数学实验基础用书.pdf

目第1篇高等数学实验录第1章函数与极F艮1.1 实验目的.(3)1.2 实验准备.(3)1.3 实验任务.(4)1.3.1 基础实验.(4)1.3.2 探索实验.(4)1 3.3 应用头9皿.(5)1.4 实验过程.(5)思考与提高.(13)练习.(13)第2章导致分、Tailor公式2.1 实验目的.(15)2.2 实验准备.(15)2.3 实验任务.(16)2.3.1 基础实验.(16)2.3.2 探索实验.(17)2.3.3 应用实验.(17)2.4实验 过程.(17)思考与提高.(23)练习.(24)第3章平分与应用3.1 实验目的.(26)3.2 实验准备.(26)3.3 实验任务.(27)3.3.1 基础实验.(27)3.3.2 探索实验.(27)I3.3.3 应用实验.(28)3.4 实验过程.(28)思考与提高.(33)练习.(33)第4章多元微积分4.1 实验目的.(35)4.2 实验准备.(35)4.3 实验任务.(36)4.3.1 基础实验.(36)4.3.2 探索实验.(37)4.3.3 应用实验.(37)4.4 实验过程.(37)思考与提高.(43)练习.(43)第5章求和与级教5.1 实验目的.(45)5.2 实验准备.(45)5.3 实验任务.(46)5.3.1 基础实验.(46)5.3.2 探索实验.(47)5.3.3 应用实验.(47)5.4 实验过程.(47)思考与提高.(55)练习.(55)6.1 实验目的.(57)6.2 实验准备.(57)6.3 实验任务.(58)6.3.1 基础实验.(58)6.3.2 探索实验.(59)n6.3.3 应用实验.(60)6.4 实验过程.(60)思考与提高.(66)练习.(66)第2篇 线性代数实验更7章f邑阵文句量7.1 实验目的.(69)7.2 实验准备.(69)7.3 实验任务.(71)7.3.1 基础实验.(71)7.3.2探索实验.(72)7.3.3应用实验.(72)7.4实验过程.(73)思考与提高.(80)练习.(80)8.1 实验目的.(83)8.2 实验准备.(83)8.3 实验任务.(84)8.3.1 基础实验.(84)8.3.2探索实验.(85)8.3.3应用实验.(85)8.4 实验过程.(85)思考与提高.(90)练习.(91)第3篇 概率论与数理统计实验第9章 概率计算、随机变量分布与随机数生成9.1 实验目的.(97)m9.2 实验准备.(97)9.3 实验任务.(99)9.3.1基础实验.(99)9.3.2 探索实验.(99)9.3.3应用实验.(100)9.4 实验过程.(100)思考与提高.(107)练习.(107)10 f10.1 实验目的.(109)10.2实验准备.(109)10.3 实验任务.(110)1 o.3.1 基础实验.(n o)10.3.2探索实验.(111)10.3.3应用实验.(H1)10.4 实验过程.(112)思考与提高.(120)练习.(120)1111.1 实验目的.(122)11.2 实验准备.(122)11.3 实验任务.(125)11.3.1 基础实验.(125)11.3.2 探索实验.(126)11.3.3应用实验.(126)11.4 实验过程.(127)思考与提高.(133)练习.(134)第4篇计算方法实验第12章非线性方程求根方法12.1 实验目的.（139）12.2 概念与结论.（139）12.3 程序中Mo t hemo t i co语句解释.（140）12.4方法、程序、实验.（141）12.4.1 二分法.（141）12.4.2简单迭代法.（143）1 2.4.3 Newt o n 迭代法.（147）思考与提高.（149）练习.（149）1313.1 实验目的.（152）13.2 概念与结论.（152）13.3 程序中 Mcit hemo t i co 语句解释.（153）13.4方法、程序、实验.（153）13.4.1 Go uss 消元法.（153）13.4.2 Do o lit t le分解法.（157）13.4.3 追赶法.（160）思考与提高.（166）练习.（167）第14章 茸性方程组的迭代解14.1 实验目的.（168）14.2 概念与结论.（168）14.3 程序中Mo t hemo t i co语句解释.（170）14.4方法、程序、实验.（170）14.4.1 J o c o bi 迭代法.（171）14.4.2 Seidel 迭代.（175）思考与提高.