正多边形和圆计算.doc

圆和正多边形的有关计算
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2015·凉山州期末)☉O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是　(　　)
A.∶2 B.1∶1 C.1∶ D.∶
【解析】选A.如图所示,连接,过点O作⊥于点E,四边形是☉O的外切正方形,☉O切于点C,△是☉O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则,∠30°,∴·30°=,
∴☉O的内接正三角形的边长为2,∶∶2.

2.(2015·广州越秀区期末)如图和☉O相切于点2,∠30°,弦∥,则劣弧的弧长是　(　　)

A. B. C. D.

【解析】选B.连接,

∵为☉O的切线,
∴∠90°,在△中2,∠30°,
∴1,∠60°,
∵∥,∴∠∠60°,
又,∴△为等边三角形,
∴∠60°,则劣弧的长为=.
3.如图,☉O为正五边形的外接圆,☉O的半径为2,则的长为　(　　)

A. B. C. D.
【解析】选D.如图所示,∵☉O为正五边形的外接圆,☉O的半径为2,

∴∠72°,
∴的长为.
【知识拓展】正n边形的有关计算
(1)边长2·.
(2)周长·.
(3)边心距·.
(4)面积··n.
(5)每一个内角的度数为.
(6)每一个外角的度数为.
(7)中心角的度数为.
4.如图,正方形中,分别以为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为　(　　)

A.πa 　　　　　B.2πa　
C.πa 　　　　　D.3a
【解析】选A.∵四边形是正方形,
∴∠∠90°.
则扇形的弧长为π,
同理可求扇形的弧长为aπ,
∴树叶形图案的周长为aπ×2=πa.
【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,∴树叶形图案的周长为×2ππa.
【互动探究】若求阴影部分的面积呢?
提示阴影=2×2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
5.如图所示,正六边形内接于☉O,若☉O的半径为4,则阴影部分的面积等于.

【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形,阴影部分的面积转化为扇形的面积,即为圆面积的.阴影部分的面积为=π.
答案:π
如图,在扇形中,∠90°,半径6,将扇形沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,折痕交于点C,求整个阴影部分的周长和面积.

【解析】连接,∵将扇形沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,
∴.
又∵,∴△是等边三角形,
∴C阴影部分3π+12.
∵△是等边三角形,
∴∠∠30°.
在△中∠,
∴30°×6=2.
∴S阴影扇形2S△2×=9π-12.
6.如图,在△中42,∠30°,把△以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到边的延长线上的点C′处,那么边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是2.

【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知边扫过的图形(图中阴影部分)的面积=扇形′和扇形′的面积差,为×(42-22)=5π(2).
答案:5π
7.(2015·密云期末)如图,边长为1的正方形放置在平面直角坐标系中,顶点A和坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形沿x轴正方向作无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时点的坐标是点经过的路径的总长度是;当点D第2014次落在x轴上时点经过的路径的总长度是.

【解析】如图,正方形每滚动4次为一个周期,

当点D第一次落在x轴上时,正方形滚动2次点的坐标是(3,0);
D点经过的路径的总长度是+
=π.
每一个周期中D点经过的路径的总长度是
+×2=π,
当点D第2014次落在x轴上时点经过的路径的总长度是:
2013×π+π=π.
答案:(3,0)　π　π
三、解答题(共22分)
8.(6分)(2015·官渡期末)如图,已知☉O的半径为8,点A为半径延长线上一点,射线切☉O于点C,的长为.求∠的度数和线段的长.

【解析】设∠°,解得60,
∴∠60°.
∵切☉O于点C,∴∠90°,
∴∠90°-∠30°,∴216,
∴8.
9.(7分)(2015·南昌期末)如图,边长为4的等边△和☉O等高(即高和直径相等),☉O和相切于点C,☉O和相交于点E.
求:(1)的长.(2)阴影部分的面积.

