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第十章概率与统计初步10.1概率论起源_1654年8月，法国数学家、物理学家、哲学家布莱斯帕斯卡(B.Pas c al)在写给数学家 皮埃尔德费马(P.De Fermat)的信中提出了所谓“得分问题”：即在一场机会博弈中，已知 两个博弈者在中断时的得分以及赢得博弈需要的分数，假定这两个博弈者有同等的熟练程 度，求奖金该如何分配问题.问题是A、B两名球艺相近的网球队员进行比赛，每人赢一局的概率相等，即各为工，每 2赢一局的得一分，输一局不得分，在最后决战时，假设A再赢2局或B再赢3局就可获得整 笔6400元奖金.如果他们商议停止比赛而分享奖金，这时该如何公正地分配这笔奖金？我们知道，按规定最多只需进行4局比赛便能决定胜负，因为在后面的4局中，所出现 的情况共有2*2 x2 x2=16种，其中A可赢得4分、3分、2分，而B可赢得4分、3分，二 者不可同时出现，而有一个出现，比赛便终止.在4局比赛中，其可能出现的16种结果分别为:AAAA、AAAB、AABA、ABAA、BAAA、AABB、AB AB,ABBA BBAA、BABA、BAAB、BBBB、BBBA、BBAB、BABB,ABBB.在4局中,A出现等于或多于2次，则A获胜，这样的情况有H种；B出现等于或多于3次，则B获胜，这样情况有5种.因此他们赢得的概率分别为P(A)=;P(B)=.16 16由此推得A、B获得奖金的比应是11:5.这样在6400元奖金中，A应分得4400元,B 只能分得2000元.1657年荷兰数学家惠更斯(Chri s ti an Huyg ens)在帕斯卡和费尔马通信的基础上于1657 年出版了论赌博中的计算一书，惠更斯这一著作是概率论产生的标志之一，它是概率论 发展史上第一部专著，因此可以说早期概率与数理统计的创立者是帕斯卡、费尔马和惠更 斯.10.2随机事件的概率自然界发生的现象是多种多样的.有一类现象，在一定条件下必然要发生，例如，向上 抛出一块石头必然下落，同性电荷必不相互吸引，等等.这类现象称为确定性现象.在自然 界还存在着另一类现象，例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可 能是反面朝上，并且在每次抛币之前无法肯定抛掷的结果是什么；用同一门炮向同一目标射 击，各次弹着点不尽相同，在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置.这类现象在一定的 条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的 结果.但人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察之下，它 的结果却呈现出某种规律性.多次重复抛一枚硬币，得到正面朝上的次数大致有一半；同一 门炮射击一定目标的弹着点按一定的规律分布等等.我们把这种在大量重复试验或观测下,其结果所呈现出的固有规律性，称为统计规律性.而把这种在个别试验中呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象.概率统计的理论与方法的应用是很广泛的，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和 国民经济中.例如，使用概率统计方法可以进行气象预报、水文预报及地震预报、产品的抽 样验收；在研制新产品时，为寻求最佳生产方案可用以进行试验设计和数据处理；在可靠性 工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性及平均寿命的估计；在自动控 制中用以给出数学模型以便通过计算机控制工业生产；在通信工程中可用以提高信号的抗 干扰性和分辨率等等.一、随机事件的概念、关系和运算我们遇到过各种试验.在这里我们把试验作为一个含义广泛的术语，它包括各种各样的 科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.下面举一些试验的例子.片:抛一枚硬币，观察正面“，反面T出现的情况；石2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面“，反面?出现的情况；e3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面”的次数；e4：抛一颗骰子，观察出现的点数；区：记录每分钟进入义乌市场的人数;e6：在一批液晶显示器中任意抽取一台，测试它的使用寿命.上面举出了六个试验的例子，它们有着共同的特点.例如，试验片有两种可能的结果,出现“或者出现T,且这个试验可以在相同条件下重复地进行.又如试验5 16,我们知道显 示器的寿命（以小时计）/2 0,但在测试之前不能确定它的寿命有多长，这一试验也可以在 相同条件下重复地进行.概括起来，这些试验具有以下的特点：1.可以在相同的条件下重复地进行；2.