彩票中的数学-课程设计.pdf

中北大学彩票中的数学I课程设计致知于二 摘要 A本模型研究的是如何评价传统型彩票和乐透型彩 票发行方案合理性的问题。本文首先将彩票分为 10选6+1、n选m、n选m+1及n选m无特别号 四类，分别计算四类彩票各奖项的中奖概率。然 后运用模糊数学理论建立奖金对彩民的吸引力函 数。最后把奖金对彩民的吸引力和奖项、奖金的 设置及中奖率相结合，得出衡量彩票合理性的效 用函数，用其评价彩票方案的合理性。文中不仅 评价了现有29种彩票方案的合理性，而且计算出 了更合理的方案，同时在最后还给出了一些对彩 票的看法供彩民参考课程设计彩票中的数学致知于行关键诒L A彩票模糊数学吸引力函数满意度课程设计彩票中的数学1引言一问题重述与分析2模型假设3问题分析与建模 4模型求解5结果分析6结论7附录A8附录B9参考文献课程设计彩票中的数学 低项奖的奖金期望PQT彩民中第，等奖的概率，14，工7彩票合理性指标，彩民对彩票的满意度（或认可度）第/等（高项）奖占高项奖总额的比例j=1,3万 某地居民的平均工作年限X,第,等奖奖金额均值,1 /2629方案,概率公式为：m-勺TC 2 C 2m n-m+1P=-i-八2,JC m n K3型:，选m+1(m+1/n),如6、2K25方案,概 率公式为：Pm-T勺C 2 C 2m n-m+1;-1-U=l,2,，7c m n课程设计彩票中的数学致知于行 K4型：n选m(m/n)无特别号型，如23方案，概率 公式为：q m-i+q i-mPC m nn-m,5课程设计彩票中的数学致知于行 3.1.2高项奖金由题可知，各高项奖金额的计算方法为:（总奖金额-低项奖金额）X单项奖比例课程设计彩票中的数学致知于行 3.1.3吸引力函数彩票奖金对彩民的吸引力是是一个模糊概念，根据模糊 函数隶属度的概念和心理学的相关知识，以及122的 吸引力分析，可以定义奖金对彩民的吸引力函数。定义3设彩票的奖金额x对彩民的吸引力歹满足吸引 力函数，记为笈=回。这里/(X)=1-e 以1Jx 0,2 0)(3.1)其中，工为奖金金额，丸为彩民的实力因子。课程设计彩票中的数学 3.1.3吸引力函数实力因子是反应一个地区彩民的平均收入和消 费水平的指标，在不同地区实力因子是不同的。在此以全国平均水平为例进行研究，不妨取年 平均收入为1.5万元,平均工作年限=35年，则 人均总收入为52.5万元，于是，当 二5商.5 时，取 x即吸引力的中位数），则有I 0；2=52.5x10）6.30589 x 10 5Vin 0.5课程设计彩票中的数学唯工建模分析 A10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 105图3.1当丸二630589 时的吸引力函数课程设计彩票中的数学致知于行fe.i建樟分析 A同理可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子，如表3.1 o表3.1部分年收入对应的实力因子年收入11.522.534510实力因子42039363058984078610509821261179168157121019644203928课程设计彩票中的数学致知于行.1建植分析 0 3.1.4效用函数 由123的合理性分析可知，在满足彩民购彩习 惯和奖项、奖金设置惯例的条件下，彩票发行 方案的合理性与彩民对彩票的满意度成正相关 关系，因此可以用彩民对彩票的满意度函数作 为评判彩票方案合理性的效用函数。课程设计彩票中的数学致知于行 彩民对彩票的满意度不仅与奖金的吸引力有关,而且还与彩票奖项、奖金的设置有关。奖项的 设置还决定了各奖项的中奖率，因此定义满意 度如下：定义3.2奖项奖金对彩民吸引力的期望为彩民 对彩票的满意度，即：Q=E y P/nx （32）,1 Z l 乙1=1其中，尸，为第，等奖的中奖率课程设计彩票中的数学致知于行.1建植分析 00315奖金期望 彩票销售总额与总奖金额满足满足如下等式：销售总额=彩票注数单注金额=总奖金额+公益资金 其中，总奖金额与筹集的社会公益资金 各为销售总额的一半。因此，从理论上讲，购 买单注彩票的2元中，有1元作为奖金回报给彩 民，另1元作为公益资金，从而，每注彩票的奖 金期望应为售价的一半，即1元。所以有如下等 工*E(x)=y P x=1i i(3.3)其中，以为个奖金额的平均值。课程设计彩票中的数学致知于行fe.i建樟分析 A 3.1.6奖金的期望值 各项奖金的期望值为各项将金的平均值。与奖 金期望不同，奖金期望为尸产,.，而奖金的期望 值为X.I课程设计彩票中的数学 3.2.1计算方案合理性由题意知，单注所有可能的低项奖金期望为：7L=y P x 匕 一(3.4)根据高项奖的计算公式及(3.4)式，得到各高 项奖金的期望为：、(7 1P x=|1-V P x r,/=1,2,3(Q 6)j j J J|:4 i：j 22/课程设计彩票中的数学致知于行由(3.5)式，得高项奖的平均值为：f 7 1I1-z p.x.r.I I z I Jx j=L7J=123(3.6)J课程设计彩票中的数学于是由(3.1)(3.2)及(3.6)得:0=2 p*i=i 1 1 11f 7 1I1-z p.x.r.x=1-=1,2,3 J Pj2)=1 e 1：?z=1,2,7(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)2=6.30589 xlO 5课程设计彩票中的数学致知于行 其中，(3.7)式为满意度函数，作为效用函数,用来评价各方案的合理性；(3.8)式计算各高项奖的期望值；(3.9)式计算各项奖金对彩民的吸引力；(3.10)式为实力因子，在此选年收入1.5万元。