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高一数学第四章三角函数同步辅导讲义
第5讲 二倍角的正弦、余弦、正切
学习要求：
1、理解和掌握二倍角公式的结构及应用，理解和掌握二倍角的正弦、余弦公式在升幂、降幂变形中的应用。
2、了解半角公式。了解半角公式的推导，及其及二倍角公式之间的联系、区别。了解万能公式，学会万能公式的简单应用。
3、了解和、积互化（8个公式）的由来（推导过程），能够运用和（差）角的正、余弦公式推导出这组公式（和、积互化）。
二、学习指导
关于公式的推导、变形
（1）书上采用及以往不同的方式，让学习者自行推导出二倍角的正弦、余弦、正切，换言之，课本的要求不仅是记忆这组公式，更重要的是这组公式的推导，以及由和（差）角公式推导出二倍角公式中所蕴含的思想方法。
课本上不再单独讲解半角公式、万能公式，和、积互化公式等内容，虽然这部分删去的内容对于三角式的变形、变换而言是相当重要的。新教材要求的是使学生学会灵活、变通地使用公式，而不仅仅是记住公式本身。
（2）公式变形
，是二倍角余弦公式的变形，通常被称为“降次公式”。实际是降幂扩角的变形方法。
（3）如果将降幂扩角“公式”适当变通，得到
，，即为半角公式。
及前面学过的其他公式不同，用这组公式时要求出的范围
（4）也是半角公式。及其余公式不同的是这个公式应用时不用求的范围，只要知道sinα，cosβ的值即可。
另一方面，这个公式很不容易记住，因此应掌握其推导过程（书P46练习题1）
（5）万能公式
其中tanα的万能公式就是二倍角公式。
所谓“万能”是指我们可以将α角的任何三角式（包含α角的任意三角函数值）转化为只含有的代数式，从而将多元问题化归为一元问题，简化了问题的结构。
示例：求函数的值域
令 ∵t∈R ∴
∴ t∈R
这是一个分式函数其解法我们在第一章中已接触过了。
【典型例题】
例1、不查表求值：sec50o+tan10o
分析：容易想到切割化弦，原式，但接下去通分或是找角之间的关系（50o及10o）都很困难。
因此，我们还是应先从角之间的关系入手。
50o及10o及间关系难以把握，而它们各自的余角——40o及80o——却是倍角关系，这是我们的“突破口”。
解：原式（利用“90o-α组”诱导公式变形，变形后通分也方便）
回顾：1、选题目的：倍角正弦公式的应用。（通分时用到sin80o=2cos40osin40o）
2、解题中用到“拆角”的技巧，还记得这一题吗？（上一讲）
例2、不查表求值：cos36o·cos72o
分析：36o及72o是倍角关系，现在要求计算出cos36o·cos72o的具体数值而不查表（或使用计算工具），只能寄希望于运用公式能够约去这些非特殊角的三角式。想到利用二倍角的正弦：2sinα·cosα=sin2α
sin36o·cos36o= 它及cos72o还能再应用倍角正弦公式。
解：原式
回顾：该题的背景是诸如cosα·cos2α·cos4α…cos(2n-1α)的三角式求值（化简）问题，让我们来化简cosα·cos2α·cos4α…cos(2n-1α)，并研究一下在什么条件下可求出该式的值。
例3、化简cosα·cos2α·cos4α…cos(2n-1α)（1）
解：原式
回顾：1、我们接着讨论例2的问题。如果sin(2nα)=sinα或sin(2nα)=-sinα，那么，对于给定的n，例3中三角式的值是确定的。
根据三角函数线有关知识
若sin(2nα)=sinα，则2nα=2kπ+α或2nα=2kπ+π-α
若sin(2nα)=-sinα，则2nα=2kπ+π+α或2nα=2kπ-α（以上k∈Z）
2、示例：如果，即（1）式中的第一个三角式是，那么n至少为_______，才能算出（1）式的值？
答案是n=3；
例4、试用sinα表示sin3α
分析：3α=2α+α
解：sin3α=sin(2α+α)=sin2α·cosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α
=3sinα-4sin3α
回顾：1、三倍角公式可由二倍角公式导出，sin3α公式只及sinα有关，cos3α公式只及cosα有关。cos3α=4cos3α-3cosα
2、我们再来仔细研究一下三倍角公式
sin3α=sinα(3-4sin2α)=sin(3cos2α-sin2α)
=sinα(cosα+sinα)(cosα-sinα)
=4sinα(cosα+sinα)(cosα-sinα)
=4sinαsin(+α)sin(-α)
