倍数与因数奥数测试题.doc

一、教学方针： （1）认识自然数、整数、倍数、因数； (2)认识奇数和双数，掌握2，3，5的倍数的特征。 (3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。 (4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。 （5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。 二、根蒂根基知识讲解： 自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 要是a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。 能被2，3，5整除的数的特征： 2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8的数 5的倍数特征：个位是0，5的数 3或9的倍数特征：各个数位上的数码之和能被3或9整除。 4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。 8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。 11的倍数的特征：奇数位的数码之和和双数位上的数码之和的差是11的倍数。 奇数和双数：能被2整除的数叫双数，不能被2整除的数叫奇数。 质数和合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。一个数除了1和它本身外，另有另外因数，这个数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 最大公因数和最小公倍数：一般情况用短除法求。 特殊情况倍数瓜葛：（m，n）=m m，n=n （n是m的倍数） 互质瓜葛：（m，n）=1 m，n=mn 3、经典例题： 例1：下列哪些式子是整除式？ （1）8.81.1=8 （2）13010=13 （3）297=41 （4）145=2.4 分析和解：根据整除的定义，被除数和除数必需是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。 例2：写出24的因数和倍数。 分析和解：因为124=24 212=24 38=24 46=24 所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 因为241=24，242=48，243=72，244=96 所以24的倍数有24，48，72，96 例3：一个数万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，个位上是最小的质数，百分位上的数既不是质数也不是合数，其余数位的数码是零，这个数是多少？ 分析和解：最小的合数是4，最大的一位数是9，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1。所以这个数是40902.01。 例4：1路汽车每隔3分钟发一次车，3路汽车每隔5分钟发一次车。这两路车同时发车后，至少再过多少分钟后又同时发车？ 分析和解：1路汽车每隔3分钟发一次车，就是指发车时间是3的倍数，3路汽车每隔5分钟发一次车，就是指发车时间是5的倍数。至少再过多少分钟又同时发车一次，只要求是3和5的最小公倍数便可。 3，5=15。 答：至少再过15分钟后又同时发车。 例5：小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方，最后没有多余，请问这些正方的边长是多少？一共可以折出多少个正方？ 分析和解：要想使最后没有多余，那么正方的边长必需是36的因数，也必需是24的因数，这些因数里最大的一个就是正方的边长。 （36，24）=12 3612=3 2412=2 32=6 答：这些正方的边长是12厘米，一共可以折出六个正方。 例6：为庆六一，六年级同学买来336枝红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少束同样的花？在每束花中，红、黄、粉三种花共有几枝？ 分析和解：要使每一束花的花束最多，并且没有剩余，就是求每束花的最大公因数。 （336，252，210）=42 33642=8 25242=6 21042=5 8+6+5=19（支） 答：这些花可以扎成每束最多42束同样的花，在每束花中，红、黄、粉三种花共有19支。 4、数学思惟方法总结： 在实际应用时,怎样区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为很多学生的难题.其实,可以把问题模型化,画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成若干个边长最大的正方,动手一画,就发现是要求长和宽的最大公因数.把若干个长方形拼成一个边长最小的正方,动手一画,就发现是要求长和宽的最小公倍数. 5、设计构想： 的知识点相当多,概念特别容易混合,建议同学们把这部分知识收拾整顿成知识树理清它们的区分和联系。本单元的题型也很多，通过各类各样的题型练习，同学们可以学会怎样审题，找到具体问题和实际知识点之间的联系。 六、巩固练习： 一、写一个能同时被4和25整除的最小五位数。 