试验的所有可能结果是事先知道的，而且不止一个；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.在概率论中，我们将具有上述特点的试验称为随机试验，以后提到的试验都是随机试 验.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成 的集合是已知的.我们将随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为 S.样本空间的元素，即石的每个结果，称为样本点.【例1】写出前面试验/（左=1,2,6）的样本空间工.【解】H：,T;S2:HHH,HHT.HTHJ HH.HTTJ HTJ THJ TT;S3：0/2 3;S,：12 3,4,5,6;S5：0,1,2,3.；S6：ttQ.汪 样本空间的元素是由试验的目的所确定的.例如，生和63中同是将一枚硬币抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样.在实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集 合.例如，若规定某种显示器的寿命（小时）小于5000为次品，则在纥中我们关心显示器的 寿命是否1 2 5 000.满足这一条件的样本点组成S6的一个：A=tt 5 000,我们称A为 试验线的一个随机事件.显然，当且仅当子集：A中的一个样本点出现时，有出5 000.一般，我们称试验的样本空间S的子集为的随机事件，简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.例如，试验片有两个基本事件 和T;试验生有6个基本事件1,2,6.样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为 必然事件.空集0不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发 生，称为不可能事件.下面还是以前面试验为例.在当中事件A1：“第一次出现的是，即A=m汨,事件A2:“三次出现同一面，即A?=HHH.TTT.在纥 中，事件A3：“寿命小于10000小时”，即人3=*|0口10000.一个样本空间Q中，可以有很多的随机事件.概率论的任务之一，是研究随机事件发生 的可能性的大小.为此，下面我们引进事件之间的一些重要关系和运算，通过研究事件间的 各种关系，进而研究事件间的概率的各种关系，就有可能利用较简单事件的概率去推算较复 杂的事件的概率.设试验E的样本空间为S,而A,瓦&(左=1,2,)是S的子集.(1)事件的包含与相等：若事件A发生必然导致事件5发生，则称事件B包含事件A,记为5 n A或者Au 5;若Au B且Bu A,即A=则称事件A与事件5相等.(2)事件的和：事件A与事件人至少有一个发生的事件称为事件A与事件5的和事 件，记为AUB.事件AUB发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或事件A与事件 B都发生.事件的和可以推广到多个事件的情景，设有个事件4,4,，4,定义它们的和事件 为4,4,从中至少有一个发生,记为0凡.k=T(3)事件的积：事件A与事件B都发生的事件称为事件A与事件B的积事件，记为AA5,也简记为AB.事件(或AB)发生意味着事件A发生且事件B也发生，即A与B都发生.类似地，可以定义个事件4,4,4的积事件6 4=A，4,4都发生.k=l(4)事件的差：事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件5的差事件,记为A(5)互斥事件：若事件A与事件方不能同时发生，即=，则称事件A与事件5 是互斥的，或互不相容的.若事件4,4,4中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两 互斥的.(6)对立事件：“A不发生”的事件称为事件A的对立事件(或逆事件)，记为X.A 和才满足：AUA=S,A无=，1 二 4.(7)事件运算满足的定律：设4瓦。为事件，则有交换律：AUB=BUA,AB=BA;结合律：(AU8)UC=AU(BUC),(AB)C=A(BC);分配律：(AU8)C=(AC)U(BC),(AB)UC=(AUC)(BUC);对偶律：=瓦 ArB=AB.这些运算律和集合的运算律是一致的.【例2】在例1中有A1UA2=HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,Ain A2=HHH,A2-Ai=TTT,4Ua2=tht,tth,thh.【例3】向指定目标射三枪，观察射中目标的情况.用4,4,4分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，试用4,4,4表示以下各事件:（1）只击中第一枪；（2）只击中一枪；（3）三枪都没击中；（4）至少击中一枪.