同理，也有cos3α=4cosαcos(+α)cos(-α)
例5、若cos，，求的值
解：原式
而sin2x=cos
又∵ ∴ ∴
∴tan ∴原式=-
注：本题的解题思路是先将所给的式子充分利用同角三角函数公式，诱导公式以及在这一节我们所掌握的公式进行化简，使其出现这个角，然后再求值。
例6、化简：（前提是该式有意义）
分析：（1）直接通分行不行？分母
分子
显然，这个解法运算量较大。
（2）或者每个分式尝试先各自化简，这需要分子分母产生公因式（约方化简的需要），因而分子分母都要升次。
解法一、（直接通分，解略）
解法二、令，则原式
而
∴原式
例7、求函数的值域。
分析：函数解析式是一个关于的二次式，虽然，但是解析式中含有项，因此还是两变量问题。（二元函数）
怎样降元？（变换后成为一元函数）
考虑到上一讲中型三角函数式的合一变形（思想方法），这里需要产生一次式，即需要降次。
解：
其中为常数，且
回顾：例6，及例7演示了利用倍角公式进行降次及升次变形。
常用的降次公式：
其重点是“降幂扩角”。
通常情况下，升次变形常用来产生公因式，用以约分或因式分解等变形。降次变形常用在二次或更高次（如四次）三角式中，通过降幂扩角，产生一次的三角式，而后通过“合一”变形或是和差化积来解决问题。
【同步练习】
1、等腰三角形的一个底角的正弦为，则这个三角形的顶角的正切为_________；
2、已知sinα:sin=8:5，则cosα的值为______________；
3、=____________________；
4、=________________；
5、化简：=_____________________；
6、若cos2θ=，则=________________________；
7、已知tanθ=，求cos2θ+2sin2θ的值；
8、不查表求值：；
9、不查表求值：sin6°sin42°sin66°sin78°；
10、已知，求2α+β的值；
11、已知tanαtanβ=，求(2-cos2α)(2-cos2β)的值；
12、已知sinα-cosα=，且π<α<2π，求tan的值；
（*）13、已知tanα-tanβ=2tan2αtanβ，其中α、β≠，求证：。
【参考答案】
1、 设底角为α，则顶角为π-2α，∵sinα=，∴cosα=(α必为锐角)
∴tanα=，
∴tan(π-2α)=-tan2α=-
2、 sinα=2 ∴ ∴
3、 注意到
∴原式=
4、 原式=
5、-2sin4 1-sin8=(sin4-cos4)2, 1+cos8=2cos24
原式=
如示意图， ∴sin4+cos4<0, cos4<0
∴原式=-2sin4-2cos4+2cos4=-2sin4
6、 sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ
∵cos2θ= ∴|sin2θ|= ∴
7、解：cos2θ+2sin2θ=cos2θ-sin2θ+4sinθcosθ
=cos2θ(1-tan2θ+4tanθ)
（也可以利用万能公式）
8、解：原式=
注：
9、解：sin78°=cos12°, sin66°=cos24°, sin42°=cos48°, sin6°=-cos96°
∴原式=-cos12°cos24°cos48°cos96°
=（参见例3）
10、解：∵tanα=-<0 ∴ ∴
又∵π<2α<2π ∴<2α<2π ∴
∴ ∴π<2α+β<2π ∴2α+β=
11、解：利用万能公式
，同理
由条件tanα·tanβ=得，tan2α·tan2β=
∴3tan2α=cot2β（即）， 3tan2β=cot2α
12、解：sinα-cosα=>0, sinα-cosα=>0
∴2kπ<α-<2kπ+π ∴2kπ+<α<2kπ+ (k∈Z)
又∵π<α<2π ∴π<α<
将sinα-cosα=两边平方，得1-sin2α=
∴sin2α= ∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=
又∵π<α< ∴sinα+cosα<0 ∴sinα+cosα=
13、证明：∵tanα-tanβ=2tan2αtanβ
∴tanα+tanβ=2tanβ(1+tan2α)=2tanβsec2α
∴sin(α+β)·cosα=2sinβ
第7讲 三角函数的恒等变形
例题选讲
例1 已知
求证：
分析 注意到已知条件中的角、及欲证等式中的角、的关系：因此可用两角和及差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.