（179）练习.（179）V第15章本矩阵特征值和特征向量15.1 实验目的.（181）15.2 概念与结论.（181）15.3 程序中 Mcit hemo t i co 语句解释.（183）15.4方法、程序、实验.（184）1 5.4.1 穿法.（184）1 5.4.2 反黑法.（189）15.4.3 J o c o bi 方法.（192）1 5.4.4 QR 方法.（197）思考与提高.（204）练习.（204）第16章插值法16.1 实验目的.（206）16.2 概念与结论.（206）1 6.3 程序中 Mcit hemo t i co 语句解释.（208）16.4方法、程序、实验.（208）16.4.1 Lo g r o ng e 插值.（208）1 6.4.2 Newt o n 插值.（210）16.4.3分段线性插值.（214）1 6.4.4 样条插值.（218）思考与提高.（224）练习.（224）17 f 74-17.1 实验目的.（226）17.2 概念与结论.（226）17.3 程序中Mo t hemo t i co语句解释.（227）17.4 方法、程序、实验.（227）17.4.1 多项式拟合.（227）17.4.2 线性模型拟合.（233）思考与提高.（238）练习.（239）VI第18章数值积分法18.1 实验目的.（240）18.2 概念与结论.（240）18.3 程序中Mo t hemo t i co语句解释.（241）18.4方法、程序、实验.（241）18.4.1 n点 Newt o n-Co t es 求积公式.（242）1 8.4.2 复化求积公式.（245）18.4.3 Ro mber g 求积公式.（249）18.4.4 Mo nt e-Co r io求积方法.（252）思考与提高.（256）练习.（256）M 19 f19.1 实验目的.（257）19.2 概念与结论.（257）19.3 程序中Mo t hemo t i co语句解释.（258）19.4方法、程序、实验.（259）1 9.4.1 Euler 方法.（259）19.4.2 改进的 Euler 方法.（262）1 9.4.3 Rung e-K ut t o 方法.（264）思考与提高.（269）练习.（269）2020.1 估计一种迭代格式的收敛阶.（270）20.2 范德蒙德矩阵的病态性.（272）第5篇综合实验第21章法验实验1放射性废料的处理问题.（279）W实验2钓鱼问题.(281)实验3排污管道问题.(283)实验4追逐问题.(286)实验5锁具装箱问题.(290)实验6投篮的出手角度问题.(294)实验7曲线波形图拐点的快速查找问题.(300)实验8遗传算法的计算问题.(305)实验9随机模拟问题.(311)第22章 Mathematica软件使用简介22.1 Mo t hemo t ico 的进入和退出.(320)22.2 Mo t hemo t ic。中的数与运算符、变量、函数.(321)22.3 Mo t hemo t ico 的表.(326)22.4 程序设计语句.(327)22.5常用的绘图选项参数名称、含义、取值.(328)22.6 绘图命令.(331)22.7 McHhemo t ic。操作的注意事项.(333)22.8 Mo t hemo t ico 的错误提示.(333)参考文故.(335)1第1篇高等数学实验本篇共有6个关于高等数学内容的数学实验专题，依次为：函数与极限 导数、微分、Taylo r公式 积分与应用 多元微积分 求和与级数 方程求根与解常微分方程这些实验专题由“实验目的”、“实验准备”、“实验任务”、”实验 过程”、“思考与提高和练习”6个部分组成，其中的“实验任务”是实 验专题的核心，它是由“基础实验”、“探索实验”和“应用实验”3类 数学实验组成的复合数学实验。第1章函教与iEB艮i.i 实验目的熟悉基本初等函数的图形，熟悉Ma t hema t ic a软件的基本操作和曲线绘图命令，掌握用 数学软件处理函数与极限的有关问题.1.2 实验准备1.需要掌握的数学概念与结论基本初等函数，l im On,l im f(光)，l im/*(%),l im.J T J T J2.数学软件命令与功能(1)L in,n In fin it y 功能：求数列在趋于8时的极限值，即计算l im 0n.(2)L in it fx ,x x O功能：求函数/(%)在趋于%o时的极限，即计算In n/(%).