分析和提示：4和25是互质数，同时能被4和25整除的数一定是100的倍数，这个最小五位数是10000。 二、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个齿，当这两个齿轮第二次咬应时，乙齿轮转了几圈？ 分析和提示：28，42=84 8442=2 答：乙齿轮转了2圈。 3、（1）A和B都是自然数，若AB=10，那么A和B的最大公因数是（ ）， 最小公倍数是（ ）。 （2）若A=3257 B=35211，则A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 分析和提示：（1）A和B是倍数瓜葛时，且A大于B，A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。 （2）A和B的最大公因数是325=30，最小公倍数是325711=2310。 4、有两个数，它们的最大公因数是15，最小公倍数是225，其中一个数是45，另一个数是多少？ 分析和提示：两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数。所以另一个数是1522545=75。 5、有两个数，其中的一个数是另一个数的，已经知它们的最小公倍数是54，那么这两个数的最大公因数是多少？ 分析和提示：将“其中的一个数是另一个数的”这句话进行转化得：“另一个数是这个数的3倍”，可发现，当两个数是倍数瓜葛时，它们的最小公倍数就是较大的那个数，所以这两个数分别是54和18，它们的最大公因数是18。 六、长和宽为自然数，平面或物体表面的大为105的形状不同的长方形共有多少种？ 分析和提示：因为105=1105=335=521=715 可把每一组数据当做长方形的长和宽，故有5种。 7、一个长方形的平面或物体表面的大是240平方厘米，长和宽是相邻的两个自然数，这个长方形的周长是多少厘米？ 分析和提示：240=1516，所以这个长方形的周长是（15+16）2=62厘米。 8、把14、33、六、55、35、49这六个数均等分成两组，使这两组数各自的积相称。 分析和提示：先把这六个数分解质因数： 14=27 33=311 6=23 55=511 35=57 49=77 在这六个因式中，共有2个2，2个3，2个5，2个11，4个7。 所以这两组只能是49，6，55和14，35，33。 二、数学能力的拓展和提高。 一、数学思维方法的讲解。 （1）在求公倍数时，每3天去一次和每隔3天去一次并纷歧样，要注意区分。 （2）求一个数的因数有多少个，有一个公式，请同学们掌握，同时可以用来检验找因数时是否有遗漏的情况。 二、数学思维方法的应用。 例1：若A=325475，那么A有多少个因数？ 分析和解：A的因数含有因数3的有3种情况，含有因数5的有5种情况，含有因数的有6种情况，搭配起来，共有356=90种情况。 答：A有90个因数。 由上题我们可发现求因数个数的计算方法： 若A分解因式的结果是： A=ambncp 那么A的因数有（m+1）（n+1）（p+1）个。 例2：有0，1，5，7，6五张卡片，从中选出四张组成一个四位数，使得这个数能被2整除，又能被3整除，这个数最大是多少？ 分析和解：先选择较大的数。若选择7，6，5，1四个数，不管组成的数是多少，都不能被3整除，故选择7，6，5，0四个数码，这个数最大是7650，它既能被2整除，又能被3整除。 例3：六年级72名学生共捐款（ ）85.9（）元，若每人捐款的数量两样多，请你猜测每人捐了多少钱？ 分析和解：因为72=89，8和9互质，所以（ ）859（ ）这个数一定是8和9的倍数。 若是8的倍数，那么59（ ）一定是8的倍数，只有592是8的倍数。 若是9的倍数，8+5+9+2=24，只有24+3=27，所以这个数只能是38592。 385.9272=5.36(元) 答:可猜测出每人捐人5.36元。 例4：某班学生人数在40和50之间。要是分成6人一组，那么有一个小组少4人；要是分成8个人一组，那么有4个小组各多一人。求这个班的人数。 分析和解：先假设这个班的人恰好可分成6人一组，也恰好可分成8人一组，那么这个班的人数就是8和6的公倍数，在40-50之间的数满足这个条件的只有48，尝试一下： 48-4=44 448=54 满足条件。 答：这个班的人数是44人。 例5：从学校到少年宫的路上，一共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相距50米，现在要改成每2根之间相距60米，除两端的2根不需移动外，中间另有多少根不必移动？ 分析和解：先求出学校到少年宫的旅程： （37-1）50=1800（米） 50，60=300 所以第300米、600米、900米、1200米、1500米处的电线杆不必移动。 答：中间有5根不需要移动。 3、巩固练习： 一、一个最简分数，分子、分母的和是50，要是把这个分数的分子、分母都减去5，所得分数的值是，原来的分数是（ ）。 A、 B、 C、 D、 分析和提示：原来分数的分子和分母的和是50，把这个分数的分子和分母都减去5后，现在分子和分母的和是40，分数的值是，现在分数的分子是4052=16，分母是24，原来的分数是，故选择B。 二、警察查找一辆肇事汽车商标（四位数），一位目击者对数码很敏感。他提供说：“第一位数码最小，最后两位数是最大的两位双数，前两位数码的乘积的4倍刚好比后两位数少2。