【解】（1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中.所以可以表示 成 A 4 4,（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中，三个事件“只击中第一枪”、“只击中第 二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生.同时，因为上 述三个事件互不相容，所以可以表示成A4A+A4A+A4A-（3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”.所以可以表示成A A2 A3,（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以可以表 不成 a U 4 U A 或 A 4 A+44 A+4 4 A3+44 A+4 4 A3+44 A+44 A.二、随机事件的概率除必然事件和不可能事件外，对于一个事件来说，它在一次试验中可能发生，也可能不 发生，我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性有多大.例如，为了确定河堤 的高度，就要知道河流在造河堤地段每年最大洪水达到某一高度这一事件发生的可能性大 小.因此需要找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小概率.1.概率的统计定义【定义1】在相同的条件下，进行了 次试验，在这次试验中，事件A发生的次数知 称为事件A发生的频数.比值瓦称为事件A发生的频率，并记成力（A）.n由定义，易见频率具有下述基本性质：（1）0/；（A）1;力=1；（3）若A,4,，4是两两互不相容的事件，则fn（4（4）+/（4）+，（4）.由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示A发生的频繁程 度.频率愈大，事件A发生愈频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性愈大.直观的想 法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性的大小.但是否可行，先看下面的例子.【例4】在同样条件下，多次抛一硬币，考察“正面朝上”的次数.投掷次数出现正面次数%频率n204810610.5 180404020480.5 0681200060190.5 01624000120120.5 005【例5】一口袋中有6只乒乓球，其中4白,2红，每次试验任取一球，观察颜色红作记录，放回袋中搅匀，再重复.取球次数及取得白球次数知频率区 n2001390.6954002010.65 36004010.668【分析】例4中，频率在0.5附近摆动，当增大时，逐渐稳定于0.5;例5中，频率在20.66附近摆动，当增大时，逐渐稳定于一.这就是说，当试验次数充分多时，事件A出现 3的频率常在一个确定的数值附近摆动.当较小时，频率/（A）在0与1之间随机波动，其 幅度较大，当逐渐增大时，频率力（A）逐渐稳定于某个常数.在次试验中，事件A出现的次数%不确定，因而事件A的频率区也不确定.但是当试验重复多次时，事件A出现的 n频率具有一定的稳定性.因而，当较小时用频率来表示事件发生的可能性大小显然是不合适的.对于每一个事件A都有这样一个客观存在的常数与之对应，这种“频率稳定性”即通常 所说的统计规律性.但是，在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，从中得到频率的稳定 值.同时，为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，可以给出如 下度量事件发生可能性大小的频率的定义.【定义2】在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，事件A发生的频率区稳定 n地在某一常数p附近摆动，则称事件A发生的概率为p,记作尸（A）=p.这就是概率的统 计定义.数值p,就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的数量描述.例如，在例4中用20.5来描述掷一枚匀称硬币“正面朝上”出现的可能性；在例5中用一来描述摸出的一个乒 3乓球是白球出现的可能性.不注，(1)事件的频率与概率有本质区别，频率有随机波动性，是变数，而概率是个常数.(2)概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概率是客观存在的，但并不能用这 个定义计算尸(A).实际上，随着试验次数的增加，频率向概率靠近，因此当试验的次数很 大时，频率可以作为概率的近似值.【定义3】设是随机试验，S是它的样本空间，对于的每一事件A赋予一个实数,记为尸(A),称为事件A的概率，如果满足下列条件：(1)对于每一个事件A,有尸(A)2 0;(2)P(S)=1;(3)设A1,A2,是两两互不相容的事件，即对于iwj,A.A.