%0(3)L in fx ,x x O,D ir e c t io n l 功能：求函数/(%)在%0处的左极限，即计算l im/(%).-(4)L in 让fx ,x x O,D ir e c t io n 1功能：求函数/(%)在%0处的右极限，即计算l im/(%).%(5)x,min,ma x,选项功能：画出函数/(%)随从min到ma x间的图形，选项可默认.(6)Pl o t H fl,f 2,，fn ,x,min,ma x,选项 4 数学实验基础功能：在同一坐标系下画出函数户(%),fi(%),，/(%)的图形，选项可默认.(7)S hovpicl,pic2，picn 功能：将图pic l,pic 2,，pic在同一个坐标系中显示.1.3实验任务1.3.1 基础实验本实验用来熟悉数学软件命令的操作.【实验1-1】计算下列极限.(1)l im n sin 4 L8 f lzo x I.(+1)1(3)hm,nL8(n+Z)n(2)l im 1+1L8 n)(4)l im山-8 X【实验1-2】一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁 殖出一对幼兔.如果不计算兔子的死亡数，请给出在未来24个月中每个月的兔子对数.(5)l im o X1(7)l im ex0(9)l im sin%t a nx_1(6)l im e”L()十(8)L ik(10)l im c o s.%.0 x【实验1一3】画出下列函数图形.(1)f(x)=sin3%,兀，兀(2)/(%)=%e0s+%,%G 0,10(3)g(%)=%6+4%3-14%+金，2,22,21.3.2探索实验本实验探索基本初等函数图形的变化特点，探索函数/(%)的自变量线性变换后函数图 形的变化特点.【实验1-41观察指数函数l o g6%当6=1/2,1/3,1/4和6=2,3,4时函数的变化特 点，总结l o g6%的图形特性.【实验1一5】用的函数图形，探索/(%)的图形与/(皈)，第1章函数与极限-5/(%)+6图形之间的关系.1.3.3应用实验本实验研究连续利率问题.【实验1-61 储户在银行存钱银行要给储户利息.如果年利率一定，但银行可以在一年 内多次付给储户利息，比如按月付息、按天付息等.某储户将1 00。美元存入银行，年利率为 5%如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结 算次，每次结算后将本息全部存入银行.问：(1)随着结算次数的增加，一年后该储户的本息和是否也在增多？(2)随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存款是否会无限变大？1.4实验过程【实验1-1】(1)L in itn 2*S in l/n 2,S ifmityOu t l=1(2)m2：=Lin it(1+1/n)人n,n In f mit y Out 2=E(3)m3：=Lin it(l+1/n)n*(n l)/(n 2),n In f in it y Out 3=E(4)Tn4：=Lin it Sx,x In f in it yOut 4=0(5)m5：=Lmit Smx/x,x 0Out 5=1(6)m6：=Linit E应1/x ,x 0 9 Direc t io n-1 0u t 6=Sif mit y(7)m7：=Linit E也1/x ,0,Direc t d m+1Out 7=0(8)m81：二 Ln it l/(x Lo g x 2)1/(x-1)2,x l0u t 8.(9)m9：=Lm it Sinx Tan x ,x Pi/2 0ut 9|1(10)m10：=LinilCo sl/x ,x 0Oui10=mt er va-1,1 6 数学实验基础由以上的实验结果可以看到，极限是与极限过程有关的.（1。）的结果说明Jim c o s 1的 X函数取值在区间1,1振荡，它没有极限.【实验1-2】设兔群在第个月的总对数为，=0,1,2,为找出兔群的对数随月份变化的规律，列出数表，如表1 1所示.表L1月 份012345幼 兔101123成 兔011235总 数112358从表1-1中发现，go=g l=l,g2=g l+go,，g/i+2=g/r+1+g九，于是可以知道g n满足 如下递推关系.g+2+1 I，go=g l=1,n 0,1,2,由此可以依次计算出型的值.