2019-2020学年广东省广州市越秀区铁一教育集团七年级（下）月考数学试卷（含答案）.docx

2019-2020 学年广东省广州市越秀区铁一教育集团七年级（下）月考数学试卷（4 月份）
一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列实数中，是有理数的是( )

第 9页（共 21页）

8
3 4
A． B．2.020020002 C．
D． 1p
4

2．（3 分）下列命题中，是真命题的是( )

A. 无限小数是无理数

B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．（3 分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是( )

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等4．（3 分）下列语句正确的是( )
4
A． 的算术平方根是 2 B．36 的平方根是 6

C． 125 的立方根是± 5

64
D． 的立方根是 2

216 6
5．（3 分）在平面直角坐标系中，点(-1, 3) 所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（3 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为( )

í y = 7x + 3
A． ì y = 5x + 45
î
B． ì y = 5x - 45
í y = 7x + 3
î

í y = 7x - 3
C． ì y = 5x + 45
î
D． ì y = 5x - 45
í y = 7x - 3
î

7．（3 分）一副直角三角板如图放置，点C 在 FD 的延长线上， AB / /CF ，ÐF = ÐACB = 90° ，则ÐDBC 的度数为( )

A．10° B．15° C．18° D． 30°
8．（3 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(3a - 5, a + 1) ．若点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，且点 A 在 y 轴的右侧，则 a 的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3

íx + 5 y = -7
9．（3 分）方程组ì3x - y = a + 2 的解 x ， y 满足 x 是 y 的 2 倍，则 a 的值为( )
î

A． -7
B． -11
C． -3
D． -2.2

10．（3 分）如图，直线 a / /b ，将含有45° 的三角板 ABC 的直角顶点C 放在直线b 上，若Ð1 = 27° ，则Ð2
的度数是( )

A．10° B．15° C．18° D． 20°
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）若 P(a + 2, a -1) 在 y 轴上，则点 P 的坐标是 ．
b - 2
12．（3 分）把“同角的余角相等”写成“如果 ，那么 ”的形式为 ．

13．（3 分）若 a 、b 为实数，且(a +
3)2 +
= 0 ，则 ab 的值 ．

14．（3 分）如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D ， C 分别落在 D¢ ， C¢ 的位置，若ÐEFB = 65° ，则ÐAED¢ 等于 ° ．

15．（3 分）如图，将 DABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到DDEF ，若 DABC 的周长等于 8，则四边形 ABFD
的周长等于 ．

a
16（．3 分）阅读材料：如果 ab = N (a > 0, a ¹ 1) ，那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作b = log N ．例如 23 = 8 ，则log2 8 = 3 ．根据材料填空： log3 9 = ．
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 72 分）

9
3
3
17．（10 分）计算：

3 -27
（1） -12 +
- (-2) ´ （2） 3(
+1)+ |
- 2 |

18．（10 分）解方程组：

ì2x + y = 7
（1） í
î3x + 4 y = 18


ì2x + 3y = 16
（2） í
î3x - 2 y = 11

19．（10 分）看图填空：已知如图， AD ^ BC 于 D ， EG ^ BC 于G ， ÐE = Ð3 ，求证： AD 平分ÐBAC ．

证明：Q AD ^ BC 于 D ， EG ^ BC 于G(
已知 )

\ÐADC = 90° ， ÐEGC = 90°
\ÐADC = ÐEGC （等量代换）
\ AD / / EG
\Ð1 = Ð3
Ð2 = ÐE

又QÐE = Ð3(

已知）

\Ð1 = Ð2
\ AD 平分ÐBAC ．

20．（10 分）如图，已知DABC （网格中每个小正方形的边长均为1) ．
（1） 三个顶点坐标分别为： A ， B ， C ；

（2） 求三角形 ABC 的面积．

21．（10 分）如图，已知Ð1 + Ð2 = 180° ， Ð3 = ÐB ， ÐBAC 与ÐDEC 相等吗？为什么？

22．（10 分）已知用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆， B 型车b 辆，一次运完， 且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：

（1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即 A 、 B 两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．

23．（12 分）如图 1， AD / / BC ， ÐBAD 的平分线交 BC 于点G ， ÐBCD = 90° ．

（1） 求证： ÐBAG = ÐBGA ；
（2） 如图 2，若ÐABG = 50° ， ÐBCD 的平分线交 AD 于点 E 、交射线GA 于点 F ．求ÐAFC 的度数；
（3） 如图 3，线段 AG 上有一点 P ，满足ÐABP = 3ÐPBG ，过点C 作CH / / AG ．若在直线 AG 上取一点 M ，