“你能帮警察叔叔猜出这个车商标吗？ 分析和提示：最大的两位双数是98，倒推法得到前两位数是（98-2）4=24。所以这个车商标码是2498。 3、一个能被2和3同时整除的四位数，它的千位上的数既然奇数又是合数，它的百位上的数不是质数也不是合数，它的十位上的数是最小的质数，个位上的数是多少？ 分析和提示：千位上的数是9，百位上的数是1，十位上数是2，同时又因为这个四位数能同时能被2和3整除，所以个位上的数可能是0或6。 4、一筐苹果不超过250个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数恰好数完。这筐苹果最多有多少个？ 分析和提示：这筐苹果绝对是3的倍数，5的倍数，7的倍数。3，5，7=105，在250以内，这堆苹果最多有210个。 5、商店里有6箱货物，分别重16，17，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的5箱。已经知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍。问：商店里剩下的1箱货物重多少千克？ 分析和提示：这6箱货物共重16+17+18+19+20+31=121千克，因为一个顾客的货物是另一个顾客的2倍，这两个顾客买走了其中的5箱货物总重一定是3的倍数，只有121-16=105，121-19=102，121-31=90满足条件。 1053=35 35=17+18 满足要求； 1023=34 34=16+18 满足要求； 903=30 不满足要求； 答：商店里剩下的1箱货物重16千克或19千克。 六、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点儿同时同向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？ 分析和提示：甲跑一圈需要时间：6003=200（秒） 乙跑一圈需要时间：6004=150（秒） 丙跑一圈需要时间：6002=300（秒） 200，150，300=600 答：经过600秒三人又同时从出发点出发。 7、500位同学站成一排，从左到右数“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报3的留下，向左看齐再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只有两位同学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个？ 分析和提示：首届报数留下的人是3，6，9，12，恰好是3的倍数。 第二次报数留下的人是9，18，27，恰好是9的倍数。 第三次报数留下的人是27，54，81，恰好是27的倍数。 第四次报数留下的人是81，162，243，恰好是81的倍数。 第五次报数留下的人是243，486号同学。 答：这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第243号和第486号。 三、数学思维训练。 一、经典例题： 例1：在六位数568的方框中填入三个数码，使这个六位数能被3，4，5整除。求满足条件的最小的六位数。 分析和解：设六位数为568ABC，因为六位数分别是3，4，5的倍数，所以： （1）5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数，即A+B+C被3除余2。 （2）BC 是4的倍数。 （3）C=0或5。 由此可知，C=0，且B是0，2，4，6，8之一。 由于要求最小的六位数，所以A从最小数开始实验，有A=0、B=2时满足条件。所以所求的六位数为568020。 例2：已经知七位数92AB427能被99整除，求这个七位数。 分析和解：因为99=911，且9和11互质，所以所求的七位数要能被9和11整除。有： （1）9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍数，得： A+B=3或 A+B=12 （2）9+4+7+A-（2+2+B）=16+A-B是11的倍数，得： A-B=6或 B-A=5， 对比条件可知，只有当A+B=12，A-B=6时，A、B有解： A=9 ，B=3 因此所要求的数是：9293427 例3：把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样巨细的正方纸块，而没有剩余，问能裁成最大的正方纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 分析和解：要把长方形的纸裁成同样巨细的正方纸块，还不能剩余，这个正方纸块的边长应该是长方形的长和宽的条约数。由于题目要求是最大的正方纸块，所以正方纸块的边长是长方形的长和宽的最大条约数。 1米3分米5厘米=135厘米 1米5厘米=105厘米 （135，105）=15 长方形的平面或物体表面的大是：135105=14175（平方厘米） 正方的平面或物体表面的大是：1515=225（平方厘米） 共可裁成正方纸块：14175225=63（张） 例4：一盒铅笔，可以均等分给2，3，4，5，六个小伴侣，这盒铅笔最少有多少支？ 分析和解：这些铅笔可以均等分给2，3，4，5，六个小伴侣，因此，铅笔的支数一定是2，3，4，5，6的公倍数，求铅笔最少有多少支，就是求2，3，4，5，6的最小公倍数。 