输入命令如下.ml：=Clear n,g；g 0=l；g n _ ：=g n-1+g n2；m2：=f ibTablg n,n,0,24Out 2=1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,61。，987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025于是在未来24个月中，每个月的兔子对数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1 597 9 2 584,4 181,6 765,10 946,17 711,28 657,46 368,75 025本题所得到的数列称为Fibo n a c c i数列，它在自然科学和数学领域中都有很广泛的应用.Fibo n a c c i数列的通项公式为：=2,3,4,第1章函数与极限 7【实验1-3】(1)Plo t(Smx)3,x,Pi,Pi输出图形见图1 1.ml：=Plo t Lo g l/2,x ,Lo g l/3,x ,Lo g l/4,x ,x,0.1,4),(2)m2：=Pbt x*E&)Co sx+x,x,(输出图形见图1-2.0u t 2=-Gr aphic s-、1V:图11(3)m3：=Plo t x入6+4x 3 14 1/2,:输出图形见图13.0u t 3=-Gr aphic s-(4)m4：=Plo t x*Sml/x 2,x,-2,输出图形见图1 4.0u t 4=-Gr aphic s-MJ图L3【实验1-4】),io 2 4 6 8 W图1 202,2 2 :-0.75图1-4 8 数学实验基础PlDt St yle Thic knessO.006,Thic kness0.005,Dashmg 0.03 9 0.02 1:输出图形见图15.Oull=Grhic sm2：=Plo t Lo g 2,x ,Lo g 3,x ,Lo g 4,x ,x,0.1,4?PlDt St yle Thic knessO.006,Thic kness0.005,Dashmg 0.03,0.02:输出图形见图1 6.0u O-Grhic s-图1-6的图形中最粗的实线是第一个函数，次粗的实线是第二个函数，虚线是第三个函 数.通过这些图形，可以知道有关对数函数l o g.%的如下特性：(1)对数函数l o g,%总经过(1,0)点；(2)对数函数l o g.%当底61时是单调上升的；(3)对数函数l o g.%在底b1的范围内，当光1时，6越小函数值越大.【实验1一5】Thic kness0.006,Daimg 0.01,0.01 :输出图形见图1 7.第1章函数与极限 9 实线为/(%)；虚线为/(x+6)/0.In 3：=Plo t Cx,f x2,x,-4,4),PlDt St yle Thic knessO.006,Dashmg 0.01,0.01 1:输出图形见图1-8.实线为了(%);虚线为了(%-b),b 0.图1 8m4：=Plo t n f x ,C2x ,x,-4,4,PHo t St yle Thic knessO.006,Dashmg 0.01,0.01 :输出图形见图19.m5：=Plo t f x,Cx/2,x,-4,4,PHo t St yle Thic kness0.006,Dashmg 0.01,0.011:10 数学实验基础实线为/(x)；虚线为了(处),输出图形见图1-10.实线为/(X)；虚线为了(G),”1.In 6：=Plo t n Cx,2f x ,x,一4,4,PHo t St yle Thic kness0.006,Dashmg 0.01,0.01 1:输出图形见图1H.图 1-11第1章函数与极限 11 In 7：=po t f x,Cx/2,x,14,4,PHo t St yle Thic knessO.006,Dashing 0.01,0.01 输出图形见图1 12.m8：=PHo t f x,f x+l,x,-4,4,PHo t St yle Thic kness0.006,Dashing 0.01,0.01 :输出图形见图1-13.实线为/(x)；虚线为/(x)+瓦b 0.m9：=PlDt f x,Thic knessO.006,Dashing口 0.01,0.01 :输出图形见图1-14.n 数学实验基础实线为/(x)；虚线为图 1-14通过上述图形，可以清楚地看到了(%)的图形与/(Q%)、。/(%)、/(%+6)、*)+6图形 的变化特点.