线性规划之生产优化.doc

线性规划之生产优化
彭思梦、杨三毛、周霞
（吉首大学数学和计算机科学学院　湖南 吉首 416000）
摘要：线性规划模型广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，并为作出最优决策，提供科学的依据。
本文就是对企业管理资源配置即求最大利润的线性规划问题。首先，在合理的假设前提下，确定由决策变量和所达到目的之间的约束条件的函数关系，因为题目中没有给出产品的成本价，所以由目标函数建立模型：
利润=售价-产品的库存费用
通过初等模型利用lingo软件求解，求得最初结果937115.0。通过最初模型可得到如表4生产量、库存量、销售量的关系，比较销售量和市场最大需求量，再次优化模型得到第一问的优化结果937615.0元。
其次，通过模型求得到所有设备每月的实际工作时间，通过观察设备的每月利用率来重新调整设备维修时间，得到4个较优的设备维修计划，选出利润最大的设备维修计划，再以该设备维修计划为原型建立高级优化模型，同理类推，根据此法用lingo软件求解并重复比较，求得该厂六月份所获总利润的最优解1088550.0元，并且重新为该厂确定一个最优的设备维修计划为：
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台磨床、一台镗床、一台立式钻床和一台刨床
二 月
一台磨床
五月
一台立式钻床
三 月
两台水平钻床
六月
一台水平钻床

关键词：机械产品生产 、 生产量、库存量、销售量、 lingo求解 、 线性规划模型 、 最优的设备维修计划

linear programming theory of producting optimization

PENGSIMENG、YANGSANMAO、ZHUOXIA

(College of mathematics and computer science,Jishou University,Hunan416000)
Abstract: The extensive applications in the military field of linear programming models economic analysis;operating engineering mamanagement technology and so on.the problem is about operating management the distribution of resources and obtain maximum profits. First of all,in reasonable assumption ascertain with what we want to be and analysis function between restriction and decisionvariable.be
-cuase not given cost price，so plan an objection function：profit equivalent to selling price minus cost of production By rudimentary mold and use lingo software get primary maximum profits 937615.0(yuan).by original molded gian a table four about relation among production output;quantity of sale;storage.
comparative quantity of sale and demand of max marketing.Optimizatize molde again，and first anwar is 937615.0（yuan）.
Then，all equipment actually working time per mouth through molde，see equipment utilization ratio and adjust keep equipment maintenance time，obtain Four rather optimum equipment maintenance table，option of max equipment maintenance plan。In this plan Optimizatize molde again get a high-level optimum molde.in like manner reason by analogy ，like this use lingo solving problem and gain max profit 1088550.0（yuan）.And renew a optimum equipment maintenance :
Tabel
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台磨床、一台镗床、一台立式钻床和一台刨床
二 月
一台磨床
五月
一台立式钻床
三 月
两台水平钻床
六月
一台水平钻床
Key Words: machine manufacture of products; production output;quantity of sale storage; lingo solving ;linear programming models;optimum equipment maintenance

问题重述
已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下：

产品
I
II
III
IV
V
VI
VII
大约利润/元
100
60
80
40
110
90
30

该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表：

产
品
单位所需
台时
设备
I
II
III
IV
V
VI
VII
磨床
0.5
0.7
—
—
0.3
0.2
0.5
立钻
0.1
0.2
—
0.3
—
0.6
—
水平钻
0.2
—
0.8
—
—
—
0.6
镗床
0.05
0.03
—
0.07
0.1
—
0.08
刨床
—
—
0.01
—
0.05
—
0.05
从1月到6月，维修计划如下：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。
每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。
若该工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，要求
(1)该厂如何安排生产，使总利润最大；
(2)若对设备维修只规定每台设备在1—6月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排。重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。
又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示：

