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专题一 求圆的轨迹方程

教学目标：
1、 掌握直线和圆的标准方程和一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；
2、 掌握直线和圆的位置关系，可以应用直线和圆的位置关系求圆的方程
3、 理解圆的标准方程和一般方程之间的关系，会进行互化。
教学重难点：
1、 掌握圆的标准方程和一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；
2、 会求曲线的轨迹方程（圆）
教学过程：
第一部分 知识点回顾
一、圆的方程：
1．圆的标准方程：。
2．圆的一般方程：
特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆
思考：二元二次方程表示圆的充要条件是什么？
答案： （且且））；
3．圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：
；。
4．为直径端点的圆方程如
（1）圆C和圆关于直线对称，则圆C的方程为
（答：）；
（2）圆心在直线上，且和两坐标轴均相切的圆的标准方程是
（答：或）；
（3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为，P点对应的值为，过P点的圆的切线方程是
（答：；；）；
（4）如果直线将圆：x22-240平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_
（答：[0，2]）；
（5）方程x2２－0表示一个圆，则实数k的取值范围为（答：）；
（6）若（为参数，，，若，则b的取值范围是（答：）
二、点和圆的位置关系：已知点及圆，
（1）点M在圆C外；
（2）点M在圆C内；
（3）点M在圆C上。如
点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是（答：）
三、直线和圆的位置关系：
直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线和圆方程联立所得方程组的解的情况）：
相交；相离；相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离和半径的大小）：
设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线和圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如
（1）圆和直线，的位置关系为
（答：相离）；
（2）若直线和圆切于点，则的值
（答：2）；
（3）直线被曲线所截得的弦长等于
（答：）；
（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(2)2+(3)2=1上的最短路程是
（答：4）；
（5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则
　　A．，且和圆相交 　 B．，且和圆相交
　　C．，且和圆相离 D．，且和圆相离
（答：C）；
（6）已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L和圆C总有两个不同的交点；②设L和圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.
（答：②或　　③最长：，最短：）
第二部分 直线和圆的典型例题
一、求圆的轨迹方程
1、用定义法求圆的轨迹方程
例1 设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得：
该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，
消去m，得，由得3
所求的轨迹方程是，
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
变式1 方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
解：原方程可化为
当a时，原方程表示圆。
又
当，所以半径最小的圆方程为
2、用待定系数法求圆的轨迹方程
例2 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点和圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点和圆的位置关系，只须看点和圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为．
∵圆心在上，故． ∴圆的方程为．
又∵该圆过、两点． ∴
解之得：，．
所以所求圆的方程为．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．
又知圆心在直线上，故圆心坐标为
∴半径．
故所求圆的方程为．
又点到圆心的距离为
． ∴点在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心和定点之间的距离和半径的大小关系来判定点和圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线和圆的位置关系呢？
例3 求半径为4，和圆相切，且和直线相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆．
圆和直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．
又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．
若两圆相切，则或．
(1)当时，，或(无解)，故可得．
∴所求圆方程为，或．
(2)当时，，或(无解)，故．
∴所求圆的方程为，或．
说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆和直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如．
又圆，即，其圆心为，半径为3．
若两圆相切，则．故，解之得．
所以欲求圆的方程为，或．
上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：
（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；
（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、；
（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.
3、用几何方法求圆的轨迹方程
例4 设圆满足:①截轴所得弦长为2;②被轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。
分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.
解法一:
设圆心为,半径为,则点到轴，轴的距离分别为，。
由题设圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴的弦长为，故
又圆截轴所得的弦长为,所以有.从而得
又点到直线的距离为
所以当且仅当时上式等号成立,此时，从而取得最小值.
解此方程组得
由于知于是,所求圆的方程是:
或
解法二:同解法一得