证：==
评析 本题也可以由已知得，代入右边，得
例2 已知求的取值范围.
分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围.
解 令，① 由已知，. ②
①2+②2 ：
即
例3 求函数的值域
分析 的解析式中既有，又有，若由将表示成或将表示成，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到，因此可作代换：则和都可以用表示，就可以变形为的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得的值域.
解 令 则
当 当
的值域为
评析 相应于，还有更一般的情况：
∴可以设
则，并由此可求出的取值范围.如设则若则
例4 已知且、、均为钝角，求角的值.
①
②
解 由已知，
①2+②2：
评析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或
例5 已知求的值.
分析 因，所以只要求出和的值.由已知，，所以如能由求出的值，即可求得的值.
解
评析 一般地，和之间有关系：或写成
例6 已知，求的值.
分析 由可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的式子.
解
评析 及类似，有
例7 已知求的值.
分析 由例6评析，因此希望把也变形为和的三角函数.
解 =
评析 若令，则由上述解题过程可知，，类似地有
例8 求值：（1） （2）
分析 （1）为特殊角，，因此有，
（2）为特殊角，，因此有
解 （1）==
（2）=
巩固练习
一、选择题
1．等于 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，且是第三象限角，则的值是
A． B． C．或 D．或
二、填空题
7．求值：= .
8．已知，则角是第 象限角.
9．已知、、均为锐角，且，则= .
10．求值：= .
三、解答题
11．求值：（1） （2）
12．已知，求的值.
13．求证：（1）
（2）
（3）
14．（1）已知求
（2）已知求
答案及提示
[答案]
一、1．B 2． A 3．C 4．D 5．D 6．A
二、7． 8．四 9． 10．2
三、11．（1）， （2） 12． 13．略
14．（1） （2）
[提示]
一、1．
4． =
5．
6．是第三象限角，
二、8.
9. 、、
10..
三、11．（1）
（2）
12．
13．（1）
（2）==
（3）=
14．（1） ① 　②
①2+②2： ，
（2） ① ②
2
2

第7讲 正弦函数，余弦函数的图象和性质
学习要求：1、会根据正弦线，余弦线作出正余弦函数的一个周期[0，2π]上的图象。
2、会根据正弦曲线，余弦曲线观察出正、余弦函数的性质。
3、理解和掌握周期性的定义，会根据定义求解最小正周期。
4、理解简单三角不等式的解法。
【学习指导】
1、关于周期性
①根据三角函数线，我们知道sinx，cosx的值每隔个长度其值相等，从正、余弦曲线上看，每隔2π个单位，图像重复出现。
②周期性是三角函数的特征性质
③函数的最小正周期为（书P55）
2、关于三角函数的单调性
①y=sinx，y=cosx的单调性可根据单位圆、三角函数线加以研究。
如图，有向线段MP的数量即为sinα，OM的数量即为cosα，-1≤MP≤1，当角α的终边自y轴负半轴逆时针方向旋转到y轴正半轴时，MP从-1增加到1，即这个区间是sinα的增区间（[]）(K∈Z)其余的可仿此方法研究。
②单调性不可以“跨区间”研究。
有时我们常说“余弦函数在第一象限为减函数”，殊不知这个说法是错误的。对于每一个确定的整数k，y=cosx在()上都是减函数；但第一象限角的范围是()，意思是无数多个()区间的并集，因此，我们不能在这些区间的并集上研究函数的单调性。
举个反例，取（第一象限角）（第一象限角），α1<α2；
而cosα1<cosα2，难道y=cosx在第一象限为增函数？
③利用函数的单调性，要注意两件事，一是两三角式的函数各要相同；二是两个角要在同一区间单调内，切记。
【典型例题】
例1、求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x值
