S是 所有的S是P由三段论知识可知，第一个推理形式是正 确的，第二个推理形式是错误的.一个正确的推理，必须是推理 的前提真实、推理的形式有效.如：因为 所以 因为 所以负数大于0,-5是负数,-5大于0.前提不真实整数是有理数，分数是有理数,整数是分数.推理的形式错误所以，它们都不是正确的推理2.推理的规则凡是正确的推理形式，就是推理规则.规则1：若p/q真，贝Up真；若pAq真，贝g真.即：(pAq)-p;(pAq)-*q.规则2：若p-q真，且p真，贝！Jq真.即：(pf q)A p f q.规则3：若p-q真，且0真，则*真.即：(pf q)A 5 f q.规则4：若pVq真，且真，则4真即：(pVq)八。-q同样有：(pVq)Aq P-规则5：若p-q真,且q r真，贝峰真即：(p-q)A(q-r)(p r).规则6：若集合A中的每一个元素x都具有属性F,则集 合A的任一非空子集B中的每一个元素y,也具有属 性F.即：Vx e Af(x)a 即2 3 w).Vy BF(x)这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则，是作 为公理提出来的，它保证了由全称命题为真可以推 出相应的特称命题为真.推理的种类1.演绎推理演绎推理，又称演绎法，又称为论证推理，它是思 维进程中从一般到特殊的推理.演绎推理主要有三段论、关系推理、联言推理、选 言推理、假言推理和模态推理等推理模式.一般特殊何为三段论？由两个前提推出一个结论的演绎推理叫做三 段论.例1.任何一个自然数都大于或等于零,口是自然数.所以，n0例2.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等,NA和是对顶角，所以，ZA=ZB.总结：大前提&小前提结论根据前提中命题的不同形式又可以将三段论分为直言三段论 和假言三段论.当三段论的两个命题都是直言命题时，这种三段论称为直言 三段论.当三段论的前提中包含假言命题时，这种三段论称为假言三段论.直言命题是断定思维对象具有或不具有某种性质的命题；假言命题是有条件地断定事物的某种情况 存在的命题，在数学上假言命题一般用“如 果，那么”或者当且仅当，则”这两种形式来表达.一个数学上的证明是论证推理，呈现 在我们面前的科学数学是一门以论证推理 为特征的演绎科学.但是，这仅仅是科学数学的一个方面，科学数学所呈现的东西已经是科学数学建造过程的尾声，是数学家创造性工作结出的果 实，而在整理成这些定型的逻辑论证材料 之前，有着更为漫长的探索发现过程，这 就是科学数学的另一个侧面一数学发现 的方法之一：合情推理.合情推理一词来自于Plausiblereasoning,又译为似真推理.波利亚说：数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理、通 过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映 出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推 理占有适当的位置.因此，波利亚曾多次呼吁让我们教猜想吧!学习合情推理的意义还数学的本来面目,把数学知识的学术形态 的“冰冷的美丽”转化为数学知识的 教育形态的“火热的思考”.数学中的合情推理主要有：归纳推 理、类比推理、直觉、顿悟等.这里主要谈谈归纳推理与类比推理.2.归纳推理1）定义把某类事物中个别事物所具有的规律 作为该类事物的普遍规律，这种思维进程 中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称 归纳法.特殊一般归纳法 完全归纳法属于演绎推理（比如数学归纳法）不完全归纳法（实验归纳法、经验归纳法）属于归纳推理我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学 真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜 想，它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成 为真正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.归纳推理的特点：创造性较强而可靠性较弱.