课程设计彩票中的2致知于行 3.2.2寻找更合理方案 由1.2.3小节的合理性分析和3.1.4的效用函数，可知（3.2）式可作为模型的目标函数，寻找更 合理方案即使（3.2）式最大。在使Q值最大的同时，必须满足彩民的购彩习 惯和奖项、奖金设置惯例。设以m,n,r j=1,2,3 z=4,5,6,7 j I）i I）为决策变量，决定彩票的发行方案，则它们之 间所满足的关系即为约束条件。课程设计彩票中的数学:得到如下非线性规划模型:7 rmax Q=z。川 xi ii=(3.11)S.T.(3.12)|x 12_LI IU(x)=l e )=1,2,，7=6.30589xlO 5(3J3)课程设计彩票中的数学餐2建立槿型Ar+r+r=12 30.5r 0.81S.t.6x10 5 x 5x10 61xa 1 b 9z=1,2 6i%iz+1P P=1,6i z+1(3.14)(3J5)(3J6)(3.17)(3.18)课程设计彩票中的数学5m 7(3.19)S t.29 n0,x N0,m,n 为正整数(322)I j i约束条件的说明如下：(3.11)(313)与(3.7)(3.10)相同。(3.11)为目 标函数；(3.12).(3.13)分别计算方案中的高项奖金的期 望值和奖金对彩民的吸引力；课程设计彩票中的数学4.(3.14)(3.21)为奖项、奖金的设置约束。(3.14)保证 高项奖总比例为1；(3.15)一等 奖的比例约束，由129号方案得出；(3.16)一等 奖金额约束，介于保底金额60万与封 底金额500万之间；(3.17)第，等奖的奖金额与第/+i等奖的奖金 额之比的上下界，由问题一的计算结果及已知 各种方案的奖金数额统计得出下表3.2：课程设计彩票中的数学致知于行(3.18)等奖的中奖率小于等奖的中奖率；(3.19)、(3.20)的范围应与现有彩票的范围相一 致；(3.21)应满足实际情况。表3.2 j与乙的值123456a.1043422b.12335417201010课程设计彩票中的数学致知于行餐.2建立槿邢 0 3.2.3编写MATLAB程序题中数据较多，计算量较大，本文用MATLAB 编程进行求解。其中编写的程序及其功能如下 表33课程设计彩票中的数学餐.2建立槿邢 0文件名功能附录Bcalculate_probability.m计算中奖率函数8.1.1calculate”5P29.m计算中奖率命令8,1.2cpiao.m计算满意度Q的函数8,1,4calculate_q.m计算满意度Q高等奖金期望值的 命令8,1,3nonIcon,m非线性约束函数8.1.8main.m寻找更合理方案函数8,1,7cpiaox.m计算高等奖金的期望值8.1.5cpiaoq.m计算满意度Q的函数8.1.6表3.3所编程序列表课程设计彩票中的数学解问题 一 4.1.1求解中奖率 4.1.2各方案合理性（O求解问题二 4.2.1寻找最优方案G）写给报纸的短文 4.3.1写给彩民的文字课程设计彩票中的数学 4.1.1彩票中奖率运行calculate_p5P29,结合3.1.1得到各方案各 奖项的中奖率，如下表4.1,命令文件calculate_p5P29.m中需要函数文件 calculate_probability.m.课程设计彩票中的数学致知于行说明：第1列为方案序号，第27列的数量级为e-7e-1,概率0为无此等奖1420.81.82.613.424.2039056.4070534.484937029.4183677392.825510322.825510.4709180.29824866.40705314.09551638.4573098078.8801752972.22004381.48002920.1973372794.91207393.4384517147.5645937722.2693781312.3828470.39714120.2647608ion3.80289592.6620271346.1226624071.8367987222.02047860.33674640.235722512 142.97101242.0797086984.9913008761.4973902631.72199880.28699980.210466515 162.34079771.6385583684.0963959211.2289187761.47470250.24578380.188434217 181.85886871.3012081163.3831411021.014942331.26867790.21144630.169157119 221.4870951.0409664932.8106095310.8431828591.09613770.18268960.1522413231.48709529.1470618118.0456003170.5103115106.568940024 