使ÐPBM = ÐDCH ，请直接写出 ÐABM
ÐGBM

的值．

2019-2020 学年广东省广州市越秀区铁一教育集团七年级（下）月考数学试卷（4 月份）
参考答案与试题解析

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
B
A
B
C
A
C

一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列实数中，是有理数的是( )

8
3 4
A． B．2.020020002 C．
D． 1p
4

【分析】根据有理数和无理数的定义可得答案．

8
3 4
【解答】解： ，

， 1p是无理数， 4

2.020020002 是有理数． 故选： B ．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．

2．（3 分）下列命题中，是真命题的是( )

A. 无限小数是无理数

B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【分析】利用无理数的定义、点到直线的距离、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解： A 、无限不循环小数是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B 、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故原命题错误，不符合题意； C 、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
D 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选： C ．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无理数的定义、点到直线的距离、平行公理等知识， 难度不大．
3．（3 分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是( )

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【分析】由已知可知ÐDPF = ÐBAF ，从而得出同位角相等，两直线平行．
【解答】解：QÐDPF = ÐBAF ，
\ AB / / PD （同位角相等，两直线平行）．故选： A ．

【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
4．（3 分）下列语句正确的是( )

4
A． 的算术平方根是 2 B．36 的平方根是 6

C． 125 的立方根是± 5

64
D． 的立方根是 2

216 6
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．

4
【解答】解： A 、
= 2 ，2 的算术平方根
，故本选项错误；

2
B 、36 平方根是±6 ，故本选项错误；
C 、 125 的立方根是 5 ，故本选项错误；
216 6

64
D 、 = 8 ，8 的立方根是 2，故本选项正确；

故选： D ．

【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方 根的定义，注意：语言叙述和式子表示的有机结合．
5．（3 分）在平面直角坐标系中，点(-1, 3) 所在的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限．
【解答】解：Q该点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
\所在象限为第二象限， 故选： B ．
【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：第二象限点的符号特点为(-, +) ．
6．（3 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为( )

í y = 7x + 3
A． ì y = 5x + 45
î

í y = 7x - 3
C． ì y = 5x + 45
î
B． ì y = 5x - 45
í y = 7x + 3
î

í y = 7x - 3
D． ì y = 5x - 45
î

【分析】设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据羊的价格不变列出方程组．

ì y = 5x + 45
î
【解答】解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为： í y = 7x + 3 ．

故选： A ．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．

7．（3 分）一副直角三角板如图放置，点C 在 FD 的延长线上， AB / /CF ，ÐF = ÐACB = 90° ，则ÐDBC 的度数为( )

A．10° B．15° C．18° D． 30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出ÐABD = 45° ，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得： ÐEDF = 45° ， ÐABC = 30° ，

Q AB / /CF ，
\ÐABD = ÐEDF = 45° ，
\ÐDBC = 45° - 30° = 15° ．

故选： B ．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出ÐABD 的度数是解题关键．
8．（3 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(3a - 5, a + 1) ．若点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，且点 A 在 y 轴的右侧，则 a 的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【分析】根据点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等可得3a - 5 = a + 1 或3a - 5 = -(a + 1) ，解出 a 的值，再由点 A 在 y 轴的右侧可得3a - 5 > 0 ，进而可确定 a 的值．
【解答】解：Q点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，
\3a - 5 = a + 1 或3a - 5 = -(a + 1) ， 解得： a = 3 或 1，
Q点 A 在 y 轴的右侧，
\点 A 的横坐标为正数，
\3a - 5 > 0 ，
\ a > 5 ，
3
\ a = 3 ． 故选： C ．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离等于横

坐标的绝对值．

íx + 5 y = -7
9．（3 分）方程组ì3x - y = a + 2 的解 x ， y 满足 x 是 y 的 2 倍，则 a 的值为( )
î

第 21页（共 21页）

A． -7
B． -11
C． -3
D． -2.2

【分析】直接根据题意把 x = 2 y 代入方程组进而计算得出答案．

ì3x - y = a + 2
î
【解答】解：Q方程组íx + 5 y = -7

的解 x ， y 满足 x 是 y 的 2 倍，

\ x = 2 y ，

ì6 y - y = a + 2
î
故í2 y + 5 y = -7 ，

ì y = -1
î
解得： ía = -7 ．

故选： A ．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，正确转化方程组形式“消元”是解题关键．

10．（3 分）如图，直线 a / /b ，将含有45° 的三角板 ABC 的直角顶点C 放在直线b 上，若Ð1 = 27° ，则Ð2
的度数是( )