归纳推理在数学创造活动 中发现真理的一般过程：经验归纳（归纳推理）瞥题想 成命猜 乡(（反驳）广 推2）归纳推理成功的例子物理学中的波义耳马略特定理、化学中 的门捷列夫元素周期表、数学中勾股定理等等都 是运用归纳推理发现真理的典型例证.波义耳一马略特定理:温度不变时，一定质量的气体的压强 跟它的体积成反反该定律对理想气体才严格成立,但可 近似反映实际气体的性质.例1.凸多面体的欧拉（Euler）公式的发现道路.（P182-187 王子兴）正多面体顶点数面数棱数正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体三棱锥五棱柱规律：X(P)=F+V-E=2称任一凸多面体的欧拉示性数等于2.正四而体 正八面体 正六面体 正十二面体验证：这些正多面体都满足这条规律吗?问题：证明正多面体只有五种.例2.杨辉三角形、理的发现道路.牛顿(Newton)二项式定(P187-189 王子兴)3)归纳推理失败的例子例3.费马(Fermat)素数(1664年)的猜想P193-194王子兴)0)=2”+1=3是素数，/=2骐+1=5是素数，2)=2”+1=17 是素数，3)=2、=257 是素数，/(4)=2”+1=65537是素数,猜想，对所有自然数m/()=22+1是素数.然而，善于计算的欧拉在1732年发现f(5)=225+1=4294967297=641x6700417 即5)=225+1不是素数.4）归纳推理结论未定的例子例4.偶数哥德巴赫（Goldbac h）猜想奇数哥德巴赫猜想N=Pi+2+P3（N是不小于9的奇数）Vinogradov 1937 证明 A偶数哥德巴赫猜想N=P+P2（N是不小于6的偶数）也即（1+1）N-3=Plp2目前最好的结果是陈景润1966年的（1+2）.陈景润1966证明(1+2)例5.梅森猜想（Mersenne,又译为默森尼）（P197-198 王子兴）例6.柯召一孙琦猜想（P199王子兴）5)完全归纳推理和不完全归纳推理(1)完全归纳推理：也称完全归纳法，是根 据某类事物中每一对象或每一子类的情 况，作出该类事物的一般性结论的推理.完全归纳推理的形式为:占具有性质F 42具有性质F 匕具有性质F相具有性质F(A=xpx2,x3,.,xj)A类事物具有性质F4具有性质方.为具有性质尸或 上具有性质尸者.4具有性质方4类事物具有性质F完全归纳推理的每一个前提如果都是真实的，那么其结论一定正确，所以它是一种严格的推理方法，在数学中可以 作为严格的推理方法.（2）不完全归纳推理：也称不完全归纳法,是根据某类事物中的一部分对象的情况，作出关于该类事物的一般性结论的推理.不完全归纳推理的一般形式:4具有性质尸&具有性质尸 43具有性质产4具有性质方n（U A左 UA）k=l WA类事物具有性质F例如：费马素数猜想就是一个不完全归推理的例子.一(0)=2 2 +1=3是素数,/(I)=22+1=5是素数，/(2)=2”+1=17 是素数，3)=2 2,+257是素数，/(4)=2”+1=65537是素数,所以，对所有自然数，/()=22+1是素数由于不完全归纳仅仅列举了归纳对象的一部分，因此前 提和结论之间未必有必然的联系.其结论的真实性，还需要经过理论的证明和实践的检验.虽然不完全归纳法不能作为严格的数学推理方法，但在 探索数学真理的过程中，它能帮助我们迅速发现事物 的特征、属性和规律，为我们提供研究方向，提供猜 想的基础和依据.同时，不完全归纳法在数学教学和解 题过程中也有着广泛的应用（先猜后证）.5）归纳推理在问题解决中的作用和意义用归纳推理发现问题的结论两种形式：A由特殊事物直接猜测结论根据规律先猜测一个结论的加强式（或一个递推关 系），然后凭借结论的加强式（或递推关系）去发 现结论例7.（1993年全国高考题）（P200王子兴）用归纳推理发现解决问题的途径 例&一个不等式的证明设Q、b、C都是正数，求证：an+bn+cn apbqcr+arbpcq+aqbrcp.其中p、小厂都是非负整数，旦夕+q+厂=儿证明：先考虑特殊情形：（1）当孔=3,p=q=r=1时不等式即是：不等式成立.（2）当=3,p=2,q=1,r=0时不等式即是：a3+b3+c3 a2b+b2c+c2a.下证不等式（2）成立.受的启发，可以得到：在/+Z?3+c3 3qc 中，令q=c有：2d53+Z?3 3/3 3 TV 2i r=i-rm-2b3+C13 2 2c+?-a3 xa3 xb3=同理有：-b2c,-c2a.3 3 3三式相加有：+b3+c3 01b+b2c+。之成立.