（1）y=cosx+1 （2）y=sinx+cosx （3）y=asinx+b
分析：已知y=sinx，y=cosx的值域，因而要利用正、余弦函数的值域。
解：（1）∵cosx≤1 ∴y=cosx+1≤2 当x=2kπ时取“=”；
即当x=2kπ时，ymax=2 （以上k∈Z）
（2）（分析：这个函数不是sinx或cosx型函数，而是asinx+bcosx型）
∴y=sinx+cosx=sin()≤，当时取“=”，
即当x=2kπ时，ymax=
（3）显然|sinx|≤1，∴|asinx|≤|a| 即asinx≤|a|
∴asinx+b≤|a|+b；
当a>0时，asinx+b≤a+b当sinx=1即x=2kπ+时取“=”
∴此时，当x=2kπ+时，ymax=a+b
当a<0时，∴当x=2kπ+时，ymax=-a+b （以上K∈Z）
回顾及扩展：
1、本例即利用正、余弦函数的值域求及正、余弦函数有关的三角函数的最值问题。要注意最值的取得。
2、注意自变量的范围，如规定x∈[0, π]，则对应各函数的值域可能有变化，请自行验证。
例2、求下列函数的周期
（1） （2） （3）y=Asin(ωx+)(A≠0，ω>0)
（4）y=|sinx|+|cosx|
分析：即求上述函数的最小正周期，利用最小正周期的定义来求。
解：（1）∵，故只有当自变量x增加到x+4π，且必须增加到x+4π时，函数的值才重复出现。
∴的周期为4π。
（2）∴， ∵
∴的周期为2π
（3）∵sin(ωx++2π)=
∴的周期为
（4）∴
∴函数的周期即函数cos4x的周期
∴函数的周期为。
回顾：1、根据周期性的定义，知（ω≠0，A≠0时）的最小正周期为。
2、对于函数的周期求解，要将这个三角函数化为一个角的三角函数形式，（如题（4））；或者画出这个函数的图象。（如题（4））
例3、解下列不等式
（1） （2）
分析：对于简单的三角不等式，我们可以利用三角函数的图象或是三角函数线来解决。
解：（1）作出y=sinx在一个周期（[0,2π]）上的图象，作直线，它及正弦曲线在[0,2π]内的交点横坐标为，，∴在[0,2π]内，符合的x∈[,]，又∵y=sinx的周期为2π，
∴不等式的解集为
解法二：（利用单位圆、三角函数线）
如图，直线及单位圆交于两点A，B，取线OA、OB分别对应着角，，（K∈Z）
根据正弦线的定义，符合条件的角x终边落在如图阴影部分的区域内，
∴ （k∈Z）
引申：如果是解不等式 呢？
解（2）：令3x-=t，先解不等式，
如图，满足的角t应满足
∴ （k∈Z）
回顾：三角函数具有周期性，这一特征性质使得三角不等式，三角方程的解法及其它不等式的解法有相当多的不同。为看清关系，我们多利用三角函数的图象或是单位圆、三角函数线作为解题的辅助工具。
利用函数图象解题，要注意周期性；利用三角函数线解题，要注意结合单调性，还有是同周期内取值区间的端点值之间的大小关系。
例4、比较下列各组数的大小。
（1）sin27o及sin155o （2）cos4及cos2 （3）sin及cos
分析：（1）应利用正弦、余弦函数的单调性来比较大小。
（2）注意单调区间，只有在同一单调区间内的两个角的同各三角函数值，才可以应用三角函数的单调性。
解： （1）sin155o=sin25o而oo<25o<27o<90o，在oo<x<90o的范围内，y=sinx是增函数（在[]上为增函数）∴sin27o>sin155o
（2）注意，这里是弧度制，4rad及2rad的余弦比大小。
由于<2<π<4<，故4及2不在y=cosx的同一单调区间内，
∴cos4=cos(2π-4)而0<2<2π-4<π，在（0，π）上y=cosx为减函数，
∴cos2>cos(2π-4)即cos4<cos2
（3）虽然及同在区间(0, )内，但是这两个三角函数不同名。
∴，∵0<
回顾：三角函数式比较大小主要是利用三角函数的单调性，要注意两点：（1）同名；（2）同一单调区间。
【同步练习】
1、函数y=1+sin2x图象的一个对称中心是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、△ABC中，若sinA<cosB，则△ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、斜三角形
3、若0≤x≤π，则函数的值域为__________________
