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椭圆

一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
（时为线段，无轨迹）。
2．标准方程：
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）
②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）
注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1
二．椭圆的简单几何性质：
1.范围
（1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
（2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点
（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）
（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率
（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），
是圆；
e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
6.几何性质
（1） 最大角
（2）最大距离，最小距离

定义
1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（＞|F1F2|）的点的轨迹
2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（∈（0，1））的点的轨迹

3.参数方程
方程
1. +=1（a＞b＞0），c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
2.+=1（a＞b＞0），c=，焦点是F1（0，－c），F2（0，c）
x=acosθ，
θ为参数

y=bsinθ

性质
E：+=1（a＞b＞0）
1.范围：|x|≤a，|y|≤b
2.对称性：关于x，y轴均对称，关于原点中心对称
3.顶点：长轴端点A1（－a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，－b），B2（0，b）
4.离心率：e=∈（0，1）
5.准线：l1：x=－，l2：x=
6.焦半径：P（x，y）∈E
r1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=a－ex