(3)一般的情形:由,由于p、外厂都 是非负整数，山+厂=儿 根据类比有：p.+qb+rc n apbqcr.ne+W+M 2 azp白 nqa+田+p,3.n三式相加有：an+bn+cn+优d 成立.3.类比推理D何为类比推理类比推理是根据两个不同的对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的 思维形式，它是思维进程中由特殊到特殊 的推理.特殊特殊类比推理的一般性例子:飞机的发明、潜水艇的设计思路、航海偏光天文罗 盘的制造（仿蜜蜂的太阳偏光定向功能）、雷达 的发明（仿蝙蝠等）近代仿生学的成果牛顿把天体运动与自由落体运动作类比发现了万有 引力定律数学上的类比从一个故事说起:从前有一个国王，暴虐任性。一次，他对一位大臣说：“我吃的鸡蛋都是母鸡生的，现在想尝尝公鸡蛋的滋味，命令你三天内 把公鸡蛋找来，我将重赏你；如果三天内找不到公鸡蛋，我就要在第四天的 早晨处死你。”大臣知道厄运将至，但又不敢公开违抗，只有悲伤地离开了朝廷。三天过去了，大臣无法找到公鸡蛋。最后的一个夜晚，他显得异常烦 躁。大臣的小儿子是一个很聪明的少年，看到爸爸如此焦急，知道一定是大 祸临头了。便问道：“爸爸有什么烦闷的事呢？”“你小孩子家，我讲了又有什么用？”大臣有气无力地回答。“不，爸爸！告诉我吧，或许我能为你分忧。”少年紧握爸爸的双手，使劲地摇晃着。大臣深情地望着自己的孩子，终于说出了事情的原委。少年沉思了 一会，劝爸爸不要着急，他有办法逢凶化吉。第四天的一早，少年代替大臣上了朝。“你爸爸怎么不来呢？”国王问道。“启禀国王，我爸爸在家生孩子。”少年不慌不忙地回答。少年的回答引起国王和大臣们一阵哄笑。继而，国王生气了：“胡说！男人怎么会生孩子？”“是的，国王。男人是不能生孩子的，正如公鸡不能下蛋一样。”少 年抓住时机，一句话说得国王张口结舌，无言相对，最后只好赦免了大 臣。生活中有很多现象是类似的。我们常常根据两个类似系统的某 一系统中某一公认为正确的判断，来对另一系统作出类似的判断，这种方法叫做类比。“公鸡是不会生蛋的”，这是公认的事实，可是 国王却违背了这个真理。“公鸡不能生蛋”与“男人不能生孩子”是类 似的两个现象。为了证实“公鸡不能生蛋”是正确的，就用“男人不能 生孩子”这一公认的事实来类比，从而达到否定国王谬论的目的。类比的方法在数学中有广泛的应用。平面上三条直线可以围成一个三角 形，空间四个平面可以围成一个四面体（三棱锥）。三角形与四面体 是两个类似的几何图形，它们之间可以类比。我们从三角形已有性质 出发，可以推测四面体是否也有类似的性质。三角形有3个顶点，四面体有4个顶点；三角形有3条边，四面体有4个面；三角形有3个角，四面体有6个二面角。任何一个三角形都有一个内切圆，任何一个四面体是否也必有一个内 切球（与四面体四个面相切的球）？答案是肯定的。任何一个三角形总有一个外接圆，任何一个四面体是否必有一个外接 球（即过四个顶点的球）？答案也是肯定的。天文学家开卜勒曾说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”数学家拉普拉斯也说过：“甚至在数学里，发现真理 的主要工具也是归纳和类比。”让我们在日常生活 和数学发现中，更好地发挥类比这个工具的作用 吧！类比推理与归纳推理一样，也是一种合情推 理，其结论正确与否，必须经过严格的证 明（用演绎推理论证）.因此，类比推理也是一种创造性较强而可靠 性较弱的方法.类比推理的一般形式:A具有性质尸 1，%，工，尸 3具有性质尸 1，尸2,，工 5类事物具有性质P类比推理在数学创造活动中发现真理的一般过程:具问或体材发 从体题具素出类比（类比推理）成遍题如 形普命怎证明2）类比推理与归纳推理的关系归纳推理是从特殊事物的性质得到 一般对象的性质，是一种纵向思维；类 比推理却是一种横向思维，是借助于两 个事物（两个系统）在某些部分上的一 致性来推测在另外一些部分上的一致性.例1.分析算术平均与几何平均不等式的发现过程见P2 07-2 08王子兴3）类比推理成功的例子例2,无穷级数1 I I I I II+-F-F-卜-F.4 16 25 36 49之和的发现道路（见P2 09王子兴）.类比推理的成功是数学内在统一性的一种表现.数学类比推理能力的提高，依赖于对数学统一性的 深刻理解.4）类比推理失败的例子类比推理和归纳推理一样，也是一种合情推 理，其结论带有偶然性和片面性.其原因在于任 何相似的两个对象之间，总有一定的差异性，推 出的属性如果正好是两者的差异性，此时类比推 理就会发生错误.