【实验1-6】(1)问题分析若该储户每月结算一次，则每月利率为0.05/12,故第一个月后，储户本息共计 1 000 第二个月后，储户本息共计1 000 j+曾,，则一年后，该储户本息共计1 000(1+112.若该储户每天结算一次，假设一年365天,则每天利率为0.05/365.故第一天后，储户 本息共计1 00。1+嗜;第二天后，储户本息共计1 o o o l i+l2,.,则一年后，储户 本息共计 I o o o|i+)365.1 000 一般地，若该储户等间隔地结算次，则一年后本息共计I 000 J+751;随着结算次 数的无限增加，有 L8,故一年后本息共计l im 1 000；1+心如.于是，可以得到如果储 户等间隔地结算次一年后本息共计的一个函数z、1 八八/1,0.05：ns()=l 000 1+n)(2)实验步骤Tnl：=C lear n,ss n _：=1000*(l+0.05/n)nZn2：=Plo t sn,n,4,100第1章函数与极限 13 输出图形见图1 15.Out 2：=Graphics从图1-15的图形中可以看到，随着结算次数的增多，一年后该储户的本息和也是在增 多的.图1 15In 3：二 Ln it$n,n Sif mit yOut 3：=1051.27计算结果说明，随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存钱不会无限变大,该储户一年本息和最多不超过1 052美元.通过实验结果可以知道，只要年利率一定，不管银行采取多么小的时间间隔的付息方 式，都不会导致付息无限增多的结果.思考与提高1.怎样画出分段函数的图形？2.怎样用绘图命令观察函数在某点附近的变化情况？3.怎样用绘图命令观察函数在无穷远点的变化情况？4.怎样观察某数列是否收敛？5 设 分别取。=，1，求极限”（思考本题的实验结果，使你对求极限问题的认识有进一步提高）练 习1-1用Ma t hema t ic a数学软件计算下列各式的数值.(1)1238+e2 3 Xl o g23-c o s 21；(2)t a n(x)a r c c o s x,在%0.25 和=0.78兀的函数值.14 数学实验基础1 2131-4151-61718191 101 111-12113求下列极限.(1)l imL810+100 000n+1(2)J(2)r a+1+3r a+1(3)l im/八 J+5%4(4)hm oL5 X-O(5)l im13-一(%+l I%+l(6)l im e 21 a r c t a n x+oo(7)l imL8.XX.；X _/o、i _X_%_i%sin sin x X X)(8)l im i 1 1li 1 xnl n x画出下列函数的图形.(1)y=c o s 3%+sin%(2)/(%)=%2+l o g3(3%),2,2(4)y=sin3c o s3 i,力G 兀，兀用函数的绘图命令，画出基本初等函数中所有三角函数和反三角函数的图形.用函数绘图命令，观察基函数d当=1,1/2,1/2,2,3,4时的图形特点.用函数绘图命令，观察指数函数/的图形特点.以函数/(%)=sin%,ttW%Wtt为实验函数，用函数绘图命令分别就a=1,-1/2,1/2,2,画出/(%),一兀%兀的图形，观察/(%)与的图形变化特点.以函数/(%)=sin%,一ttW%兀为实验函数，用函数绘图命令分别就a=1,-1/2,1/2,2,画出/(%),一兀的图形，观察/(%)与的图形变化特点.以函数/(%)=sin%,一兀忘(六为实验函数，用函数绘图命令分别就6=2,2,画出/(%+6),一兀的图形，观察/(%)与/(%+6)的图形变化特点.以函数/(%)=sin%,-7r%=1+3点一J,求二阶导数第2章导数、微分、Ta y l o r公式 17(3)y=c o s2(COS 2%),求二阶导数；(4)=sin(/(%),求三阶导数.【实验2-31自定义一个求参数方程导数的函数，并利用它求下列参数方程的导数少.()；%=力(1-sin 力)y=t eo s tx=a r c sin t【实验2-4 求下列函数的全微分.(1)y sin6 u(2)y=%sin 2X【实验2-5】画出下列函数y=/(%)的导数图形.(1)夕=s in(/)的一阶导函数在区间2,2上的图形；(2)y=e-c o s 5%的四阶导函数在区间0,3上的图形.【实验2-6 求下列函数的泰勒展开式及去掉余项的多项式.