A．10° B．15° C．18° D． 20°
【分析】过 B 作 BE / / 直线 a ，推出 a / /b / / BE ，根据平行线性质得出Ð2 = ÐABE ， Ð1 = ÐCBE = 27° ，根据ÐABC = 45 求出ÐABE ，即可得出答案．
【解答】解：过 B 作 BE / / 直线 a ，
Q直线 a / /b ，
\Ð2 = ÐABE ， Ð1 = ÐCBE = 27° ，
QÐABC = 45° ，
\Ð2 = ÐABE = 45° - 27° = 18° ， 故选： C ．

【点评】本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）若 P(a + 2, a -1) 在 y 轴上，则点 P 的坐标是 (0, -3) ．
【分析】让横坐标为 0 可得 a 的值，进而可得 P 的坐标．
【解答】解：Q P(a + 2, a -1) 在 y 轴上，
\ a + 2 = 0 ， 解得 a = -2 ，
\点 P 的坐标是(0, -3) ，
故答案为(0, -3) ．
【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：在 y 轴上的点的横坐标为 0．

12．（3 分）把“同角的余角相等”写成“如果 ，那么 ”的形式为 如果两个角是同一个角的余角，

那么这两个角相等 ．

【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果 那么 ”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．

b - 2
【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．

13．（3 分）若 a 、b 为实数，且(a +
3)2 +
= 0 ，则 ab 的值 3 ．

b - 2
【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出 a 、b ，根据乘方法则计算即可．

b - 2
【解答】解：Q(a +
3)2 +
= 0 ，

\(a +
3)2 = 0 ，
= 0 ，

3
解得， a = - ， b = 2 ，

则 ab = (- 3)2 = 3 ，

故答案为：3．

【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解题的关键．

14．（3 分）如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D ， C 分别落在 D¢ ， C¢ 的位置，若ÐEFB = 65° ，则ÐAED¢ 等于 50 ° ．

【分析】先根据平行线的性质得出ÐDEF 的度数，再根据翻折变换的性质得出ÐD¢EF 的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【解答】解：Q AD / / BC ， ÐEFB = 65° ，
\ÐDEF = 65° ，
又QÐDEF = ÐD¢EF = 65° ，
\ÐD¢EF = 65° ，
\ÐAED¢ = 180° - 65° - 65° = 50° ． 故答案为：50．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

15．（3 分）如图，将 DABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到DDEF ，若 DABC 的周长等于 8，则四边形 ABFD
的周长等于 10 ．

【分析】根据平移的性质可得 AD = CF = 1 ， AC = DF ，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：QDABC 沿 BC 方向平移 2 个单位得到DDEF ，
\ AD = CF = 1 ， AC = DF ，
\四边形 ABFD 的周长= AB + (BC + CF ) + DF + AD = AB + BC + AC + AD + CF ，
QDABC 的周长= 8 ，
\ AB + BC + AC = 8 ，
\四边形 ABFD 的周长= 8 + 1 + 1 = 10 ． 故答案为：10，
【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．

a
16（．3 分）阅读材料：如果 ab = N (a > 0, a ¹ 1) ，那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作b = log N ．例如 23 = 8 ，则log2 8 = 3 ．根据材料填空： log3 9 = 2 ．
【分析】有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在 an 中， a 叫
做底数， n 叫做指数． an 读作 a 的 n 次方．
【解答】解：Q32 = 9 ，
\log3 9 = 2 ， 故答案为 2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，正确理解有理数乘方的意义是解题的关键．

三、解答题（本大题共 7 个小题，共 72 分）

17．（10 分）计算：

3 -27
9
3
（1） -12 + - (-2) ´

3
（2） 3(
+1)+ |
- 2 |

【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可求出值；

（2）原式利用二次根式乘法法则，绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式 = -1 + (-3) + 2 ´ 3
= -1 - 3 + 6
= 2 ；

3
3
（2）原式= 3 + + 2 -

= 5 ．
【点评】此题考查了实数的运算，乘方的意义，绝对值，平方根、立方根性质，以及二次根式的性质，熟 练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10 分）解方程组：

ì2x + y = 7
（1） í
î3x + 4 y = 18

ì2x + 3y = 16
（2） í
î3x - 2 y = 11

【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；

（2）方程组利用加减消元法求出解即可．

ì2x + y = 7①
î
【解答】解：（1） í3x + 4 y = 18② ，
由①得： y = -2x + 7 ③，
把③代入②得： 3x + 4(-2x + 7) = 18 ， 去括号得： 3x - 8x + 28 = 18 ，
移项合并得： -5x = -10 ，
解得： x = 2 ，
把 x = 2 代入③得： y = 3 ，

