相似三角形经典模型总结与例题分类.doc

相似三角形经典模型总结
经典模型

【精选例题】
“平行型”
【例1】 如图，，若，
则

【例2】 如图，，若，，,则，

【例3】 已知，为平行四边形对角线，上一点，过点的直线和，，的延长线，的延长线分别相交于点，，，
求证：

【例4】 已知：在中，为中点，为上一点，且,、相交于点，
求的值

【例5】 已知：在中，，延长到,使,连接交于点
求证：① ②

【例6】 已知：，为三角形中、边上的点，连接并延长交的延长线于点，
求证：为等腰三角形

【例7】 如图，已知，若，，，求证：.

【例8】 如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论.

【例9】 如图，四边形中，，是上一点，于点，于点
求证：

【例10】 如图，在中，是边的中点，过作直线交于,交的延长线于
求证：

【例11】 如图，在线段上，取一点，以，为底在同侧作两个顶角相等的等腰三角形和，交于点，交于点,
求证：

【例12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形中，求作一个正方形，使，落在边上，，分别落在,边上，作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在两边上的正方形如图，
第二步：连接并延长交于点
第三步：过点作,垂足为点
第四步：过点作交于点
第五步：过点作，垂足为点
四边形即为所求作的正方形
问题：⑴证明上述所作的四边形为正方形
⑵在中，如果，,,求上述正方形的边长

“平行旋转型”
图形梳理：

特殊情况：、、共线

，，共线

【例13】 已知梯形，，对角线、互相垂直，则
①证明：

【例14】 当，以点为旋转中心，逆时针旋转度（），问上面的结论是否成立，请说明理由

【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形和均为正方形，求.

“斜交型”
【例16】 如图，中，在上，且交于，在上，且，求证：

【例17】 如图，等边三角形中，，分别在，上，且，，相交于，求证:

【例18】 如图，四边形的对角线相交于点，,求证：

【例19】 如图，设，则吗？

【例20】 在锐角三角形中，，分别为，边上的高，和的面积分别等于和，，求边上的高

【例21】 如图，在等边的边上取点，使，作，为垂足，连结。
求证：

【例22】 已知：在正三角形中，点、分别是、延长线上的点，且,直线和相交于点
求证：①,②

“斜交特殊型”（隐含三垂直）

【例23】 已知，如图，中，于点，于点，于点，求证：

【例24】 已知：如图，是直角三角形斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连结，⊥，垂足为G，交于D，求证：。

【例25】 如图，、、、分别是矩形四条边上的点，,若，，则等于（ ）
A. B. C. D.无法确定

【例26】 如图，已知：正方形中，点、分别在、上，且，于点
求证：

【例27】 如图，中，，,点在上运动（不经过,），过点作,交于
①图中有无和一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明
②设，，求和的函数关系，并写出其定义域；
③若恰为等腰三角形，求的长