=0,=,则有尸(AU4U)=尸(4)+尸该式称为概率的可列可加性.由概率的定义，可以推得概率的一些重要性质.【性质1】P(0)=O.【性质2】若4,42,A”是两两互不相容的事件，则有p(Ad4dd4)=p(4)+p(4)+p(4),称为概率的有限可加性.【性质3 设是两个事件，若A u 5,则有【性质4】对于任一事件A,P(A),P(BA)=P(B)-P(AB)=P(B)=5；-1 1 1(2)因为Au 5,所以尸(BA)=P(B)尸(AB)二尸(5)尸(A)=-=;2 3 6-1 1 3(3)P(BA)=P(B)-P(AB)=-=-.2 8 82.古典概型对于某些随机事件，我们不必通过大量的试验去确定它的概率，而是通过研究它的内 在规律去确定它的概率.观察“投掷硬币”、“掷骰子”等试验，发现它们具有下列特点：(1)试验结果的个数是有限的，即基本事件的个数是有限的.如“投掷硬币”试验的 结果只有2个：正面向上和反面向上;(2)每个试验结果出现的可能性相同，即每个基本事件发生的可能性是相同的.如“投 掷硬币”试验中出现正面向上和反面向上的可能性都是工；2(3)在任一试验中，只能出现一个结果，也就是有限个基本事件是两两互斥的.如“投 掷硬币”试验出现正面向上和反面向上是互斥的.满足上述条件的试验模型称为古典概型.根据古典概型的特点，我们可以定义任一随机 事件A的概率.【定义4】如果古典概型中的所有基本事件的个数是，事件A包含的基本事件的个 rn数是机，则事件A的概率为尸(A)=.n概率的这种定义，称为概率的古典定义.古典概率具有如下性质：【性质1】对任一事件A,有04尸(A)W1；【性质2】尸(S)=l,尸(0)=0；【性质3】对两个互斥的事件45,有尸(A+B)=尸(A)+尸(5)；【性质4】设事件45满足AuB,那么有尸(a)尸(B).古典概型是等可能概型，实际中古典概型的例子很多.例如：袋中摸球；产品质量检查 等试验，都属于古典概型.【例7】设盒中有8个球，其中红球3个，白球5个.(1)若从中随机取出一球，用A表示取出的是红球,5表示取出的是白球,求 尸,P(B);(2)若从中随机取出两球,用。表示两个都是白球,。表示一红一白,求尸(C),尸(。)；(3)若从中随机取出5球，设表示取到的5个球中恰有2个白球,求尸().【解】(1)从8个球中随机取出1个球，取出方式有种，即基本事件的总数为C；,事件A包含的基本事件的个数为C；,事件5包含的基本事件的个数为故C1 3 C1 5尸(人)=二二士，尸(5)=?.C；8 C；8(2)从8个球中随机取出2个球，基本事件的总数为C；,事件。包含的基本事件的个数为C；,事件。包含的基本事件的个数为故=竺.四=_1。0.357;C l 2 x1 8x7 14读者可以自己算一算取出2个都是红球的概率是多少.(3)从8个球中任取5个球，基本事件的总数为C；,取到的5个球中恰有2个白 球包含的基本事件的个数为故/、1x5 x4 5 x 4x 3x 2 x l 八P(E)二 3 5 二-X-0.179.2 x1 8x7x6x5 x4三、几类常见的概率问题1.条件概率在实际问题中，常常会遇到这样的问题：在已知事件A发生的条件下，求事件5发生 的概率.这时，因为求5的概率是在已知A发生的条件下，所以称为在事件A发生的条件 下事件B发生的条件概率，记为P(B|A).【定义4】设45是随机试验的两个事件，且尸(A)WO,称P(0 4)=生竺1为在 尸事件A发生的条件下事件5发生的条件概率.【例8】设大熊猫能活20年以上的概率为80%,活25年以上的概率为40%,现有一只 成活20年的大熊猫，问它能活25年以上的概率？【解】设事件A=能活20岁以上;事件5二能活25岁以上.按题意，尸(A)=0.8,由于Bu A,因此P(AB)=尸(B)=0.4,由条件概率有尸(5|A)=d=0.5.2.乘法公式由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式 设P(A)W 0,则有P(AB)=P(A)P(B|A).将A,5的位置对换，则得乘法公式的另一种形式P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)W 0).利用乘法公式可以计算积事件的概率，乘法公式可以推广到个事件的情形：若 尸(444)0,则尸(444)=尸(4)尸(414)尸(4以4.)【例9】在一箱由90件正品，3件次品组成的保暖内衣中，不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率.90【解】设事件A二第一件取正品,事件5二第二件取次品.按题意，尸(A)=,93,3 90 3p(5|A)=,由乘法公式尸(AB)=P(A)P(B|A)=x=0.0315.3.全概率公式为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的 和，通过分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率.