ìx = 2
î
则方程组的解为í y = 3 ；

ì2x + 3y = 16①
î
（2） í3x - 2 y = 11② ，
①´2 + ② ´3 得： 13x = 65 ，

解得： x = 5 ，
把 x = 5 代入①得： y = 2 ，

ìx = 5
î
则方程组的解为í y = 2 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

19．（10 分）看图填空：已知如图， AD ^ BC 于 D ， EG ^ BC 于G ， ÐE = Ð3 ，求证： AD 平分ÐBAC ．

证明：Q AD ^ BC 于 D ， EG ^ BC 于G(
已知 )

\ÐADC = 90° ， ÐEGC = 90° （垂直的定义）
\ÐADC = ÐEGC （等量代换）
\ AD / / EG
\Ð1 = Ð3
Ð2 = ÐE

又QÐE = Ð3(

已知）

\Ð1 = Ð2
\ AD 平分ÐBAC ．

【分析】根据垂直得出ÐADC = ÐEGC ，根据平行线的判定得出 AD / / EG ，根据平行线的性质得出 Ð1 = Ð3 ，
Ð2 = ÐE ，求出Ð1 = Ð2 ，即可得出答案．

【解答】证明：Q AD ^ BC 于 D ， EG ^ BC 于G(
\ÐADC = 90° ， ÐEGC = 90° （垂直的定义），
\ÐADC = ÐEGC （等量代换），
\ AD / / EG （同位角相等，两直线平行），
\Ð1 = Ð3 （两直线平行，内错角相等），
Ð2 = ÐE （两直线平行，同位角相等），
已知 ) ，

又QÐE = Ð3(

已知），

\Ð1 = Ð2
（等量代换），

\ AD 平分ÐBAC ，
故答案为：（垂直的定义）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，内错角相等）；（两直线平行，同位角相等）；（等量代换）；（角平分线的定义）．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的 关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平 行，同旁内角互补，反之亦然．
20．（10 分）如图，已知DABC （网格中每个小正方形的边长均为1) ．
（1）三个顶点坐标分别为： A (-1, 4) ， B ， C ；
（2）求三角形 ABC 的面积．
【分析】（1）根据图象得出点的坐标即可；

（2）根据 A 、 B 、 C 的坐标求出正方形 EFGB 的边长，求出DAEB 、 DAFC 、 DBGC 的边长，再根据面积公式求出即可．
【解答】解：（1） A 点的坐标是(-1, 4) ， B 点的坐标是(-4, -1) ， C 点的坐标是(1,1) ，
故答案为： (-1, 4) ， (-4, -1) ， (1,1) ；

（2）

过C 作 x 轴的垂线，分别过 A 作 EF ^ y 轴，过C 作 FG ^ x 轴，过 B 作 BE ^ x 轴， BG ^ y 轴， EF 交 BE
于 E ， EF 交 FG 于 F ， BG 交 FG 于G ，
Q A 点的坐标是(-1, 4) ， B 点的坐标是(-4, -1) ， C 点的坐标是(1,1) ，
\ EF = 4 + 1 = 5 ， BE = 1 + 4 = 5 ， AE = 4 - 1 = 3 ， AF = 1 - (-1) = 2 ， CF = 4 - 1 = 3 ， CG = 1 + 1 = 2 ，

\DABC 的面积 S = S


正方形EFGB

- SDBEA

- SDAFC

- SDBGC
= 5 ´ 5 - 1 ´ 3 ´ 5 - 1 ´ 2 ´ 3 - 1 ´ 5 ´ 2 = 9.5 ．
2 2 2

【点评】本题考查了坐标与图形面积，正方形的面积，三角形的面积等知识点，能求出 A 、B 、C 的坐标是解此题的关键．
21．（10 分）如图，已知Ð1 + Ð2 = 180° ， Ð3 = ÐB ， ÐBAC 与ÐDEC 相等吗？为什么？

【分析】根据等角的补角相等可得出Ð1 = ÐDFE ，利用“内错角相等，两直线平行”可得出 EF / / BC ， 由“两直线平行，内厝角相等”可得出Ð3 = ÐEDC ，结合Ð3 = ÐB 可得出ÐEDC = ÐB ，利用“同位角相等，两直线平行”可得出 AB / / DE ，再利用“两直线平行，同位角相等”可证出ÐBAC = ÐDEC ．
【解答】解： ÐBAC = ÐDEC ，理由如下：
QÐ1 + Ð2 = 180° ， Ð2 + ÐDFE = 180° ，
\Ð1 = ÐDFE ，
\ EF / / BC ，
\Ð3 = ÐEDC ．