I
II
III
IV
V
VI
VII
1月
500
1000
300
300
800
200
100
2月
600
500
200
0
400
300
150
3月
300
600
0
0
500
400
100
4月
200
300
400
500
200
0
100
5月
0
100
500
100
1000
300
0
6月
500
500
100
300
1100
500
60
1. 模型的假设
(1)成本不会随着检修方案的改变而改变；
(2) 产品的生产和库存还有销售必须是整数；
(3)在优化检修设备方案时，产品的价格是不变的。
2. 符号说明
: 表示产品，；
: 表示月份，；
: 表示机器设备，；
: 表示第i种产品在第j个月的产量；
: 表示第i种产品在第j个月的库存量；
: 表示第i种产品在第j月的销售量；
: 生产第i种产品需要的m种设备时间；
: 第m种设备在第j月的可供使用时间；
：第i种产品在第j月的销售上限；
:第m种设备第j月的使用时间
: 第i种产品每件的利润；
3. 模型建立
在以上合理的假设前提下，确定由决策变量和所在达到目的之间的函数关系，因为题目中没有给出产品的成本价，所以由目标函数建立模型：
利润=售价-产品的库存费用
建立目标函数：
(4.1)
由于工厂每天开两班，每班8小时，假定每月工作24天，则一个月的总工作时间为
24×8×2=384(小时)
很容易求得每一种设备在每月允许的最大的工作时间，求解结果如下表所示：
表1：
设备
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
磨床
1152
1536
1536
1536
1152
1536
立钻
768
768
768
384
384
768
水平钻
1152
384
1152
1152
1152
768
镗床
384
384
0
384
384
384
刨床
384
384
384
384
384
0
结合检修计划表，由此可以算出每种机器设备每月的使用时间，建立一个机器生产设备使用的约束条件：
（4.2）
每种产品每个月的库存量小于等于100,并要求在第六个月底，每种产品都有50件库存，可以建立两个库存约束条件:
（4.3）
（4.4）
产品在销售时，每月的产品销售量为当月的产量加上上月的库存量要小于销售上限。由于第一月无上月的库存量，故直接是产品生产产量小于销售上限。建立销售的约束条件：
（4.5）
（4.6）
和均是整数矩阵。
4. 模型的求解和数据分析
5.1. 针对如何安排生产的问题来对模型进行优化，使总利润最大
第i种产品在第j月的销售量为：

第m种设备第j月的使用时间为：

用这个初步优化模型，可以对该厂的六个月的生产进行规划。利用lingo软件，就可以求得相应的最大利润为937115.0，并由初等模型得出了6个月各产品的生产、库存及销售量，把求解结果列成如下表格2：
表2：
产品
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
Ⅰ
生产量
500
700
0
200
0
550
库存量
0
100
0
0
0
50
销售量
500
600
100
200
0
500
Ⅱ
生产量
888
500
100
300
100
500
库存量
0
100
0
0
0
50
销售量
888
500
100
300
100
500
Ⅲ
生产量
383
117
0
400
600
0
库存量
83
0
0
0
100
50
销售量
300
200
0
400
500
50
Ⅳ
生产量
300
0
0
500
100
350
库存量
0
0
0
0
0
50
销售量
300
0
0
500
100
300
Ⅴ
生产量
800
500
0
200
1100
0
库存量
0
100
0
0
100
50
销售量
800
400
100
200
1000
50
Ⅵ
生产量
200
300
400
0
300
550
库存量
0
0
0
0
0
50
销售量
200
300
400
0
300
500
Ⅶ
生产量
0
250
0
100
100
0
库存量
0
100
0
0
100
50
销售量
0
150
100
100
0
50