251.19793763.4740191292.0844114772.9181760680.7295440.65658960.0875453261.19793760.8385563412.3479577560.7043873270.95092290.15848710.1373555270.97130080.6799105471.9717405870.5915221760.8281310.13802180.1242197282.60526581.5631594585.1584262111.2896065532.06337050.27511610.2842866291.83099480.9154973934.9436859240.9887371852.62015350.26201540.4541599表4.1 129号方案各奖项的概率课程设计彩票中的数学 4.1.2各方案合理性运行命令文件calculate_q.m,得到各方案的满 意度Q及高等奖金的期望值，满意度最大的前 五种方案如下表42命令文件calculate_q.m 需调用 函数文件cpiaoq.m和cpiaox.m方案满意度（e-7）x1x2x355.03644175565835984171494.6996108564020679141084.43145794535192931754113.878128170351332448211673.829658761459251031521表4.2满意度前五的方案及各高等奖金的期望值课程设计彩票中的数学 4.2.1寻找最优方案运行函数main.m,寻找出最合理的方案，结果 如下表4.3,main.m需调用函数cpiao.m,calculate.probability.mMnonlcon.m表4.3计算出的最合理方案满意度（+7）x1x2x3x4x5x6x7k2型43选57.85867367631735452731200课程设计彩票中的数学4.4.3.1写给彩民的文字在快节奏的现在社会，人们的生活节拍加快，紧张的 精神状态渴求得到放松。彩票悄然走进人们的生活，正在默默地发挥着心理按摩医生的作用。彩票是建立在机会均等的基础上，公平竞争的娱乐性 游戏。它把穷人和富裕的距离变得不再遥远。它将成 为社会保障基金多元化来源的一种，可以集中利用社 会的闲散资金，“取之于民，用之于民”，川大家乐 于支出的钱，版大家希望办成的事。不过值得注意的 是，当前人们在对彩票业的认识和相关宣传中存在着 诸多似是而非的误区。为了促进这项具有重大意义的 事业发展，我们通过对“传统型”和“乐透型”两种 彩票的各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置 的数学分析，给广大彩民如下几个建议：课程设计彩票中的数学 一、购买彩票，奉献爱心 彩票是筹集资金的有效手段，在市场经济条件下，我国要大力发展教育、体育事业，搞好福利事业，完善社会保障制度体系，这些都需要大量资金，根 据民政部门有关规定，福彩销售总额的30%要作为 社会福利基金专利专用，福利基金的2/3用于本地区 的社会福利事业，1/3上交中央或本地政府调剂使用。所以购买一注彩票，既为自己增加一次发财的机会，也为社会奉献了一片爱心。课程设计彩票中的数学 二、把握尺度，合理购彩 较高的预期收益总和较大的预期风险相联系。投资 彩票游戏，并不是获取收益的正常途径。把彩票作 为一种消遣，一种娱乐，把握尺度，合理购彩。忌 当成职业，透支赊账博彩。彩民应谨慎理智购彩，每期适当投入几元，技能买个希望梦想回家，也能 享受开奖时刻的心动，又不至于因盲目的投入引发“经济危机”。课程设计彩票中的数学致知于行 三、讲究投注的科学性，树立彩民的良好形象 彩号的出现随意性强，本身具有不可预测，是一种科学刺激、往往能带给人惊喜的游戏。因此，彩票本身 就是玩的心动与潇洒。做一个文明的彩民，将科学购 彩进行到底，把买彩当做一项娱乐，重在参与。至今 为止，还没有发现哪一期特等奖的号码是人为地被预 先“研究”出来的。事实上，买彩者“心想”未必一 定“事成”。购买者一定要理智对待。课程设计彩票中的数学致知于行从我们对“传统型”和“乐透型”彩票中各种 奖项出现的可能性、对彩民的吸引力等因素的 综合分析中，可以看出，每注“乐透型”彩票 比“传统型”彩票的平均收益率大，而且乐透 型彩票的趣味性也很高，它正逐渐成为世界彩 票业的主流。周而复始的梦想与希望，带给人们的是一种轻 松愉悦的心理体验过程，它能使人们在平时工 作和生活中长期绷紧的神经得以轻松，使人们 在不知不觉中拥有一种快乐的心情。这就是彩 票游戏的乐趣课程设计彩票中的数学致知于行问题一结果分析m问题二结果分析 彩票的合理性不仅与彩票本身奖项、奖金的设 置有关，而且还与所在地区的经济状况、人口 数量及人们的思想观念有关，因此评价彩票合 理性的效应函数应该能够综合体现出各个因素 对彩票的影响。从这个角度讲，本模型中的效 用函数在衡量彩票的合理性上就有了一定的片 面性。从而，求解结果的合理性排名对经济程 度、人口数量不同的地区就具有一定的局限性。课程设计彩票中的数学致知于行 另外，在吸引力函数和实力因子的求解中也不 可避免地融入了一些自己的主观想法。