全等三角形截长补短拔高练习含答案.doc

八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短（全等三角形）拔高练习
试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。
学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线， 进而构造出全等的三角形。
一、解答题(共1道，每道20分)
1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1与∠2有何关系？

答案：
解：∠1+∠2=180°
证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF与Rt△ACE中
∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD
∴DF=BE，在△CFD与△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。
解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键
易错点：找到三角形全等的所有条件
试题难度：四颗星 知识点：三角形

二、证明题(共8道，每道10分)
1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD.

答案：
延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BECE，得CE=EH=CH。
又 1+H=90°,，2+H=90°
1=2
在△ACH与△ABD中
HAC=DAB=90°
AC=AB
1=2
△ACH≌△ABD（ASA）
CH=BD
CE=CH=BD
解题思路：
根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论
易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。
试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定与性质

2. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF．

答案：证明：延长CB到M使BM=DF，连结AM .在△ADF与△ABM中
∴△ADF≌△ABM（SAS）∴∠1=∠3，∠M=∠4，由于AB∥DC，AF平分∠EAD，所以∠BAF=∠4，∠1=∠2，∴∠2=∠3，从而∠MAE=∠BAF=∠4=∠M，∴AE=ME=BM+BE=DF+BE，∴AE-BE=DF .

解题思路：本问题的关键是将DF转移到与AE，BE都有关的位置，运用等量代换解题。首先补短，将DF移到BE处，来证明AE=BM+BE .而解决AE=BM+BE 问题的关键是角度的转换。∠BAF=∠4是关键。
易错点：将DF进行合理的转化
试题难度：四颗星 知识点：等腰三角形的性质

3.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE恰好平分∠ABC，判断AB的长与AD＋BC的大小关系并证明.

答案：
在BA上截取BF=BC，
∵BE恰好平分ABC
∴CBE=FBE
又BC=BF，BE=BE
∴△BCE≌△BFE
∴C=BFE
又AD∥BC ∴C+D=180°
而BFE+AFE=180°
∴AFE=D
又∵AE=AE，EAF=EAD ∴△AEF≌△AED ∴AF=AD ∴AD+BC=AF+BF=AB
解题思路：要证明两条线段与等于一条线段，最常想到的是截长补短法. 截长：在BA上截取BF=BC或者在AB上截取AF=AD； 补短：延长BC至G，使BG=BA
易错点：不会利用截长补短方法解题
试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定与性质

4.如图，在△ABC中，AB>AC ，1= 2，P为AD上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.

答案：
证明：在AB上截AE=AC，连接PE
在△EAP与△CAP中
AE=AC
1=2
AP=AP
△EAP≌△CAP(SAS)
CP=EP
在△BEP中
PB-PE<BE，PE=PC，BE=AB-AE=AB-AC
PB-PCPB-PC。
解题思路：利用截长的方法
易错点：不能正确作出辅助线，把零散的线段转化到一个三角形中。
试题难度：三颗星 知识点：三角形三边关系

5.如图所示：在△ABC中，∠1= ∠2， ∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD．

答案：
在边AC上截取AE=AB，连接DE.
在△ABD与△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS） ∴BD=DE，∠B=∠AED ∵∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C 又∵∠AED= ∠C+∠CDE ∴∠C=∠CDE，∴CE=DE，∴BD=CE ∴ AC=AE+EC=AB+BD
解题思路：可以用截长法也可以用补短来解
易错点：遇到线段与等于另一线段时，没有联想到运用截长补短法证明
试题难度：四颗星 知识点：三角形

6.如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，判断AC的长与AE+CD的大小关系并证明.

答案：判断：AC=AE+CD
证明：令AD与CE的交点为G，在AC上截取AF=AE，

在△AEG与△AFG中
∴△AEG≌△AFG（SAS），∴∠AGE=∠AGF；∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°，又AD、CE分别为∠BAC与∠BCA的角平分线，所以∠2+∠3=60°，从而∠AGE=60°；于是∠AGF=∠AGE=60°，∠CGD=∠AGE=60°，从而∠CGF=60°；在△CGF与△CGD中∴△CGF≌△CGD，∴CD=CF，从而AC=AF+CF=AE+CD。
解题思路：看到两段不相干的线段与另一条线段的关系的题目一定要想到分解较长线段，分别证明相等。
易错点：未将全部条件找全就使两个三角形全等
试题难度：四颗星 知识点：三角形

7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，判断CF与GB的大小关系并证明。

答案：
判断：CF=GB
证明：过点F作FH⊥AB于点H，由于AF平分∠CAB，则在△ACF与△AHF中
∴△ACF≌△AHF，则CF=FH，而FH⊥AB，CD⊥AB，∴FH∥CD，从而∠4=∠5，∴∠3=∠4，∴CF=CE，从而CE=FH，又EG∥AB，所以∠6=∠B ∠CEG=∠CDB=90°；则△CEG≌△FHB，∴CG=FB，故CF=BG
解题思路：找到全等关系是证明的关键
易错点：想到将线段转移，想不到全等。
试题难度：四颗星 知识点：三角形

8.△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．

答案：
延长AB到E使BE=BP，连接EP，则AE=AB+BE=AB+BP，∠ABC=180°-∠BAC-∠C=800.
由BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，则∠BAP=∠PAC=30°，∠ABQ=∠CBQ=40°.
又因为∠C=400，我们得到CQ=BQ，BQ+AQ=CQ+AQ=AC。
BE=BP，ABP=80°
∠E=80°=40°=∠C
在△APE与△APC中
∠E=∠C
∠BAP=∠CAP=30°
AP=AP
△APE≌△APC（AAS）
AE=AP 即AB+BP=BQ+AQ
解题思路：见答案详解
易错点：正确作出辅助线，根据等量代换，把没有联系的线段转化为符合题目要求的线段。
试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定与性质

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