在此计划下该工厂这6个月的总利润为937115.0元。
为了简化初步优化模型，首先不考虑产品的存储问题，仅就市场需求以及设备允许的最大工作时间的限制，分别对1月，2月，3月，4月，5月，6月该厂所获得的最大利润进行分析，以便对该厂的生产能力初步估计。同时也对该厂和市场的供求关系初步定位，以便在得出一个初步的数据之后，再宏观调整生产计划，使在六个月内该厂所得的总利润最大。为了方便对表2进行分析，我们对表2做了标注，做成表3如下：
表3：
产品
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
Ⅰ
生产量
500
700
0
200
0
550
库存量
0
100
0
0
0
50
销售量
500
600
100
200
0
500
Ⅱ
生产量
888
500
100
300
100
500
库存量
0
100
0
0
0
50
销售量
888
500
100
300
100
500
Ⅲ
生产量
383
117
0
400
600
0
库存量
83
0
0
0
100
50
销售量
300
200
0
400
500
50
Ⅳ
生产量
300
0
0
500
100
350
库存量
0
0
0
0
0
50
销售量
300
0
0
500
100
300
Ⅴ
生产量
800
500
0
200
1100
0
库存量
0
100
0
0
100
50
销售量
800
400
100
200
1000
50
Ⅵ
生产量
200
300
400
0
300
550
库存量
0
0
0
0
0
50
销售量
200
300
400
0
300
500
Ⅶ
生产量
0
250
0
100
100
0
库存量
0
100
0
0
100
50
销售量
0
150
100
100
0
50

从表3中我们可以得出以下结论：
在标有 的格子里， 该厂依据设备限制做出的决策能够较理想的满足市场的需要，并且不会造成产品的积压，也就不需要支付储存产品的费用了；
标有 的格子，表示当时的市场对该产品需求量为零，显然，如果此时生产该产品，是不明智的。由表3可知，只有第Ⅶ种产品在5月时需求量为零，却仍生产了该种产品，所以我们调整第Ⅶ种产品在5月的生产量为零来进行优化；
标有 的格子，表示当时由于设备维修，根据假设“被维修的设备在当月内不能安排生产”，所以当时该厂生产的相应的产品产量为零。 虽然当时该产的相应产品产量为零，考虑到市场对相应产品还是有需求的，我们为了获得更大的利润，可以考虑在标有 的格子的上个月里，增加其产量，保存一个月后再出售，这样就可以获得最大的利润了。由表3可知，只有第Ⅶ种产品在1月时需求量不为为零，但相应的产品产量为零，所以不需要再做调整。
通过以上分析，我们只需将调整第Ⅶ种产品在5月的生产量为零即可，因此我们得到第一问的优化结果：
(元)
5.2. 对设备维修时间进行安排，确立一个最优的设备维修计划
根据以上模型求解得出的最优生产规划数据，我们很容易就可以求出该厂每一种设备每个月份的实际工作时间，列成表4：
表4:
设备
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
磨床
1151.6
1105
80
420
510
770
立钻
437.6
370
240
230
230
600
水平钻
406.4
383.6
0
420
540
110
镗床
152.6
123
0
82
128
68.5
刨床
43.8
38.7
0
19
66
0
比较表1和表4，可以求出该厂每种设备在每个月的利用率，列成表5：
表5：
设备
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
磨床
99.97%
71.94%
5.21%
27.34%
44.27%
50.13%
立钻
56.98%
48.18%
31.25%
59.90%
59.90%
78.16%
水平钻
35.28%
99.90%
0%
36.46%
46.88%
14.32%
镗床
39.74%
32.03%
----
21.35%
33.33%
17.84%
刨床
11.41%
10.08%
0%
4.95%
17.19%
-----

由表5可以得出以下结论：
磨床在1月、2月的利用率较高，且在1月的利用率几乎达到百分之一百，而在3月的利用率相对较低，所以2台磨床的维修可以都安排在3月；
立钻在原计划中都已安排了维修，且在各月的使用率都相对较低，故无须再去更改。
水平钻在2月、5月的利用率较高，且在2月的利用率几乎达到百分之一百，而在3月的利用率为0，所以剩余2台水平钻的维修可以都安排在3月；
镗床由于本身只有一台，且在6月的使用率相对最低，故可以尝试去将维修时间更改到6月。
刨床在3月的利用率为0，故可以尝试去将维修时间更改到3月。
由以上分析我们可以得到4个新的设备检修计划如表6、表7、表8、表9：
表6：
最大利润： 947250.0
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台镗床、一台立式钻床
二 月
一台磨床
五月
一台立式钻床
三 月
一台磨床、两台水平钻床和一台刨床
六月
一台水平钻床
表7：
 月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台立式钻床
二 月
无维修
五月
一台立式钻床
三 月
两台磨床、两台水平钻床
六月
一台刨床、一台镗床和一台水平钻床
最大利润：959130.0
表8：
最大利润：919000.0
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台立式钻床
二 月
无维修
五月
一台立式钻床
三 月
一台刨床、两台磨床、两台水平钻床
六月
一台镗床和一台水平钻床

