等腰直角三角形的全等问题.doc

等腰直角三角形中的全等问题
在证明三角形全等时，我们常常遇到图形中有等腰直角三角形，由于等腰直角三角形有一组直角边相等，恰恰可以为我们证明三角形全等提供必要的条件，现举几例说明。

2、已知：在等腰直角△中， ∠90 °，,过点A作直线,过点B做 ⊥于D,过点C做 ⊥于E,求证：
分析：题中有几个直角，往往可以得到许多角互余，所以有一些角相等，题中有，我们可以得到和所在的三角形（△和△）全等，则,结论及可证明。

证明（略）
结论:
一组直角边相等，
思路1:可以观察两边是否在一个三角形中，若在，即这个三角形是等腰三角形
思路2：若不在一个三角形中，往往可得到其所在的两个三角形有一组对应边相等，为证三角形全等奠定条件。
练习：
3、在等腰直角△中， ∠90 °，平分∠,过点C做的垂线,垂足为E,
求证：1/2
A
C
B
D
E
D
A
D
B
A
D
C
B
A
D
E

提示：可通过角平分线构建全等形，即延长交的延长线于F,则△和△全等，所以2,只需证明即可，即证明△和△全等。
4、在等腰直角△中， ∠90 °，,点D为的中点，⊥于G,过点C做∥,交的延长线于点E,求证：
提示：要证明结论成立，需证明和所在的两个三角形△和△全等即可。关键差一组边或一组角相等，有题中条件，很容易可证明△和△全等，可为证明△和△全等提供帮助。
C
C
A
B
E
D
F
G
G
G
G
G
G
G
F
G
B
F
G
A
B
F
G
D
A
B
F
G
D
A
B
F
E
C
D
A
B
F

5、如图，△和△都是等腰直角三角形，∠∠90°,求证：
（1） (2)⊥
(3) (4)S△△
A
C
B
D
F
E

6、已知：在等腰直角△中， ∠90 °，为上一点，⊥于D,连接,若2，3，求的长。
A
C
D
B

提示：由于等腰直角三角形的特征，把绕点A逆时针旋转90°，即可和重合，所以，可把同样处理，使之旋转到点E处，则△和△全等，即可得到结论。
在等腰直角△中，∠90°，D是中点，∠∠，连接交于E，求证：⊥．

7．（2011秋•硚口区期中）如图，在等腰直角△中，∠90°，D为的中点，过D点作⊥，交于E，交于F．
求证：(1) (2) ∠45°．

8（2014秋•武汉校级月考）如图，是等腰直角△的腰上的中线，⊥交、于E、F，
求证：（1）∠∠；
（2）∠∠．

9．（2011秋•嘉陵区期末）如图，在△中，∠90°，等腰直角三角板如图放置，点D恰是的中点，2．
（1）求证：△≌△．
（2）判断△的形状．（有些角用数字表示更醒目）

10．（2008秋•自贡期末）在等腰直角△中，∠90°，，D是上任一点，⊥于E，⊥交延长线于F，⊥于H，交于G．
求证：（1）；（2）．

11．如图，锐角△分别以A、B为直角顶点，向△外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，再分别过点E、F作边所在直线的垂线，垂足为M，N．
求证：．

12．如图1，已知A（0，2）、B（-1，0）两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰△．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：．

13如图，在等腰直角△中，∠90°，平分∠交于D，⊥于E．
（1）求证：△≌△；
（2）若6，求△的周长．

如图，△，△都是等腰直角三角形，M是中点，求证：⊥．

如图，△为等腰直角三角形，∠90°，B为上一点，△经过旋转到达△的位置，
，（1）∠°；
（2）求四边形的面积；
（3）连结，若1，求线段的长．

已知△和△都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接、，F为线段的中点，连接
（1）如图1，当点D在边上时，和的数量关系是，位置关系是（不用证明）；
（2）如图2，把△绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
（3）如图3，把△绕点C顺时针旋转45°，、交于点M，若∠30°，求 的值．

两块等腰直角三角板△和△如图摆放，其中∠∠90°，F是的中点，H是的中点，G是的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在、的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为
和位置关系为；
（2）如图2，若将三角板△绕着点C顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

如图（1），△为等腰直角三角形，∠90°，E是边上的一个动点（点E和A，C不重合），以为边在△外作等腰直角三角形△，∠90°．连接，，延长线交于点P．猜想线段，之间的数量关系和位置关系．
（1）独立思考：请直接写出线段，之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△旋转至如图（2）的位置，交于点M，交于点P．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．