所以结 果中的合理性与实际的合理性就有一定距离。课程设计彩票中的数学 由于模型中所建立的效用函数具有缺陷，所以 问题二求解的方案在现实生活中不可能是最佳,但是，这个方案却能够从一定角度反映彩票设 计的方向，即K2型彩票可能更具吸引力课程设计彩票中的数学致知于行本论文研究的是如何评价传统型彩票和乐透型 彩票发行方案合理性的问题。本文章首先将彩 票分为10选6+1、选、选及选无特别号型四类,分别计算四类彩票各奖项的中奖率。然后运用 模糊数学理论建立彩票奖金对彩民的吸引力函 数。最后把奖金对彩民的吸引力和奖项、奖金 的设置及中奖率相结合，得出衡量彩票合理性 的效用函数，用其评价彩票方案的合理性。文 中不仅评价了现有29中方案的合理性，而且计 算出了更合理的方案，同时最后还给出了一些 对彩票的看法供彩民参考课程设计彩票中的数学致知于行与论文有关的数据 A-1“传统型”彩票中奖规则 A-2“乐透型”彩票中奖规则 A-3 129号方案 A-4 129方案的满意度 A-5 129方案的其它信息课程设计彩票中的数学致知于行中奖规则中奖10 选 6+1(6+1/10)等级基本号码 特别号码说明一等奖abcdef g选7中（6+1）；二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeX Xbcdef选7中（5）四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef选7中（4）五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef选7中（3）六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef选7中课程设计彩票中的数学致知于行票中奖规则奖级 中等33 选 7(7/33)36 选 6+1(6+1/36)基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明 1一等奖选7中（7）选7中(6+1)二等奖选7中(6+1)选7中（6）三等奖选7中（6）选7中（5+1）四等奖选7中（5+1）选7中（5）五等奖选7中（5）OO 选7中(4+1)六等奖OOO 选7中(4+1)选7中（4）七等奖OOO选7中（4）OOO 选7中（3+1）课程设计彩票中的数学致知于行口16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010课程设计彩票中的数学致知于行117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305课程设计彩票中的数学致知于行217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别 号246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030课程设计彩票中的数学致知于行未排名排名方案号满意度方案号满意度13.26E-0755.04E-0722.53E-0794.70E-0732.31E-0784.43E-0742.30E-07113.88E-0755.04E-0773.83E-0762.06E-0713.26E-0773.83E-07123.16E-0784.43E-07103.09E-0794.70E-07133.06E-07103.09E-07143.06E-07113.88E-07283.03E-07123.16E-07292.68E-07133.06E-0722.53E-07143.06E-07152.46E-07课程设计彩票中的数学152.46E-07162.43E-07162.43E-0732.31E-07172.23E-0742.30E-07182.07E-07172.23E-07191.95E-07182.07E-07201.63E-0762.06E-07211.60E-07191.95E-07221.65E-07221.65E-07231.49E-07201.63E-07241.24E-07211.60E-07251.24E-07231.49E-07261.43E-07271.45E-07271.45E-07261.43E-07283.03E-07241.24E-07292.68E-07251.24E-07课程设计彩票中的数学致知于行方案满意度xlx2x3x4x5x6x7jlj2j313.26E-072467375246737.516449.175050%20%30%22.53E-071929315160776.37145.61130020560%20%20%32.31E-072090091120582.27145.61130020565%15%20%42.30E-072250868120582.25359.20830020570%15%15%55.04E-0775565835983.711713.5130030560%20%20%62.06E-07316248359895.515133.90120020560%25%15%73.83E-07761458.825103.041521.3965005015