(1)/(%)=x a r c t a n%In 1+x，在%o=0,展开阶为 6；(2)/(%)=：，在%o=2,展开阶为 4.2.3.2探索实验本实验探索导数与函数自变量的联系.【实验2-7设函数=/+/c o s z.(1)命令“Dx人4*什y人a*Co$z,x”能得出什么结果？其含义是什么？(2)命令“Dx人4*y-a*Co s：z,y”能得出什么结果？其含义是什么？(3)命令Dx 4*Co sz,z”能得出什么结果？其含义是什么？(4)命令Dx 4 Co sz,a”能得出什么结果？其含义是什么？【实验2-8】用函数 y=%c o s(%)在。=2.0的增量Ay与微分d y的取值情况,探索函 数增量与微分的关系，以及近似计算公式使用的注意事项.【实验2-9】用正弦函数sin%的不同Ta y l o r展开式，观察函数的Ta y l o r逼近特点.2.3.3应用实验本实验研究咳嗽问题.【实验2-101 人体的肺内压力增加可以引起咳嗽，通常肺内压力增加伴随着人体气管 半径的缩小.那么较小半径是促进还是阻碍空气在人体气管里的流动？2.4实验过程【实验2-1】(1)ml ：=a ,x.18 数学实验基础0口此1=Sec?廿 x(2)m2：=D2(x/Lo g x),x wx+i!(3)m3：=Dx*Tan x Sq rt f x ,x Out f 3=W+x Sec?x+Tanx 2nx(4)Tn4：=DLo g x-l/2-Lo g l/2,x 1 10Ut42(x1)2(肝 1)(5)m5：=DL6 t,t Out 5=1+t?+t?Lo g t(6)m6：=DCSmCx*Co sn*x ,x Out 6=r Co sx Co snx S ia1-1 x nS m1 x S mn x(7)m7：=Dx*,x Out C7=f+x Co sx Co sS i S mS(8)m8：=v=DSma*x *Co sb*x ,x Out 8=aCo sa x Co sb x b Sma x Smb x m9：=v/.x 3Out 9=a Co s3 a Co s3 b b S jn3 a Sm3 b【实验2-2】(1)ml：=Dx*Sinx,x,5 Out l=x Co sx +5 Smx(2)m2：=Dx-8+3b*G21/x,x,2Out C2=6 b-2x-3+56x(3)m3：=DCo sCo s2x 人2,x,2Out C31=_8 Co s Co s 2x Sm 2x +8 Co s2x Co sCo s2x SmCo s2x+8 Sm 2x Sm Co s 2x(4)m4：=DSin x,x,30u t 4=(Co sCx V x )3 x Fx 1+Co f-+(2)m3：=Sri$1/G2,(x,2,4)r n 1-2+x 3(-2+x)2(2+x)3 i 5(-2+x)4 r z,xS nOut 3=+=8+64+。(-2+幻5Tn4：=No malp J L 2+x I 3(2+x (2-l-x)3 I 5(Z+x)，0Ut：4 4-4+【实验2 7】In l：dG4*Co sz,x Oull=4 x yTn2：=Dx-4 头 y+ya*Co sz,yOut 2=x+3/-1+aCo szIn 3：=Dx 4*Co sz,z0口电二 一/Sjn zm4：=Dx-4*;广a*Co sz,aOut 4=/Co szLo g y实验表明，求导计算与指定函数的变量有关.如果函数中有很多可以作为变量参数，则 在求导命令中，只把命令中指定的参数作为变量，其余参数作为常数处理.这实际上是多元 函数的偏导数概念.【实验2-8】f x _：=x*Co sQ2；m2：=a：x _D：4x,x；m3：=x 0 2.0；Tn4：=Tabiaf x 0+h f x 0f lx 0l*h,h,0.1,0,0.005Out 4=0.141826,0.128511,0.115785,0.103663,0.092156,0.0812772,0.0710377,0.0614484,0.0525198,0.0442618,0.0366837,0.0297945,0.0236024,0.0181154,0.0133407,0.0092852,0.00595522,0.00335659,0.00149467,0.000374342,0.计算结果给出的一组数表是按自变量增量%=%来取值，由人=0.1开始，每次减少0.005,直到h=0算出的函数y=%COS(/)在。