全概率公式：4,4,4为样本空间s的一个事件组，且满足:(i)A，,4互不相容，且尸但)0(，=1,2,)；(2)AU&UU4=s,则对s中的任意一个事件5都有：P=P(AJ P(B 14)+尸)p&)+尸(4)尸(BI A).【例10】七人轮流抓阉，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？【解】设4二第，人抓到参观票 =1,2),1 一 6 一 1于是 尸(4)二不尸(4)二牙尸(4|4)=0,尸(4|4)=7/O-1由全概率公式 尸(4)二尸(4A)+P(4A)二尸(4)尸(4 14)+尸(4)尸(4 14)=,.我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的 概率都一样，这就是“抓阉不分先后原理”.【例11】设一仓库有一批产品，已知其中50%、30%,20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为工,工,工，现从这批产品中任取一件，求取得正品的10 15 20概率.【解】以4,4,&表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以方表示事件“取得的产品为正品”，于是9 14 1Q尸(4)=0.5,P(A2)=0.3?P(A3)=0.2,尸闺 A)=而尸闺 4)=-,P(B A3)=,由全概率公式有P(B)=尸(4)尸闺 A)+P(A2)P(B4)+P(A3)P(B a3)=0.92.4.贝叶斯公式设b是样本空间s的一个事件，4,4，L,4为s的一个事件组，且满足：4,4，L,4互不相容，且尸(4)o=L2,L;4U&UU4=S.则 F(A J B)=32=_)_.P(B)尸(4)尸(刃4)+尸(4)尸(5|七)这个公式称为贝叶斯公式，也称为后验公式.【例12】发报台分别以概率0.6和0.4发出信号和“一”，由于通讯系统受到 干扰，当发出信号”时，收报台未必收到信号，而是分别以0.8和0.2收到”和“一”；同样，发出“一”时分别以0.9和0.1收到“一”和.求如果收报台收到.”，它没收错的概率.【解】设A二发报台发出信号A二发报台发出信号“一”,5=收报台收到B=收报台收到“一”;于是，尸=0.6,P(A)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.2,尸(为印)=0.1,P4)=09;由贝叶斯公式有P(AB)_ P(A)P(B|A)_ 0.6X0.8 _ 12P(B)P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)0.6x 0.8+0.4x 0.1 1312所以没收错的概率为一.13【例13根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳 性的概率为0.95;非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95.对自然人群进行普查的结果为：有5%。的人患有肝炎，现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？【解】设4=某人做此试验结果为阳性,5=某人确有肝炎;由已知条件有P(A|B)=0.95 5 P(A|B)=0.95,尸(5)=0.005;从而 P曲=1-P(B)=0.995,P(A|B)=1-P(A B)=0.005,由贝叶斯公式有 P(B|A)=P(4)=-P(3)P(A)=0.087.P(A)P(B)P(A|5)+(B)P(A|B)本题的结果表明，虽然尸(A|5)=0.95,尸(彳|8)=0.95,这两个概率都很高，但若将此实验用于普查，则有尸(5|A)=0.087,即其正确性只有8.7%,如果不注意到这一点,将会经常得出错误的诊断.这也说明，若将尸(A|5)和尸(5|A)搞混了会造成不良的后果.习题10.21.在有编号为1,2,3,4,5的五张卡片中，任意取二张，记录编号的和.试写出随机试 验所有可能的不同结果的全体Q.2.在工商管理系学生中任意选一名学生，令事件4=选到的是男生,5=选到的 是二年级学生,C=选到的学生是学生会干部,试问：(1)事件45。的含义是什么？(2)在什么条件下，ABC 二。成立？3.掷两粒骰子，出现“点数之和为偶数或小于5”的概率是多少？4.已知尸(A)=0.4,P(B)=0.6,尸(A U B)=0.8,求尸(A3),P(ABP(ABP(AB).5.已知一个家庭有三个小孩，且其中至少有一个是女孩，则该家庭至少有一个男孩的 概率是多少？(假设一个小孩是男是女是等概率的)6.已知某厂生产的灯泡寿命在一万小时的概率为0.8,在二万小时的概率为0.2,试 求已用一万小时的灯泡能用两万小时的概率.7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男人和女人各占一半，现在随机地挑 选一人，(1)求此人恰好是色盲患者的概率；(2)若随机挑选一人，此人不是色盲患者，问他是男人的概率是多少？