4、下列命题中真命题的个数有___________个
（1）函数y=cosx在第一象限为减函数
（2）函数y=sinx在[2kπ，2kπ+]（k∈Z）上为增函数。
（3）函数y=|sinx|及函y=sin|x|数都是周期函数。
（4）函数y=cos(sinx)的最小正周期为π。
5、关于x的方程cos2x+4sinx-a=0有解，则a的取值范围是_____________
6、函数y=sinx(sinx-cosx)的单调减区间为______________
7、函数y=4sin(2x+)图象的对称轴为________________
8、若x∈(0, π)，则f(x)=2sinx+cosx的值域为______________
9、函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为__________________
10、函数f(x)=sin6x+cos6x的最小正周期为_______________
11、比较大小：（用“<”连结）
（1）cos1o，sin1o，sin1，cos1 _________________________
（2）sin(cos1)，cos(sin1)，cos1 ____________________________
12、求下列函数的定义域：
（1）
（2）
13、求函数的单调减区间
14、已知
（1）求函数的定义域、值域并指出函数的奇偶性
（2）求函数的周期（最小正周期）
（3）求函数的单调区间。（不需证明）
15、若函数f(x)=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，且a>0，求a，b的值
【参考答案】
1、选C 对于正弦曲线来说，其对称中心是“平衡点”，即曲线及x轴的交点。
横坐标为kπ，纵坐标为0。（k∈Z）
对于y=1+sin2x 令sin2x=0，（k∈Z）故（）满足要求。
2、选C sinA>0 ∴cosB>0 B为锐角，①若A为钝角，则△ABC必为钝角三角形，
②若A为锐角，则sinA<sin()，A及同为锐角，
∴ ∴ 而c=π-(A+B) ∴c>为钝角
综上，△ABC为钝角三角形。
3、[0，] 0≤x≤π ∴0≤sinx≤1 又∵ ∴0≤≤1
解得：0≤y≤
另解： ，0≤sinx≤1，∴0≤y≤
4、2个 （1）是假命题，第一象限是无数多个区间的并集，cosx在每个区间上都是减函数，但不能说在这些区间的并集上也是减函数。
（2）为真命题，在每个[2kπ，2kπ+]区间上，y=sinx都是增函数。
（3）中，sin|x|不是周期函数
（4）是真命题，∵cos(sinx)=cos(|sinx|)，而|sinx|的周期为π；
5、[-4，4] ∴a=cos2x+4sinx
=1-sin2x+4sinx
=-(sinx-2)2+5 ∵-1≤sinx≤1 ∴-4≤a≤4
6、（k∈Z）
y=sin2x-sinxcosx=
∴y=sinx(sinx-cosx)的单调性减区间即的增区间
∴≤2x+≤ ∴≤x≤（k∈Z）
7、直线（k∈Z）
即求的最值点，
∴（k∈Z）
8、（-1,） ∴f(x)= sin(x+) 其中，，为锐角
∵0<x<π ∴<x+<π+
∴当时，，
当x+=π+即x=π时
（但由于x≠π，∴-1取不到）
9、 ∴ ∴最小正周期为
10、∴f(x)=sin4x-cos4x-sin2xcos2x=1-3sin2xcos2x=1-sin22x =
∴f(x)的最小正周期即cos4x 的最小正周期 ∴ 11、（1）sin1o<cos1<sin1<cos1o
∴ ∴sin1o<sin1，cos1<cos1o
又∵ ∴sin1>cos1 cos1o=sin89o>sin1
sin1o= cos89o<cos1 ∴sin1o<cos1<sin1<cos1o
（2）sin(cos1)<cos1<cos(sin1)
0<sin1<1< ∴cos(sin1)>cos1
又∵0<cos1<1 ∴sin(cos1)<cos1（用正弦线证明）
∴sin(cos1)<cos1<cos(sin1)
12、（1）解：∴
∴定义域为(-4, -π]∪[0, π]
（2）解：∴ 参见示意图
∴定义域为
13、解：即求函数的减区间
∴要求① ②由于在(0,+∞)上为减函数
∴要求的增区间，