=2.0的增量与微分d y的差,从计算结 第2章导数、微分、Ta y l o r公式 21 果可以看到，当自变量增量%=%越接近零时，函数增量Ay与微分d y越接近,因此，在使 用由微分得到的近似计算公式/(%+%)仁/(%)+/(%)%做近似计算时，应该考虑自变量增量的绝对值1%较小这一特点.【实验2 9】Fo r尸5,f l2x _=No malSer iesSmx ,x,0,i；Plo t S,f x ,x,-7Pi,7Pi,PDt Rang e _5Pi,5Pi,-1.5,1.5,PlDt St yle RGBCo o r l,0,01,Thic kness0.015,RGBCo o r 0,1,0,Pbt Label-；次Teybr展开的图形比较执行命令后，输出如图2 3所示的一系列图形.图2 3命令中语句“Fo r est a r t:,t es t,in c r,bo(均”的功能是以“st a r t”为初值，重复计算“in c r 和“bo d y”，直到“t est”为“Fa l se”终止；“廿=5”表示“i=i+5”.22 数学实验基础在本题输出的一系列图形中，细线是函数sin%,粗线是sin%的Ta y l o r展开式.从图中 可以明显看到，Ta y l o r公式随着展开阶的提高，展开式越来越接近原来函数的逼近特点.【实验2 一 10】（1）问题分析查找有关流体在圆柱形管子中流动的资料，获得如下物理学的结果.在单位时间内，流 体流过管子的体积为式中，厂为管子半径为管子长度，p为管子两端的压力差，q为流体的粘滞度.实验结果表明：当压力差p增加，且在；0,）内，半径厂按照方程r=ro-a p减小.其 中川为无压力差时的管子半径，。为正的常数.将人体气管看作是一个圆柱形的管子，并用r表示气管半径，s表示气管长度，p表示气 管两端的压力差，q表示流体的粘滞度，于是可以使用如上的结果.由于人在咳嗽时气管的压力差增加，因此由实验结果，有厂=八一年在p 0,1时成立.从r=ro a p解出p,则有于是可以得到p=,r a Z代入式（2 1）,有由于s和q在咳嗽过程中通常不发生变化，因此上式中的人是常数.于是，在咳嗽过程 中，单位时间内流体流过气管的体积V只是r的函数，即U=V（r）.为解决本题，可从考虑 卜（,）取最大值时厂的取值情况着手.由广（厂）=犷（4向一5r）=0得到驻点n=0（舍去）和及=:八.0第2章导数、微分、Ta y l o r公式 23 K/Z(r)4Zcr2(5 r+3 d)y/z(n)=一 Z5因此由极值的充分条件，Mr)在r=n时取得极大值.由于本题在考虑的范围内有唯一极值 点，因此卜(厂)在厂=花也取得最大值.于是有在半径一=花=川时，单位时间内流体流过气 管的体积最大.由于，4/5*r OOuC6思考与提高1.如何求/(%,y)=o所确定的隐函数的导数f?用你的方法求方程%c o s y sin(%+y)的 导数上.d x2.如何求参数方程二%;确定的函数=1%)的二阶导数？1y“力)3.如果要对一个方程求导，应该怎样做？用方程/+2%3/=。做实验.24 数学实验基础4.实验2-9命令的实现过程是怎样的？练 习2-1求下列函数的导数.(5)y=l n3(%).2(4)y=e-sm，(6)y=x sin7 X(7)a r c sin%y-a r c c o s xZQ、-2 _X_ _X.3)y sin 2 c o t 22-22-3求下列函数的二阶导数.(1)尸5d3%+1(2)(3)y=NCOS a x求下列参数方程的导数?.d x(4)y=%sin 2 x sin 3 x1 y-/_x=a co s t(2)_.3L y-a sin t(3).6力%1+6/尸l+f(4)x=a(itsin t)y=a(l c o s 力)2-42-5求下列函数的微分.(1)yl g sin%+%sin 2”(2)z=%/(%+2)sin 5%自定义了一个求隐函数导数的函数，并利用它求下列方程所确定的隐函数y=y(%)的导数盟(1)sin(%y)+c o s y _0(2)a r c t a n，=In Jx2+y2f%=esin t2-6验证参数方程 _ t 所确定的函数y满足关系I y=e c o s td v:?(%+y)2=2第2章导数、微分、Ta y l o r公式 25 2 7求下列函数在%。点的泰勒展开式和去掉余项的多项式.(1)/(%)=1+3%+51 2%3,%o=-1,展开阶为 2 和 3；(2)/(%)=e sin%,软=:,展开阶为 6；(3)/(%)=%2+l l n(l+%),%。