8.袋中有只白球，8只红球，上个人依次在袋中取一只球，(1)作放HI抽样；(2)作不放 同抽样，求第迫=1,2,，左)人取到白球的概率(ka+b).10.3随机变量及其应用_在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系.例如，在产品检 验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期 正在工作的车床数；在电话问题中，我们关心的是某一段时间内的话务量等.对于这类随 机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值.然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述.比如，在投硬币问 题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面.为了计算次投掷中出现的正面的次数，就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系.不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间 的对应关系，使之与数值发生联系.为了全面研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计 规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变 量的概念.一、随机变量我们讨论过不少随机试验，其中有些试验的结果就是数量，有些虽然本身不是数量,但可以用数量来表示试验的结果.【例14】从一批废品率为p的产品中有放回地抽取次，每次取一件产品，记录取到废品的次数，这一试验的样本空间为5=1,2,如果用X表示取到废品的次数，那末，X的取值依赖于实验结果，当实验结果确定了，X的取值也就随之确定了.比如，进 行了一次这样的随机试验，试验结果二1,即在次抽取中，只有一次取到了废品，则 X=l.【例15】掷一枚匀称的硬币，观察正面、背面的出现情况，这一试验的样本空间为S=H.T.其中“表示“正面朝上”，T表示“背面朝上”.如果引入变量X,对实验工当出现“时、0,当出现T时的两个结果，将X的值分别规定为1和0,即：x=一旦实验的结果确定了，X的取值也就随之确定了.从上述两个例子可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把实 验的结果与实数对应起来，即可把实验的结果数量化.由于这样的数量依赖实验的结果，而 对随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什 么值.即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量.事实上，随机变量就是随着 试验结果的不同而变化的量.因此可以说，随机变量是随机试验结果的函数.可以把例14中的X写成X=X(=G,其中切=0,1,2,把例15中的X写成X=XQ 心=1,当切=”时0,当切二7时【定义5】设石为一随机试验，S为它的样本空间，若X=X(,GeS,为单值实 函数，且对于任意实数X,集合X(Wx都是随机事件，则称X为随机变量.随机 变量主要有离散型随机变量和连续型随机变量两大类型.随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别.他们都是从一个集合到另一个集 合的映射.它们的区别主要在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值,而随机变量的取值在做试验之前是不确定的，只有在做了试验之后，依据所出现的结果才 能确定.定义中要求对任一实数x,0X(x 都是事件，这说明并非任何定义在S上 的函数都是随机变量.根据随机变量的取值情况，我们可以把随机变量分为两类：离散型随机变量和非离散 型随机变量.若随机变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的(即取值是可列个)，则称 X是离散型随机变量.如例14中次品数取值是0,1,2,，可列个值，是离散型随机变 量.非离散型随机变量的范围很广，其中最重要的是连续型随机变量.若随机变量X的所 有取值不能一一列举出来的，而是依照一定的概率规律在数轴上的某个区间上取值的，则 称X为连续型随机变量.二、常见离散型随机变量【定义6】设离散型随机变量X的所有取值为占,，毛，且X取这些值的概率 为：P(X=%)=Pk(k=L2,n,),则称上述一系列等式为随机变量X的概率分布.为了直观起见，有时将X的取值及其对应的概率列表如下:Xx2.PP1P2.Pn我们称此表为离散型随机变量X的概率分布表，式子 P(X=Xk)=Pk(k=12几)和概率分布表都称为离散型随机变量X的分布律.