根据①②，∴2kπ-<2x-≤2kπ，∴kπ-<x≤kπ+
∴函数的减区间为（kπ-，kπ+]，（以上k∈Z）
14、解：-1≤sinx≤1当x∈R时均成立，∴x∈R，显然f(x)≥0
（1）定义域为R，∵0≤1+cos2x≤2 ∴ ∴≤f(x)≤2
∴值域为[,2]
∴f(x)为偶函数
（2）根据（*）式，函数f(x)的周期即cos2x的周期，而cos2x的周期为π，
∴f(x)的周期为π
（3）∵y=f(x)可看作以下函数的复合（依次）：，，t=cos2x
其中，在其定义域内为增函数，
∴f(x)的单调性及t=cos2x的单调性相同，cos2x在2 kπ≤2x≤2kπ+π
即x∈[kπ，kπ+]为减函数；在2 kπ≤2x≤2kπ即上为增函数，
∴f(x)的减区间为[kπ，kπ+]，增区间为[kπ-，kπ]，（以上k∈Z）
15、解：∴f(x)=1-sin2x-asinx+b=-(sinx+)2++b+1
∵a>0 ∴>0
①若时，当sinx=-1时，fmax=a+b
当sinx=+1时，fmin=b-a
由题意 ∴a=2 不满足 ∴
②若0<≤1时，当时，
当sinx=1时，fmin=a+b
∴ ∴ ∴a2+4a-12=0
∴a=2（满足）∴b=-2
综上满足条件的 a=2；b=2
第8讲 函数的图象
学习要求：1、理解由函数y=sinx的图象经变换得到函数图象的思维过程。
2、理解A、三个参变数的名称及作用
3、掌握“五点法”作图，会用“五点法”作出的草图
【学习指导】
1、 关于“五点法”
对于的图象，在精度要求不太高时，应用五点法作图省时省力。
但有几点要注意：
（1）图象应是光滑的曲线。有的学习者图省事，用折线代替曲线来作图，得到“所
谓”的函数图象（是错误的）。应对正系统曲线用心体会，才能作出正确的图象。（也只有正确的图象，才会美观）
（2）应注意图象上的凹凸性。
当图象经过点后，其凹凸性发生变化，参见示意图。
（3）注意：函数y=sinx的图象及y=x在第一象限内没有交点。事实上y=x是y=sinx的切线，它们切于原点。（注意到曾经证明过，当）
（4）五个点的横坐标是关键。如果解五个一元一次方程，难免会出错（当然不应该出错）。可以先定下起始点x0，（使x0满足），求出周期，定义。这样出错的概率要小。函图时也是这样，不要出找点，而应先定下，点，剩下的用“取中点”去解决。
2、关于图象变换。
本节讲述两个变换；平移。（对应于相位变换，上下平移变换），伸缩（对应于周期、振幅变换）。
（1）平移变换：
我们研究函数的图象及函数图象间的关系。在图象上任取一点
，并设法使A、B两点的纵坐标相等，即应用
由
从而，将y=f(x)图象上的点向左平移3个单位，就得到点，而这点就是A点。 这样，将y=f(x)的图象向左平移3个单位，就得到的图象。
读者仿此可研究图象间的关系。
（2）伸缩变换：
现在我们再来研究图象间的关系。
在图象上任取一点
，设法使A、B两点的纵坐标相等，即，这样有
从而将
，而这点就是A点。这样，将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），就得到函数的图象。
（3）说明：
以上对基于横坐标（变动）的平移及伸缩变换作了分析，其要点是变动横坐标时，纵坐标不变。仿此，读者可自行研究基于纵坐标的平移及伸缩变换。
【典型例题】
例1、用“五点法”作出函数的图象。并说明这个图像可由函数的图象经由怎样的变换得到？
分析：五个“关键点”，即，求出x对应值，可得五个关键点。
我们可以这样来更方便地确定是这五个点：（1）该函数的周期为T；（2）第一个关键点横坐标依次算出
解：列表
X

1 0 -1 0
y
0 3 0 -3 0
描点：
从
（1）相位变换：将
的图象。
（2）周期变换：将函数的所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得函数的图象。
（3）振幅变换：将函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象。
回顾：1、在三步变换中，每一步变换：由的过程中，三对数值中，只有一对是发生变化的。即每次变换，
三个值只变动一个。
2、相位变换即图象的平移（变换），周期变换、振幅变换即图象的伸缩变换。有关理论部分参见《学习指导》