【解析】(1)连接,并过点O作⊥于F,

且△为等边三角形,边长为4,故高为2,即,
又∠60°,☉O和相切,
∴⊥,故有∠30°,
在△中,可得,即3.
(2)连接阴影扇形△×3×=π-.
【知识拓展】和直角三角形有关的计算公式
(1)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半().
(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和和斜边差的一半().
(3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边和斜边上的高的乘积,即.
10.(9分)(2015·龙岩期末)如图,△中,以为直径的☉O,交于点D,交于点F,过点D作⊥,垂足为E.

(1)求证.
(2)求证为☉O的切线.
(3)若2,∠60°,求由和所围成图形的面积S.
【解析】(1)连接.∵为☉O的直径,
∴∠90°,即⊥.
∵,∴∠∠,
∴=,
(2)连接.∵为☉O的直径,
∴.
∵⊥,∴.
∴是△的中位线,∴∥,
∵⊥,∴⊥.
∵是半径,∴为☉O的切线.
(3)连接.∵,∠60°,
∴△,△都是等边三角形.
∴∠∠60°.∴∥.
∵∥,∴四边形是平行四边形.
∵,∴四边形是菱形.
∴∠∠60°,
.∵⊥,
∴24,
∴2.
∴四边形扇形4×2-
=8-π.
【备选习题】
1.(2014·内蒙古中考)如图,菱形的对角线分别为2,2,以点B为圆心的弧和相切,则阴影部分面积为　(　　)

A.2-π B.4-π
C.2-π D.4-π
【解析】选A.如图,连接,相交于点O,设以B为圆心的弧和相切于E点,连接,则⊥,

∵菱形的对角线分别为2,2,
∴S菱形··×2×2=2,
在△中,∵∠,
∴∠30°,∠120°,
∴∠2∠60°,
∴△是等边三角形,∴,
∴S扇形=·π·()2=π,
∴阴影部分的面积是S菱形扇形=2-π.
2.(2014·河北中考)如图,将长为8的铁丝首尾相接围成半径为2的扇形,则S扇形2.

【解析】由题意可知扇形的弧长为4,
所以S扇形×4×2=42.
答案:4
3.(2014·荆门中考)如图,在▱中,以点A为圆心的长为半径的圆恰好和相切于点C,交于点E,延长和☉A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为.
【解析】连接,设☉A的半径为R,∵切☉A于点C,∴⊥,即∠90°,在▱中,∵∥,∴∠∠90°,∵,∴△是等腰直角三角形,∠45°,∵∥,∴∠∠45°,又∵的长为,∴=,解得2,∵∠∠45°,∴△也是等腰直角三角形,即2,∠45°,∴S阴影△扇形×2×22-.
答案:2-
4.(2014·抚顺中考)如图,在矩形中是边上的点,且,以点A为圆心、长为半径作☉A交于点M,过点B作☉A的切线,切点为F.

(1)请判断直线和☉A的位置关系,并说明理由.
(2)如果105,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)过点A作⊥,垂足为G,连接.

∵四边形是矩形,
∴∥,∠∠.
又,∴∠∠,即∠∠.
∴∠∠.
又∵∠∠90°,
∴△≌△().∴.
∴直线和☉A相切.
(2)连接,

∵和都是☉A的切线,由切线长定理得,
△≌△,∠∠,于是S阴影△扇形△扇形.
由(1)知,∴5.
在△中510,
∴∠30°,∠60°.
∴·∠10×=5.
∴S阴影△扇形×5×5.
5.(2014·昆明中考)如图,在△中,∠90°是边上的一点,连接,使∠2∠1是上的一点,以为直径的圆O经过点D.

(1)求证是☉O的切线.
(2)若∠60°,☉O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).
【解析】(1)连接,则∠1=∠,

∴∠2∠1=∠A,
在△中,∠∠90°,即∠∠90°
∴∠90°,即⊥.
∴为☉O的切线.
(2)当∠60°时,即在△中,∠30°2.
∴∠60°2.
∴S△×2扇形,
∴S阴影△扇形=2-.