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数、平面图形、立体图形的相关知识点
数
一、 概念
〔一〕整数
1、自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
2、整数的意义
自然数与0都是整数。
3、计数单位
一〔个〕、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、 数的整除
〔1〕 整数a除以整数b(b ≠ 0〕，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b〔b ≠ 0〕整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数〔或a的因数〕。倍数与约数是相互依存的。
〔例如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。〕
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
〔2〕个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的与能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的与能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
〔3〕自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数与偶数。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。
〔4〕一个数，如果只有1与它本身两个约数，这样的数叫做质数〔或素数〕，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1与它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数与1。
(5)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3与5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12与1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有以下几种情况：
a.1与任何自然数互质。
b.相邻的两个自然数互质。
c.两个不同的质数互质。
d.当合数不是质数的倍数时，这个合数与这个质数互质。
e.两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
〔6〕如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。〔如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。〕
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。〔12与24〕
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。〔5与7〕
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
〔7〕求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数〔或其中的局部数〕的公约数去除，一直除到互质〔或两两互质〕为止，然后把所有的除数与商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
（二） 分数
1 分数的意义
把单位“1〞平均分成假设干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1〞平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1〞平均分成假设干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2 分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子与分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数及真分数合成的数，通常叫做带分数。
3 约分与通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比拟小的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成与原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（三） 小数
1 小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数局部、小数局部与小数点局部组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数局部，小数点左边的数叫做整数局部，小数点右边的数叫做小数局部。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数局部的最高分数单位“十分之一〞与整数局部的最低单位“一〞之间的进率也是10。
2小数的分类
a纯小数：整数局部是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。
b带小数：整数局部不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。
c有限小数：小数局部的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
d无限小数：小数局部的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
e无限不循环小数：一个数的小数局部，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
f…… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数局部，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如：3.99 ……的循环节是“ 9 〞 ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 〞 。
g纯循环小数：循环节从小数局部第一位开场的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 ……
h混循环小数：循环节不是从小数局部第一位开场的，叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环局部只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。
（四） 百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
二、 运算意义
〔一〕整数四那么运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做与。加数是局部数，与是总数。
加数+加数=与 一个加数=与－另一个加数
2整数减法：
两个加数的与及其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，的与叫做被减数，的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数与差分别是局部数。
加法与减法互为逆运算。
3整数乘法：
求几个一样加数的与的简便运算叫做乘法。
在乘法里，一样的加数与一样加数的个数都叫做因数。一样加数的与叫做积。
在乘法里，0与任何数相乘都得0. 1与任何数相乘都的任何数。
一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4 整数除法：
两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，的积叫做被除数，的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法与除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为0与任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
〔二〕小数四那么运算
1. 小数加法：
及整数加法的意义一样。是把两个数合并成一个数的运算。
2. 小数减法：
及整数减法的意义一样。两个加数的与及其中的一个加数，求另一个加数的运算.
3. 小数乘法：
及整数乘法的意义一样，就是求几个一样加数与的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4. 小数除法：
及整数除法的意义一样，就是两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算。
〔三〕分数四那么运算
1. 分数加法：
及整数加法的意义一样。 是把两个数合并成一个数的运算。
2. 分数减法：
及整数减法的意义一样。两个加数的与及其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3. 分数乘法：
及整数乘法的意义一样，就是求几个一样加数与的简便运算。
4. 分数除法：
及整数除法的意义一样。就是两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算。
〔四〕运算定律
1. 加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的与不变，即a+b=b+a 。
2. 加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加它们的与不变，即〔a+b)+c=a+(b+c) 。
3. 乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4. 乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5. 乘法分配律：
两个数的与及一个数相乘，可以把两个加数分别及这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6. 减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的与，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。
〔五〕运算法那么
1. 整数加法计算法那么：
一样数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2. 整数减法计算法那么：
一样数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，与本位上的数合并在一起，再减。
3. 整数乘法计算法那么：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4. 整数除法计算法那么：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0〞占位。每次除得的余数要小于除数。
5. 小数乘法法那么：
先按照整数乘法的计算法那么算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0〞补足。
6. 除数是整数的小数除法计算法那么：
先按照整数除法的法那么去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0〞，再继续除。
7. 除数是小数的除法计算法那么：
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位〔位数不够的补“0〞〕，然后按照除数是整数的除法法那么进展计算。
8. 同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9. 异分母分数加减法计算方法:
先通分，然后按照同分母分数加减法的法那么进展计算。
10. 带分数加减法的计算方法:
整数局部与分数局部分别相加减，再把所得的数合并起来。
11. 分数乘法的计算法那么:
分数乘整数，用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12. 分数除法的计算法那么:
甲数除以乙数〔0除外〕，等于甲数乘乙数的倒数。
〔六〕 运算顺序
1. 小数、分数四那么运算的运算顺序与整数四那么运算顺序一样(先乘除后加减)。
2. 没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。
3. 有括号的混合运算:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
4. 第一级运算：加法与减法叫做第一级运算。
5. 第二级运算：乘法与除法叫做第二级运算。
平面图形及运算
一、 长方形
通常把长方形的长边的长叫做长，短边的长叫做宽。
长方形对边相等，四个角都是直角。
有关长方形的公式：长方形的长用a表示，宽用b表示，面积用s表示，周长用c表示，那么有
C=2〔a+b〕 s=ab
二、 正方形
正方形每条边的长叫边长。
正方形每条边都相等，四个角都是直角。
有关正方形的公式：正方形的边长用a表示，周长用c表示，面积用s表示，那么有 c=4a
三、 三角形
三角形两条边长度的与大于第三边。
从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
三角形具有稳定性。
有三种类型的三角形：1、锐角三角形
2、直角三角形
3、钝角三角形
4、等腰三角形〔两腰相等，两底角相等〕
5、等边三角形〔三边相等，各角为〕
三角形的内角与为
三角形面积公式：三角形的底为a，高为h，面积为s
四、 平行四边形
从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
面积公式：平行四边形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示
ah
五、 梯形
互相平行的一组对边分别是梯形的上底与下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从上底的一点到下底的垂直线段是梯形的高。两腰相等的梯形是等腰梯形。
面积公式：上底用a表示，下底用b表示，高用h表示，面积用s表示
六、 圆
针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心与圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母的d表示。
任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母表示。是一个无限不循环小数。
如果用C表示圆的周长，那么 或
用S表示圆的面积，那么
立体图形及运算
一、长方体
两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。六个面的总面积叫做它的外表积。物体所占空间的大小叫做物体的体积。
面积公式：〔V：体积 S:面积 长：a 宽：b 高：h〕
S=(长×宽+长×高+宽×高〕×2 S=2(ab+ac+bh)
V=abh
二、 正方体
面积公式：〔V：体积 S:面积 边长：a〕
三、 圆柱
圆柱的上下两个面叫做圆柱的底面，围成圆柱的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
面积公式：(v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长〕
(1)侧面积=底面周长×高=ch(或) (2)外表积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高 V=Sh 〔4〕体积＝侧面积÷2×半径
四、圆锥
圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
面积公式：〔v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径〕
体积=底面积×高÷3
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