也就是说，事物之间的相似属 性（或共有属性）和推出的属性之间不一定有必 然的联系，因此由类比推理得出的结论，有的可 能是对的，也有的可能是错的.例3.关于无穷级数111111112 3 4 5 6 7 8.的敛散性.见P2 14王子兴5）类比推理在问题解决中的作用和意义波利亚：“类比似乎在一切发现中有作用，而 且在某些发现中有它巨大的作用”.“类比是提出 新命题和获得发现取之不尽的源泉”.类比在数学发现中的两个作用：发现新的命题，直至发现新的数学领域；发现问题解决的途径和方法例5.1979年全国高考题见P2 16王子兴三、数学中的证明1.证明的意义和结构证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断定某一命题真实性的思维过程.数学中的证明是应用已经确定其真实 性的公理、定理、定义、公式、性质等数 学命题来论证某一数学命题的推理过程.任何逻辑证明都是由论题、论据和论种三部分组成.论题是需要证明其真题的命题；论据是确定论题为真所包的那些小;论证就是指由论据出发进#、系列推事来确定论题 真实性的过程.中学数学中的证明通常分为已知、求证、证明三部分.2.证明的规则数学证明是逻辑论证的一种，也是数 学思维的过程，正确的数学证明应该遵循 逻辑论证的一般规则.规则1.论题必须明确且保持同一（防止“论题 不清、换题论证”的错误的发生）；规则2.论据必须真实、充分（防止“虚假理 由、不能推出”的错误的发生）；规则3.论证必须遵循推理规则，不得循环论证.3.数学中常用的证明方法归纳法（按思维方式分类YI演绎法C分析法数学证明 按思维的方向分类Y综合法（直接证法 归谬法I按证明的形式分类.C反证法J、间接证法Y I穷举法I同一法(1)分析法与综合法在数学证明中，如果思考推理的方向 是从求证追溯到已知，即从未知到已知，这种证明方法称之为分析法；反之，如果 思考推理的方向是从已知到求证，即从已 知到未知，这种证明方法称之为综合法.(2)直接证法与间接证法在数学证明中，直接从正面证明论题的真实 性的方法，称为直接证法.如果不是直接证明论题的真实性，而是通过 证明论题的否定命题不真,或者证明论题的等效命题成立,从而肯定论题的真实性的证明方法，称为间接证法，间接证法主要有皮正法和同上法.反证法通过证明论题的否定命题不真，从而肯定原论题 真实的证明方法.分为归谬法和穷举法两种.反证法的一般步骤:假设论题的结论不成立（即结论的否定成立）；从论题的条件和否定的结论出发，进行推理，得出 与已知公理、定理、定义、论题条件或否定结论相 矛盾的结果；根据排中律，最后肯定原论题成立.例1:求证：后不是有理数.证明假设0是有理数，则可设、/1=旦（为互质的正整数），q去分母、两边平方可得：Zq?=p2这说明是2的倍数，从而也必定是2的倍数.不妨设p=20（0是正整数），代入上式，整理得：/=2/即2是2的倍数，从而q也必定是2的倍数.这样，p与q都是2的倍数，与假设p、互 质矛盾，从而可知，不是有理数.例2：如图，在 ABC中,已知BE、CF分别是NB、NC的平分线，且BE=CF.AC求证：AB=AC.B证明：若 ABWAC,则有 AB AC 或 AB AC,则 NACB ZABC.所以 ZBCF ZCBE,所以 BF CE,又 BF=EG,所以 EG CE,所以 NECG ZEGC,又 CF=BE=FG,所以 ZFCE ZFGE=ZFBE,所以 ZACB AC同理可证，AB AC也是不可能的.综合可知，AB=AC.A在例1中，论题结论的否定方面只有 一种可能情况，那么，只要把这一情况推 翻，就能肯定结论成立，这种反证法又称 归谬法.在例2中，论题结论的否定方面不 止一种情况，那就必须将否定后的各种情 况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反 证法又称穷举法.同一法通过证明原命题的等价逆命题而间接证明原论 题的方法，称为同一法.我们已经知道，两个互逆命题不一定是等价（同真同 假）的，只有当命题的条件和结论所确定的对象是 惟一存在的情况下，也就是一个命题的条件和结论 所指的概念同一的情况下，该命题与其逆命题才能 等价，这是我们称这一命题符合同一原理.在几何证明中同一法的一般步骤如下：作出符合命题结论的图形；证明你所作图形符合已知条件；根据惟一性，确定所作图形与已知图形重合;肯定原命题成立.反证法和同一法的区别与联系它们都是间接证法证明方法不同逻辑依据不同适用范围不同