=0,展开阶为 8.2 8在你所学的微积分教材中，选择两道有关泰勒公式计算的习题，用Ma t hema t ic a数学 软件命令来计算.2 9选择一道与求导数有关的应用题，用Ma t hema t ic a数学软件的命令来处理其中的导数 计算问题.2-10 取函数/(%)=%/为实验函数，用Ma t hema t ic a命令分别就效=1,0,2,将/(%)按%。展开成8阶泰勒公式，求出相应的8次近似多项式，在区间4,4上画出 这些近似多项式.从这个实验中，能给你提供哪些思考？2 11假定某林场种树裸，根据经验每棵树的生产函数Q=r,这里Q为力年后木料的板尺 数，a为参数,因树种不同而异，且0武1.假定树的成本为：b+WQ+r p。山,这 里b为种树的成本，卯为维护成长中的树每板尺所需费用，厂为利息率，为每板尺木 料的价格，火为到砍树时为止的因积压资金引起的机会成本.试问：什么时候砍 树利润最大？2 12 一幢楼房的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园 宽2 m,高3 m,温室正上方是楼房的窗台.清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温 室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上.因为温室是不能承受梯子压力的，所以 梯子太短不行，现有一架7m长的梯子.问：它能达到要求吗？第3章积分与应用3.1 实验目的理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的简单近似计算方法.熟悉 Ma t hema t ic a数学软件的求不定积分、定积分命令.3.2 实验准备1.需要掌握的数学概念不定积分，变上限函数，定积分.2,数学软件命令与功能(1)In t eg r a t e fx,x 功能：计算函数/(%)的一个原函数.(2)In t eg r a t efx,x,a,b1功能：计算函数/(%)在区间a,b上的定积分值.(3)NIn t eg r a t e fx ,x,a,b功能：计算函数/(%)在区间a,b上定积分值的近似值.(4)S un fi,i,1,n 功能:计算/(1)+/(2H-1/()的和.(5)NSu n fi,i,1,n 功能：计算/(1)+/(2)+/()的近似值.第3章积分与应用 27 3.3.1 基础实验3.3实验任务本实验用来熟悉数学软件命令的操作.【实验3-1 求下列函数的一个原函数.【实验3-31求下列变上限积分对的导数.(1)x+2(2)sec x(sec x t a n%)(3)Q(4)l n(%+l)sin xJ%+l21(5)x a r c t a n x(6).2 2sin%c o s%【实验32】计算下列定积分.1 2(3%2+2%-1)d%(2)ex(1+sin x)d x1 0（3），re i+%1 d x1i%(4)（5），2%1 d x 0（6），J 1+%ed x(1)(3)xsin t d ta/%d xX(2)/(%)=/(_ t d tJ o(4)sin xf(力+2)d【实验3-4】标准正态分布函数为%e 2 d t o画出该函数在区间3,3的图形，并计算其在%=1,0.5,3,10的函数值.【实验3一5】求下列极限.(1)l im 774fo无 2e d xo，20t(e)2 d%(x 2I(a r c t a n t)d t(2)l im。.【实验3-6】计算积分1sin sin xd x.o3.3.2探索实验本实验探索定积分的近似计算方法.28 数学实验基础【实验3-7 定积分的基本思想是化整为零、以不变代变、积零为整、取极限四个部分.J/（%）（!%的几何意义是由y=/（%）,y=。，=a,%=，所围成的曲边梯形面积（代数和）.矩 形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和，以获得定积分的近似值（见 图3-1）.试选择一个简单的定积分题目，利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后 者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化.图3-1定积分的几何意义3.3.3应用实验本实验研究转售机器的最佳时间问题.【实验3-8】人们使用机器从事生