由概率的定义知，离散型随机变量X的概率分布具有以下两个性质：(1)p左N0,(左=1,2,，凡)；(非负性)(2)pk=l.(归一性)k=l n 产这里当X取有限个值几时，记号为Z，当X取无限可列个值时，记号为Z.k=l k=l【例16】设袋中装有6个球，编号为11,2,2,2,3,3),从袋中任取一球，求取 到的球的号X的分布律.【解】因为X可取的值为1,2,3,而且尸(X=1)=，尸(X=3)=l,6 3尸(X=2)=g,所以X的分布律为X-123111pk623下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布（简称分布）.1.两点分布如果随机变量X只可能取0和1两个值，且它的概率分布为尸（X=左）=/（I p）i,左=0,1（0 p则称X服从两点分布（或0-1分布），两点分布的概率分布表为：X10PP1-P2.二项分布设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或#A,或者形象地把两个互逆结果 叫做“成功”和“失败”.再设我们重复地进行次独立试验（“重复”是指试验中各次试验 条件相同），每次试验成功的概率都是，失败的概率都是=这样的次独立重复试验称作重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型，且有P（左左二 0,10pl,q=l_p.二项分布描述的是重贝努里试验中出现“成功”次 数X的概率分布.如果随机变量X只可能取的值为0,1,2,，它的分布列为 P（X=k）=C：pkqi（k=042L皿）,其中0 p6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)二C；(0.2)2(0.8)6+(0 2)i(0.8)7+(0.2)。(0.8)8=0.7968.3.泊松分布如果随机变量X的取值为0,1,2,，其相应的概率为P（x%（攵二 0,1,2,40）,则称X服从参数为2的泊松分布，记为Xp(4).泊松分布在各领域中有着广泛的应用，例如某段时间内电话机接到的呼叫次数；候车 的乘客数；单位时间内走进商店的顾客数；放射性物质在某段时间内放射的粒子数；纺纱 机的断头数；某页书上的印刷错误的个数等等都可以用泊松分布来描述.前面已知当较 大、很小，且叩是一个大小适当的数(通常0他0).【例18】某商店出售某种商品，根据经验，此商品的月销售量X服从2=3的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求？3人【解】设月初库存M件，依题意尸(X=k)一1=0,1,2,)，k.ak 小那么 P(X 0.99,即 Y e3 80、18WX435及X 12.由此可见，随机事件的概念是被包容在随机变量这个更广的概 念之内的.对于随机变量X,我们不只是看它取哪些值，更重要的是看它以多大的概率取那些 值.由随机变量的定义可知，对于每一个实数x,X x都是一个事件，因此有一个确 定的概率尸X x与x相对应.所以，概率尸X x是x的函数，这个函数在理论和应 用中都是很重要的.【定义7】设X为一个随机变量，x为任意实数，称函数尸(x)=PX4R为X的分 布函数，记作X F(x).4注，(1)在上述定义中，当x固定为七时，尸(%)为事件X /的概率，当x变化时,概率尸XWR便是x的函数.(2).(一8)=lim F(x)=0,F(+oo)=lim F(x)=1.%7-8%-+8(3)对任意有尸(Q X 0;从几何上看，分布密度函数的曲线在横轴的上方.这是因为8 X+8是必然事件，所以匚/(%)公二尸(8 X +8)=1.从几何上看，对于任一连续型随机变量，分布密度函数与数轴所围成的面积是L(3)对于任意实数。也&ab,有P(qX Wb)=F(b)F(a)=(4)若/(x)在点x处连续，则/(x)=/(x),这是密度函数与分布函数之间的关系.对于任意实数有尸(x=)=0,即连续型随机变量取某一实数值的概率为零.从而有:P(aX b)=P(aX b)=P(aX b)=P(aX 0【例19】设随机变量X具有概率密度/(x)=j 0 0.1);(3)求方(x).什8 什8 产【解】(1)由于1/(x)dx=l,即/(x)d x=K e-3xdx二 TKe-3z(3%)=9=1,得K=3.P+8 广+c(2)P(X0.1)=1 f(x)dx=j 3e-3xdx=0.741.(3)由定义/(x)=f(t)dt,当xWO 时，F(x)=0;当x 0 时，F(x)=/力=/3/3/力=1 0-3%,、fl-e-3x 0所以 F(x)=0,x 0下面介绍几种常用的连续型分布1.均匀分布-a x b如果随机变量X的概率密度为x)=一 一，则称X服从也上的、0,其他均匀分布，记作X。q/.如果X服从凡句上的均匀分布，那么对于任意满足的C,d,应有P(cXd)=(/(x)d x=4三.