3、根据2，知第（2），（3）两步互换顺序不影响解题。但若第（1）步“相位变换”是图象的平移，若要先伸缩而后平移，平移的量及原先的量不同。
如
，请比较二者的区别。
例2、函数的一段图象如图所示，求该函数的解析式。
分析：即要求出三个值，因此需要列出三个独立的等式（方程）。
解：由图知（1） ①
（2） 而当
（3）当 ③
综上，函数的解析式为
回顾：1、一般说来，此类问题的示意图中只须标注三处，而由这三处“标注”应该能得到三个相互独立的“方程。”。
2、注意到（*）处是对应着五个关键点中的
（0，0）而非。这中间有很大的不同，对于点，正弦曲线是在递增的过程中经过的；而点，正弦曲线是在递减的过程中经过的。如果弄错了，初相就会起变化。
3、注意到解答过程（2），说明初相值间相差
个单位。因此有些问题规定，事实上是出题者在已有结果的前提下写出的条件，对于一般的情形，规定极有可能找不到合适的值。
例3、若函数的图象上一个最高点的坐标为（），由这个最高点到相邻的最低点间，图象及x轴的交点为（4，0）。求此函数的解析式。
分析：及例2基本相仿，由条件（）点对应着正弦曲线中的点，因而（）可告诉我们两个等式。
解：其图象最高点的纵坐标为A，
由题意（）为最高点，而（4，0）为最高点到相邻最低点向图象及x轴的交点，
由题意（）为最高点
综上该函数的解析式为
回顾：也可以用（4，0）点来确定（以上）
例4、求出函数+1图象的对称中心及对称轴方程。
分析：1、结合正余弦曲线，可知曲线及x轴的交点（平衡点“零点”）是图象的对称中心；经过图象的最高点或最低点，且及x轴互相垂直的直线为对称轴。
2、注意在本题中，不能取曲线及x轴的交点作为中心对称点，而应取使=0的点。
解：
而取最大（小）值，则
例5、已知函数的图象关于直线对称，求a的值。
分析：显然，当时，函数应取最值（最大或最小值）
解：
当时，
解得：
回顾:例4、例5研究函数像的对称性，从中体现出及“五点法”作图的联系，五个点中，三个“平衡点”是中心对称点，两个最值点及对称轴有关。
例6、给出下列函数：
（1） （2）
（3） （4）
其中，同时满足以下性质的函数有________________
（A）对于任意实数x，都有
（B）对于任意实数x，有
（C）在上为增函数
分析：本题研究所给函数的性质。
条件：（A）
即，这一条，4个函数都满足。
条件（B）说明f(x)为偶函数，只有（1）、（2）两个函数满足。
条件（C），结合函数图象，只有（1）和（3）满足。
因此，同时满足条件（A）（B）（C）的只有函数（1）。
【同步练习】
1、下列函数，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A、向左平移 B、向左平移
C、向右平移 D、向右平移
3、函数的值域为（ ）
A、[0，1] B、[-cos1,1] C、[-cos1,cos1] D、[cos1,1]
4、函数的一条对称轴方程为，则=____________（）
5、把函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，且将图象上所有的点向左平移个单位，所得图象的解析式为_________________________。
6、将函数的图象向右平移个单位，再改变各点的横坐标，使其变为原来的3倍（纵坐标不变），得到周期为的偶函数，则f(x)的解析式为
_________________________。
7、定义在R上的函数总满足，____________。
8、定义在R上奇函数f(x)满足则当时，f(x)=______________________________。
9、把函数的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象y轴对称，则m的最小值为____________________。
10、用五点法作下列函数在一个周期闭区间上的的简图。
（1） （2）
11、已知函数的图象如图所示，求函数的解析式。
12、函数的最大值为4，最小值为-2，在同一周期内，图象过点（0，1），（）点，且区间（）内只有一个最值点，求函数解析式。
13、求函数的值域、最小周期及音调区间。
【参考答案】
1、 选A
（A）选项是以为周期的偶函数，其单调递增区间。
满足 ，即，符合条件。
（B）选项为周期的偶函数，在[0，]上它单调递减（C）选项为周期的偶函数，在[0，]上为