表9
最大利润：964350.0
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台立式钻床
二 月
无维修
五月
一台立式钻床
三 月
一台刨床、两台磨床、两台水平钻床和一台镗床
六月
一台水平钻床
比较表6、表7、表8、表9的结果，显然，在表9安排的维修计划下总利润最大，因此我们以表9的设备维修计划为原型，用lingo软件求解，可以得出在该维修计划下的每种设备在每个月的利用率：
表10：
设备
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
磨床
83.33%
71.94%
10.42%
27.34%
27.99%
83.3%
立钻
59.90%
48.18%
31.25%
59.90%
59.90%
59.90%
水平钻
34.72%
39.06%
0%
36.46%
34.72%
34.72%
镗床
42.71%
32.03%
---
21.35%
28.65%
42.71%
刨床
12.50%
10.29%
---
4.95%
14.32%
12.50%
按照以上分析，由表10可以得出以下结论：
磨床、立钻、水平钻的利用率都未达到百分百，因此都无需再做调整；
镗床和刨床由于本身只有一台，且在4月的使用率都相对最低，故可以尝试去将维修时间更改到6月。
由以上分析我们又可以得到3个新的设备检修计划如表11、表12、表13：
表11：
最大利润：1082585.
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台刨床、一台立式钻床和一台镗床
二 月
无维修
五月
一台立式钻床
三 月
两台磨床、两台水平钻床
六月
一台水平钻床

表12：
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台刨床、一台立式钻床
二 月
无维修
五月
一台立式钻床
三 月
两台磨床、两台水平钻床和一台镗床
六月
一台水平钻床
最大利润：1019050.

表13：
最大利润：1055035.
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台镗床、一台立式钻床
二 月
无维修
五月
一台立式钻床
三 月
两台磨床、两台水平钻床和一台刨床
六月
一台水平钻床
比较表9、表11、表12、表13的结果，显然，在表11安排的维修计划下总利润最大，因此我们再次以表11的设备维修计划为原型，同理类推，根据此法用lingo软件求解并重复比较，这里不再详细叙述，即求得该厂六月份所获总利润的最优解1088550.0元，并且重新为该厂确定一个最优的设备维修计划为：
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一 月
无维修
四月
一台磨床、一台镗床、一台立式钻床和一台刨床
二 月
一台磨床
五月
一台立式钻床
三 月
两台水平钻床
六月
一台水平钻床
5. 模型检验
通过模型求得到所有设备每月的实际工作时间，通过观察设备的每月利用率来重新调整设备维修时间，得到4个较优的设备维修计划，选出利润最大的设备维修计划，再以该设备维修计划为原型建立高级优化模型，同理类推，根据上述进行检验只要利用率不接近100%即符合。

设备
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
磨床
83.33%
78.56%
91.15%
0%
27.99%
76.17%
立钻
59.90%
44.27%
58.59%
0%
59.90%
78.13%
水平钻
34.72%
32.12%
72.92%
0%
34.72%
38.54%
镗床
42.71%
25.26%
32.29%
----
28.65%
50.08%
刨床
12.50%
7.68%
10.68%
-----
14.32%
16.80%
6. 模型评价及推广
(1)首先，该模型化深奥为简单，思路清晰，通俗易懂。
(2)其次，本文不仅仅考虑有限的月份和设备，可以增加i，j的取值，不仅仅求解针对题目中所给出的数据，可推广到考虑了生产量、库存量以及销售量建立了最大利润的目标函数模型。
(3)运用lingo对模型进行求解，并进行分析。

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