565%15%20%84.43E-0794535019292.861753.8962005010570%10%20%94.70E-07108564020678.861409.9222003010575%10%15%103.09E-0779528528403.042058.19150050201060%15%25%113.88E-07170351332447.862116.16532030575%10%15%123.16E-07177284658445.493246.971500501065%15%20%133.06E-07190921938963.663246.971500501070%10%20%143.06E-07204559238963.662435.229500501075%10%15%课程设计彩票中的数学致知于行152.46E-07246123450229.264018.34160060670%10%20%162.43E-07239028645529.262731.7555005010575%10%15%172.23E-073141850103577.55311.66650030665%15%20%182.07E-07303933976621.994911.6665005010268%12%20%191.95E-074287112131238.14860.67130050570%15%15%201.63E-07337644768907.075104.22850010030570%10%20%211.60E-07322072161347.073408.171100010050575%10%15%221.65E-07438799678357.072902.1142005020580%10%10%231.49E-07428187042100%200020241.24E-07420538519335.14833.77650010010575%10%15%251.24E-07477806420595.13432.5175001001080%10%10%261.43E-07486582699302.577093.0415005010570%10%20%271.45E-075473210167547.35777.49215001005070%15%15%283.03E-0729926886082714745.9420010182%10%8%292.68E-072922127194808.53607.5643003060%20%20%课程设计彩票中的数学致知于土附录B 4fejJ编写的程序 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 B-6 B-7 B-8calculate_probability.m calculate_p5p29.m calculate_q.m cpiao.m cpiaox.m cpiaoq.m main.mnonIcon.m课程设计彩票中的2工编旬勺程序A B-l calculate_probability.m function p_temp_sub=calculate_probability(mJnJtype)if(type=2)ifelse(type=3)elseerror()endfunction combi=mmmcomb(nJm)课程设计彩票中的数学致知于行 B-2 calculate_p5p29.m课程设计彩票中的数学致知于行 B-3 calculate_q.m课程设计彩票中的数学致知于行 B-4 cpiao.m课程设计彩票中的数学致知于行 B-5 cpiaox.m课程设计彩票中的数学致知于行 B-6 cpiaoq.m课程设计彩票中的数学致知于行 B-7 main.m课程设计彩票中的数学致知于行 B-8 nonIcon.m课程设计彩票中的数学致知于行 横期数学A给定一个论域U,那么从U到单位区间0,1的一个 映射U T 0J称为U上的一个模糊集，或U的一 个模糊子集，1记为4。映射(函数)4)或简记 为4(,)叫做模糊集4的隶属函数。对于每个X&U,(x)叫做元素x对模糊集A的隶属度。要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区 分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定 义为一个满足上述定义的映射来自维基百科课程设计彩票中的4致知于行 吸引一力在管理心理学中，吸引力是指能引导人们沿着 一定方向前进的力量。当人们对组织目标或可 能得到的东西有相当的兴趣和爱好时，这些东 西就会形成对人们的吸引力。这种力量一旦形 成就会吸引人们不断地向目标推进。管理中组 织设置的目标以及表扬、奖励、奖金、荣誉、职务晋升等都是一种吸引力来自百度百科课程设计彩票中的数学致知于行 课程设计彩票中的数学2003,20(5)：81-87.3李英雄，郭松海，康慧.彩票中的数学J.工程数学学报,学学报，2003,20(5)：107-116.2韩中庚.“彩票中的数学”问题的优化模型与评述J.工程数航天大学.，2011.1卓金武.MATLAB在数学建模中的应用M.北京：北京航空The speech i而nun 罔中北大学