该式说明X取值于Q,可中任意小区间的概率与该 J c b-a小区间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关.这就是均匀分布的概率意义.2.指数分布如果随机变量X的概率密度为/(%)=0),则称X服从以4为参数的指数分布，记作X石().指数分布也被称为寿命分布，如电子元件的寿命、电话通话的时间、随机服务系统的 服务时间等都可近似看作是服从指数分布的.3.正态分布如果随机变量X的概率密度为1fW=后(8 X 0)则称X服从参数为G4的正态分布或高斯(Gaus s)分布，记为XN(4，b2由微积分知识可知,1 4171(7；在x 二 o处,4时，/(1)达到最大值曲线y=/(、)有拐点(1)当 x(2)/(x)的图形关于直线x=对称；(3)/(x)以x轴为渐近线；(4)若固定。，改变值，则曲线y=/(x)沿x轴平行移动，曲线的几何图形不变(5)当固定时，改变曲线形状随。的不同而改变.。越大，曲线越扁平，即分 布越分散；。越小，曲线越陡峭，即分布越集中.特别地，当=0,=i时，称X服从标准正态分布，即XN(O,1),密度函数为(-OO x+OO)?分布函数=0)；二；尸(q X /?)=f(p(x)dx=优).对于XN(4，)，只要设与幺=/，就有.N(,)，即服从正态分布.所以对于一般的正态分布，可以通过变量替换化为标准正态分布，如果XN 吗,那么 P(a X=一服从正态分布N(q2)的随机变量X落在区间(-3。,+3司)内的概率为 尸(3b f2 5 0=1=1(一143)=1(1.43)=0.92 36(2)由题设 尸 b?1004.一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为九2 ,某仪器内0,100装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率.5.设X N(1.5,4),求尸(XW3.5);(2)P(X-4);(3)P(|X|3).6.某公共汽车从上午7:00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7:00,7:15,7:30,时刻有班车到达此车站.如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到达此车站候车，问他等候 不超过5分钟便能乘上汽车的概率.7.公共汽车的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X(单位:c m)服从正态分布N(170,62),试确定车门的高度.8.某公司在某次招工考试中，准备招工300名(其中280名正式工,20名临时工)，而 报考的人数是1657名，考试满分为400分.考试后不久，通过当地新闻媒介得到如下信息:考试总评成绩是166分,360分以上的高分考生31名.某考生A的成绩是256分，问他能否 被录取？如被录取能否是正式工？10.4随机变量的数字特征_前面讨论了随机变量的分布函数以及其如何完整地描述随机变量的统计特性和规 律.但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变 量的某些统计特征.例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤 维长度与平均长度的偏离程度.如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好.从这个例 子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基 本面貌.这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征.一、随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望例2 1 一批灯泡5万只，为了评估灯泡的使用寿命（设每只灯泡的寿命是一个随机变量X（小时），现从中随机抽取100只，测试结果如下：【解】可求得该100只灯泡的平均寿命为:寿命才（小时）10501100115012001250灯泡数（个）620322616频率/610020100321002610016100105 0 x6+1100 x2 0+115 0 x32+12 00 x2 6+12 5 0 x16100A 70 A）1A=105 0 x+1100X+115 0X+12 00X+12 5 0X100100 100 100 100=1163（小时）由此不难发现由灯泡的平均寿命 蚤 N=Z/数值（频率的权重的加权平均）可以用来计算灯泡的平均寿命，且其大小完全由随机变量方的分布确定，反映了平均数I的大小.【定义9】设离散型随机变量X的分布律为尸x=/=p-k=1,2,3，若级数左绝对收敛，则称级数左为随机变量X的数学期望，记为（X）,即（X）=k=l k=l fxkPk k=l【例22】已知顾客对商店中某种食品每天的需求量J（单位