将代入上式，整理得 ②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
，得
所以有最小值1，从而有最小值
将其代入②式得2b2±42=0.解得±1.
将±1代入r2=2b2,得r2=2.由r22+1得±1.
综上 ±1±12=2.
由│2b│=1知同号.于是,所求圆的方程是
或
点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.
4、直线和圆的位置关系
例5 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆和直线相切于坐标原点，求圆的方程。
解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为()2+()2=8已知该圆和直线相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2 即=4 ①
又圆和直线切于原点，将点(0，0)代入得 m22=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故 圆的方程为(2)2+(2)2=8
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
第三部分 课堂练习
1.关于的方程220表示一个圆的充要条件是0且≠022-4＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线2k和21的交点P在圆x22=4的内部，则k的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线31和曲线x22=4相交于A、B两点，则的中点坐标是
6.方程表示的曲线是_两个半圆
7.圆关于直线的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是
9.已知点和圆，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为8
10．求经过点A(5,2)(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x00),则有,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圆和y轴相切，圆心在直线x－30上，且直线截圆所得弦长为2，求此圆的方程
解：因圆和y轴相切，且圆心在直线x－30上，
故设圆方程为
又因为直线截圆得弦长为2，
则有9b2， 解得±1
故所求圆方程为 或
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.
12.在直角坐标系中，以为圆心的圆和直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆和轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ． 得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得 ，
即 ．

由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．

第四部分 作业练习
1．点P (a, b ), Q (1 , a－1) 关于直线L对称，则L的方程是x－y－1=0
2．过点P（2，1）且被圆x22－240，截得的弦长最大的直线的方程是3x－y－5=0
3．如果点（4，a）到直线的距离不大于3，那么a的取值范围是[0，10]
4．直线当k变动时，所有直线都过定点（3，1）
5．直线和直线平行的充要条件是
6.方程x22-2(3)2(1-4t2)16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围是
7.点A是圆C: 上任意一点关于直线的对称点也在圆C上,则实数a的值为-10
8.过圆x22=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△的外接圆方程是(2)2+(1)2=5
9．M(为圆内异于圆心的一点，则直线和该圆的位置关系为相离（填相切、相交、相离）
10.设直线和圆相交于、两点，且弦的长为，则0
11.已知圆C过点A（41）,且和圆相切于点B（1,2）,则圆C
的方程为
12. 25
13.过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=
14.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是
15.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点D的坐标,使四边形为等腰梯形.
解:设，若，则，易得D（）
若，则由，可解得
故点D的坐标为
16.已知的顶点A为（3，－1），边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程．
解:设，由中点在上，
可得：，y1 = 5，所以．
设A点关于的对称点为，
则有.故
17.已知圆：和圆，直线和圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
(Ⅰ)求直线的方程；
(Ⅱ)求圆的方程．
解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，
∴直线的方程为，即．
（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．
当直线和轴不垂直时，设直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离，即：，解得，
∴直线的方程为．
（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．
∴圆的方程为．
∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：
．
整理得：，解得或．
∵，∴．
∴圆：．
18.已知过A（0，1）和且和x轴相切的圆只有一个，求的值及圆的方程．
解:设所求圆的方程为．因为点A、B在此圆上，
所以，① ，
②,
又知该圆和x轴（直线）相切，所以由，③
由①、②、③消去E、F可得：，④
由题意方程④有唯一解，当时，；当时由可解得，
这时．
综上可知，所求的值为0或1，当时圆的方程为；当时，圆的方程为．
19.已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结,过原点O作直线的垂线交椭圆C的左准线于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
x
y
O
P
F
Q
A
B
第19题
(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线和圆相切；
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不和A、B重合),直线和圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
解：(Ⅰ)因为,所以1
则1,即椭圆的标准方程为
(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线的方程为－2x(7分)
又椭圆的左准线方程为－2,所以点Q(－2,4)
所以,又,所以,即,
故直线和圆相切
(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线和圆保持相切
证明:设(),则,所以,,
所以直线的方程为
所以点Q(－2,)
所以,又,
所以,即,故直线始终和圆相切