直线和圆的方程知识及典型例题.doc

直线和圆的方程知识关系

直线的方程
一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向和轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线和轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.
2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.
注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
②当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.
③过两点、的直线斜率公式
二、直线方程的五种形式及适用条件
名称
方程
说明
适用条件
斜截式

k—斜率
b—纵截距
倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式
0(0)
(x0，y0)—直线上已知点，
k ──斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
=
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点
和两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式
1
a—直线的横截距
b—直线的纵截距
过（0，0）及和两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
0
(A、B不全为零)

A、B不能同时为零

数学基础知识和典型例题
直线和圆的方程

直线的方程
注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;
⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
⑶直线是平面几何的基本图形，它和方程中的二元一次方程0（A22≠0）是一一对应的.

直线的方程
例1. 过点和的直线的斜率等于1, 则的值为( )
(A) (B) (C)1或3 (D)1或4

例2. 若, 则直线2＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（ ）
(A) (B) (C) (0,) (D)

例4. 连接和两点的直线斜率为,和y轴的交点P的坐标为.

例5. 以点为端点的线段的中垂线的方程是 .

两直线的位置关系
一、两直线的位置关系
1. 两直线平行:
⑴斜率存在且不重合的两条直线
l1∶11， l2∶22，则l1∥l2k12;
⑵两条不重合直线的倾斜角为,
则∥.

2.两直线垂直:
⑴斜率存在的两条直线l1∶112∶22,
则l1⊥l2k1·k2= -1;
⑵两直线l1∶A111=0，l2∶A222=0，
则l1⊥l2A1A21B2 = 0

3. “到角”和“夹角”:
⑴直线到的角（方向角）；
直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到和重合时所转动的角，它的范围是.
注:①当两直线的斜率k12都存在且k1·k2≠-1时,;②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.

例6. 将直线
绕着它和轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是( )
(A) (B) (C) (D)

例7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)和点(－2，4)重合，若点（7，3）和点（m ）重合，则的值为(　　)
(A)4 (B)－4(C)10 (D)－10

例8. 和直线
平行且过点的直线的方程是。

例9. 已知二直线
和
，若，在y轴上的截距为-1，则，.

两直线的位置关系
⑵两条相交直线和的夹角：
两条相交直线和的夹角，是指由和相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，
则有.

4.距离公式。
⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：0，则点P到直线l的距离；
⑵两平行直线l11=0， l22=0之间的距离。

5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.
含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，
即旋转直线系和平行直线系.
⑴在点斜式方程0(0)中，
①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，
②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l：0，
则①方程0（m为参数）表示和l平行的直线系；
②方程0（n为参数）表示和l垂直的直线系。

⑶已知直线l1：A111=0，
直线l2：A222=0，
则方程A111+λ(A222)=0
表示过l1和l2交点的直线系（不含l2）
掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.

例10. 经过两直线
11x－3y－9＝0和
12x＋y－19＝0的交点，且过点(32)的直线方程为.

例11. 已知△中，A（2，-1），B（4，3），
C（3，-2），求：
⑴边上的高所在直线方程；⑵边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程.

例12. 已知定点
P（6，4）和定直线l1：4x，过P点的直线l和l1交于第一象限Q点，和x轴正半轴交于点M，求使△面积最小的直线l方程.

简单的线性规划
线性规划
⑴当点P(x0，y0)在直线0上时，其坐标满足方程000；
⑵当P不在直线0上时，00≠0，即00>0或00<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式>0（或<0）表示直线0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。
利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。

简单的线性规划
例13. 若点（3，1）和（，6）在直线的两侧，则实数的取值范围是
（D）以上都不对

例14. 的三个顶点的坐标为，，，点在内部及边界上运动，则的最大值为　　　　，最小值为　　　　。

例15. 不等式组：表示的平面区域的面积是 ；

例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？

例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：

根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？
（利润=学费收入－年薪支出）

曲线和方程
曲线和方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：
① 曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；
② ②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程.

注:⑴如果曲线C的方程是F(x )=0，那么点P0(x0 0)在曲线C上的充要条件是F(x0 0)=0
⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形, 坐标法是几何问题代数化的重要方法。
⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化.

曲线和方程
例18. 点适合方程是点在曲线上的 ( )
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)什么条件也不是

例19.曲线C：和C：的交点数是（ ）
(A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个

例20. 已知定点，，点M和A、B两点所在直线的斜率之积等于，则点M的轨迹方程是

例22. 如图，圆和圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.
试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.