2，3，4，5，6=60 例5：两个质数的和是50，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 分析和解：把50表示为两个质数的和，共有四种形式： 50=47+3=43+7=37+13=31+19 经计算发现：3119=587最大。 例6：试写出十个连续的自然数，个个都是合数。 分析和解：我们要想找出十个连续的自然数而且每一个数都是合数，显然1，2，3，4，5，6，7，8，9，10是不行的，因为这十个自然数不是个个都是合数。 我们设K=1234567891011 那么K+2，K+3，K+4K+11为连续的10个数。 K是2的倍数，所以K+2能被2整除； K是3的倍数，所以K+3能被3整除； K是4的倍数，所以K+4能被4整除； K是11的倍数，所以K+11能被11整除。 所以K+2，K+3，K+4K+11为连续的10个合数。 二、数学思维训练题： 一、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小明现在的年龄各是多少？ 分析和提示：此题先可以这样想： 设小明今年X岁，爷爷今年就是7X岁。再过A年，可列方程： 6（X+A）=7X+A 解得X=5A 再过B年，可列方程： 5（X+B）=7X+B 解得X=2B 所以X既然5的倍数，又是2的倍数，所以X是10的倍数。可从10尝实验证。恰好得到爷爷今年70岁，小明今年10岁。 二、甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练，甲跑一圈需要70秒，乙跑一圈需要75秒，两人约好同时从起点出发，到两人同时回到终点时结束晨练，那么这次晨练他们用了几分钟？ 分析和提示：70，75=1050。 105060=17.5(分) 答:这次晨练他们用了17.5分钟。 3、有一根绳子，分别在它的10等分处、12等分处和15等分处剪断，那么这根绳子最后被剪成几段？ 分析和提示：假设这段绳子长60米。 6010=6（米） 6012=5（米） 6015=4（米） 10等分和12等分重叠的地方在30米处； 10等分和15等分重叠的地方在12米、24米、36米48米处； 12等分和15等分重叠的地方在20米、40米处。 9+11+14-7=27 27+1=28（段） 答：这根绳子最后被剪成28段。 4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和 标的目的完全相同，小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长。 分析和提示：54,72=216 21654=4(步) 21672=3(步) 4+3-1=6(步) 606216=2160(米) 答:花园的周长是2160米。 5、有一根长方体木料，它相邻两个面的平面或物体表面的大是108平方分米和32平方分米，长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米，要是把它锯成若干个小正方体并能拼成一个大正方体，那么这个长方体的长、宽、高各是多少？这根长方体木料最少能锯成几个小正方体？需要锯几次？ 分析和提示：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，可列式： Ab=108 bc=32 108=22333 32=22222 由上可知宽一定是108和32的公因数(1除外),所以: B=2或4 那么它的长、宽、高分别为54，2，16或者是27，4，8。 当长、宽、高分别为54，2，16时，最少可锯成棱长是2厘米的小正方体共：（54216）（222）=216（个）。需要锯的回数为： 54 2=27 27-1=26（次） 1628 8-1=7（次） 共 26+7=33（次） 当长、宽、高为27，4，8时，最少可锯成棱长是4厘米的小正方体，除去余料，共：（2448）（444）=12（个）。需要锯的回数为： 274=63 84=2 2-1=1（次） 共 6+1=7（次） 六、爷孙俩人今年的年龄乘积是693，4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩人今年各多少岁？ 分析和提示：先将693分解质因数： 693=33711 根据一般生活情况，爷爷和孙子现在的年龄只可能分别是：63岁和岁11，77岁和9岁，99岁和7岁。而4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩今年各是63岁和11岁，或77岁和9岁。 7、一个长方体的正面和上面和平面或物体表面的大和是209平方米，要是它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 分析和提示：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，列式等式：ab+ac=209，即a（b+c）=209，a（b+c）=1119，而a，b，c都是质数，满足条件的数只有2，11，17。所以这个长方体的体积是374立方米。 8、把一个一位数的质数A写在另一个两位数的质数B的后面，得到一个三位数，这个三位数是A的87倍，求A和B。 分析和提示：可列式：10B+A=87A 86A=10B 可得A=5，B=438 / 8