Q Ð3 = ÐB ，
\ÐEDC = ÐB ，
\ AB / / DE ，
\ÐBAC = ÐDEC ．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理找出 EF / / BC 、 AB / / DE 是解题的关键．
22．（10 分）已知用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆， B 型车b 辆，一次运完， 且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：

（1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即 A 、 B 两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【分析】（1）设 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 x 吨， y 吨，根据“用 2 辆 A 型车和1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨”，即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有 31 吨货物，即可得出3a + 4b = 31 ，即b = 31 - 3a ，由 a 、b 均为
4
正数即可得出各租车方案．

【解答】解：（1）设 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 x 吨， y 吨，

ì2x + y = 10
î
根据题意得： íx + 2 y = 11 ，

ìx = 3
î
解得： í y = 4 ．
答：1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 3 吨，4 吨．

（2）由题意可得： 3a + 4b = 31 ，

\b = 31 - 3a ．
4
Q a ， b 均为整数，
ìa = 1 ìa = 5 ìa = 9
\有íb = 7 、 íb = 4 和íb = 1 三种情况．
î î î

故共有三种租车方案，分别为：

① A 型车 1 辆， B 型车 7 辆；

② A 型车 5 辆， B 型车 4 辆；

③ A 型车 9 辆， B 型车 1 辆．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于 x 、 y 的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货 31 吨，找出3a + 4b = 31 ．
23．（12 分）如图 1， AD / / BC ， ÐBAD 的平分线交 BC 于点G ， ÐBCD = 90° ．

（1） 求证： ÐBAG = ÐBGA ；
（2） 如图 2，若ÐABG = 50° ， ÐBCD 的平分线交 AD 于点 E 、交射线GA 于点 F ．求ÐAFC 的度数；
（3） 如图 3，线段 AG 上有一点 P ，满足ÐABP = 3ÐPBG ，过点C 作CH / / AG ．若在直线 AG 上取一点 M ，

使ÐPBM = ÐDCH ，请直接写出 ÐABM
ÐGBM

的值．

【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明．

（ 2 ） 先 根 据 直 角 的 平 分 线 得 ： ÐGCF = 45° ， 由 平 行 线 的 性 质 得 ： ÐAEF = ÐGCF = 45° ，
ÐDAB = 180° - 50° = 130° ，最后根据外角的性质可得ÐAFC 的度数；
（3）有两种情况：

①当 M 在 BP 的下方时，如图 5，设ÐABC = 4x ，先根据已知计算ÐABP = 3x ，ÐPBG = x ，根据平行线的
性质得： ÐBCH = ÐAGB = 180 - 4x = 90 - 2x ，根据角的和与差计算ÐABM ， ÐGBM 的度数，可得结论；
2
②当 M 在 BP 的上方时，如图 6，同理可得结论．
【解答】（1）证明：Q AD / / BC ，

\ÐGAD = ÐBGA ，
Q AG 平分ÐBAD ，
\ÐBAG = ÐGAD ，
QÐGAD = ÐBGA ，
\ÐBAG = ÐBGA ；
（2） 解：Q CF 平分ÐBCD ， ÐBCD = 90° ，
\ÐGCF = 45° ，

Q AD / / BC ，
\ÐAEF = ÐGCF = 45° ，
QÐABC = 50° ，
\ÐDAB = 180° - 50° = 130° ，
Q AG 平分ÐBAD ，
\ÐBAG = ÐGAD = 65° ，
\ÐAFC = 65° - 45° = 20° ；
（3） 解：有两种情况：

①当 M 在 BP 的下方时，如图 5， 设ÐABC = 4x ，
QÐABP = 3ÐPBG ，
\ÐABP = 3x ， ÐPBG = x ，

Q AG / /CH ，
\ÐBCH = ÐAGB = 180 - 4x = 90 - 2x ，
2
QÐBCD = 90° ，
\ÐDCH = ÐPBM = 90° - (90 - 2x) = 2x ，
\ÐABM = ÐABP + ÐPBM = 3x + 2x = 5x ，
ÐGBM = 2x - x = x ，
\ÐABM : ÐGBM = 5x : x = 5 ；
②当 M 在 BP 的上方时，如图 6，

同理得： ÐABM = ÐABP - ÐPBM = 3x - 2x = x ，
ÐGBM = 2x + x = 3x ，

\ÐABM : ÐGBM = x : 3x = 1 ．
3

综上， ÐABM
ÐGBM

的值是 5
或 1 ．
3

【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意 分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．