圆的方程
确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。
一、圆的方程形式:
⑴圆的标准方程：()2+()22,其中（）是圆心坐标是圆的半径；
⑵圆的一般方程：x220（D22-4F>0）,
圆心坐标为（-，-），半径为.
⑶圆的参数方程：()2+()22（r>0）的参数方程为:（为参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。

注:
①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;
②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.
③圆的直径式方程： ,其中是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.

二、直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：
⑴代数法：直线：0，圆：x220，联立得方程组
一元二次方程
（2）几何法：直线0，圆：()2+()22，圆心（a，b）到直线的距离为，则

三、圆和圆的位置关系：
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：
①1O2|>r12两圆外离；
②1O212两圆外切；
③| r12|<1O2|< r12两圆相交；
④| O1O2 r12|两圆内切；
⑤0<| O1O2|<| r12|两圆内含。
注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.

圆的方程
四、圆的切线:
1.求过圆上的一点圆的切线方程:先求切点和圆心连线的斜率,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程;
2.求过圆外一点圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为即,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得,切线方程即可求出. ⑵(代数方法) 设切线方程为,即代入圆方程得一个关于的一元二次方程,由,求得,切线方程即可求出.
注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆上一点的切线方程为.

圆的方程
例23.若直线和圆相切，则的值为( )

例24. 两圆x22-421=0和(2)2+(2)2=9的位置关系是（ ）
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

例25. 已知圆C和圆(1)22=1关于直线对称，则圆C的方程为( )
(A) (1)22=1 (B) x22=1 (C)x2+(1)2=1 (D)x2+(1)2=1

例26. 若直线432＝0和圆有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　）
(A)-3＜a＜7　　　 (B)-6＜a＜4 (C)-7＜a＜3　　　　(D)-21＜a＜19

例27. 把参数方程（为参数）化为普通方程，结果是 .

例28. 过点的直线被圆截得的弦长为，则此直线的方程为

例29. 圆的方程为x22－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。

例30.已知方程x22-2(3)2(1-4m2)16m4+9=0表示一个圆，
⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程

数学基础知识和典型例题(第七章直线和圆的方程)答案
例1 例2 例3 例4. 例5. 例6 例7 例8. 2x＋3y＋10＝0 例9. 0,8, 例10.
例11. 解:⑴∵ 5,∴ 边上的高所在直线斜率
∴ 所在直线方程1=(2) 即53=0
⑵∵ 中点为（3，1），2,∴ 中垂线方程为25=0
⑶设∠A平分线为，斜率为k，
则直线到的角等于到的角。
∵ 1，2,∴ ,
∴ k2+61=0,∴ 3-（舍），3+
∴ 所在直线方程为(-3)2+5=0
评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求所在直线方程，设P(x，y)为直线上任一点，则P到、距离相等，得，化简即可。还可注意到，和关于对称。
例12. 解题思路分析：
直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
解:设Q（x0，4x0），M（m，0）
∵ Q，P，M共线∴
∴ 解之得：
∵ x0>0，m>0∴ x0-1>0
∴
令x0-1，则t>0,≥40
当且仅当1，x0=11时，等号成立,此时Q（11，44），直线l：10=0
评注：
例13 例14.例15.例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.
例17.解：设初中x个班，高中y 个班，则
设年利润为s，
则
作出（1）、（2）表示的平面区域，
如图，过点A时，S有最大值，
由解得A（18，12）.
易知当直线1.22
即学校可规划初中18个班，高中12个班,
（万元）.
可获最大年利润为45.6万元.
评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用.
例18 例19 例20. x2+例21. (x
例22. 解：以的中点为原点，所在直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则
，.由已知，
得.因为两圆半径均为1，
所以.设，
则，
即.(或)
例23 例24 例25 例26
例27. x2+(1)2=1
例28. 0或76=0
例29. 解：x22－6x－80即(x－3)2+(y－4)2=25，
设所求直线为y＝。
∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，
∴ ，
∴，∴。
∴所求直线为y或。
例30.⑴m满足[-2(3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，
即7m2-6m-1<0,∴
⑵半径
∵ ,∴ 时，,
∴ 0<r≤
⑶设圆心P（x，y），则
消去m得：4(3)2-1,又
∴
∴ 所求轨迹方程为(3)2=(1)（）