功率谱估计模型法教程文件.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,功率谱估计模型法,参数模型功率谱估计,MA,模型,AR,模型,ARMA,模型,平稳随机信号的参数模型,如果一个宽平稳随机信号,x(n),通过一个线性时不变系统,(LSI)h(n),，则系统输出,y(n),也是宽平稳随机过程，并且,y(n),的功率谱密度和,x(n),的功率谱密度满足下式：,其中,P,yy,、,P,xx,分别为系统输出、输入的功率谱密度，而,H(w),为系统脉冲响应的傅立叶变换。,平稳随机信号的参数模型,如果系统输入为白噪声信号,u(n),，其功率谱密度为常数,2,，则输出信号功率谱密度,P,xx,(w),完全由系统传递函数,|H(w)|,2,决定，因此我们通过对,H(w),进行建模，从而得到输出信号的功率谱密度。,平稳随机信号的参数模型,在上图中，输入,u(n),为白噪声信号，其方差为,2,，则系统输出,x(n),的功率谱密度,P,xx,(w),为：,平稳随机信号的参数模型,因此我们利用确定性系统传递函数,H(z),的特性去表征随机信号,x(n),的功率谱密度，称为参数模型功率谱估计。,参数模型功率谱估计的步骤：,对,H(z),选择合适的模型：,MA,模型、,AR,模型、,ARMA,模型,根据已知样本数据,x(n),，或者,x(n),的自相关函数，确定,H(z),的参数,利用,H(z),估计,x(n),的功率谱。,平稳随机信号的参数模型,H(z),的模型：,AR,模型：,auto-Regressive,此模型只有极点，没有零点，对应其幅度谱结构存在谱峰,平稳随机信号的参数模型,MA,模型：,Moving-Average,此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存在谱谷点。,平稳随机信号的参数模型,ARMA,模型：,此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在谱峰、谱谷,系统模型,对于一阶全极点传递函数,传递函数所对应的幅度响应实际上是：,当,a0,当,ap,，因此我们利用,p,个估计的自相关函数，可以对,mp,所有的自相关函数,r,xx,(m),进行延拓，从而提高了自相关函数窗的长度，增加了功率谱估计的频域分辨率。,AR,模型阶数,p,的选择,如果模型的阶数过小，则会增加对功率谱的平滑作用，降低谱的分辨率,但如果阶数太高，虽然会降低预测误差的方差，但会导致谱峰的分裂，增加估计误差。,这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情况。,AR,模型阶数,p,的选择,AR,模型阶数,p,的选择,AR,模型阶数,p,的选择,在进行,AR,谱估计时，首先需要确定阶数,p,。,p,的选择可以基于以下三种准则进行。,最终预测误差准则,(FPE),其中,k,为阶数，,N,为样本数据,x(n),的长度，而,k,表示,k,阶,AR,模型得到的白噪声方差。,上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。,AR,模型阶数,p,的选择,阿凯克信息论准则,(AIC),同样选择使上式最小的,k,值作为模型的阶数。,AIC,准测和,FPE,准则在样本数据,x(n),长度较长时，估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数据，建议使用,AIC,准则。,AR,模型阶数,p,的选择,自回归传递函数准则,(CAT),同样使得上式最小的,k,为模型阶数。,AR,模型参数的求解,自相关法,利用,Yule-Walker,方程得到,AR,模型参数,a,i,：,AR,模型参数的求解,Yule-Walker,方程中的自相关函数,r,xx,(m),为有偏估计值：,AR,模型估计功率谱密度,系数矩阵不仅仅是对称的，而且沿着和主对角线平行的任意一条对角线上的元素都相等，这样的矩阵称为,Toeplitz,矩阵，可以利用,Levinson-Durbin,递推算法得到,p,个参数,a,i,以及方差,2,。,AR,模型估计功率谱密度,如果采用有偏估计得到自相关函数，就可以利用,Levinson-Durbin,高效的求解,AR,模型参数，并且可以保证求解的系数,a,i,在单位圆内，即保证,AR,模型的稳定性。这种方法称为自相关法,同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶数的增加而减小或者保持不变。,AR,模型估计功率谱密度,但自相关法也存在一定的问题，由于在求解自相关函数的时候，进行了矩形加窗处理，降低了分辨率。,同时当样本数据长度较短时，估计误差会比较大，出现谱峰偏移和谱线分裂。,AR,模型估计功率谱密度,协方差法,AR,模型估计功率谱密度,其中的自相关函数为：,同时白噪声的方差为：,AR,模型估计功率谱密度,计算自相关函数时，样本数据的取值范围与自相关法不同，这样保证了不对样本数据进行矩形窗的截断，因此如果样本函数的长度较短时，可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样本函数的长度远远大于阶数,p,时，自相关法和协方差法的性能是差不多的。,同时协方差法求解的是非,Toeplitz,阵，不能用迭代的方法计算，因此运算复杂度较大。同时也不能像自相关法一样保证,AR,模型的稳定性。,AR,模型估计功率谱密度,修正的协方差法,与协方差法类似，自相关函数的求解修正为：,同时估计的白噪声方差为：,AR,模型估计功率谱密度,修正的协方差法从线性预测的角度分析，实际上是同时进行前向、后向预测，因此其估计谱的分辨率比较高，谱峰的偏移也比较小。,但缺点同样是需要求解非,Toeplitz,阵，计算比较复杂。,AR,模型估计功率谱密度,Burg,递推法,以上提到的自相关法、协方差法和修正的协方差都要估计样本数据的自相关函数，如果能免去自相关函数的求解，从而直接根据样本函数得到,AR,模型参数,a,i,，从而可以减少中间步骤，提高谱估计的性能。同时采用前向、后向线性预测。,这种算法对短数据的功率谱估计比自相关函数法要准确。,应用,针对含噪正弦信号,数据,64,点，采用分段平均周期图法和,AR,模型,应用,AR,模型，,周期图法,应用,数据长度为,64,，采用分段的周期图法和,AR,模型,应用,AR,模型，,周期图法,应用,数据长度为,64,点，取不同阶数,(4,、,20),的,AR,模型对谱估计的影响。,应用,MA,模型估计功率谱密度,与,AR,模型一样，首先推导,MA,参数,b,i,与样本数据,x(n),的正则方程。,首先，,MA,模型参数为：,MA,模型估计功率谱密度,输入白噪声信号,u(n),、,MA,模型以及输出,x(n),之间为线性卷积的关系：,与,AR,模型进行相同的分析，得到：,MA,模型估计功率谱密度,MA,模型只有,q,个零点，并且注意,MA,的正则方程，,MA,模型计算的自相关函数的取值范围为,-q q,，并且类似于,MA,模型参数,b,i,的自相关函数,这样估计的功率谱密度为：,MA,模型估计功率谱密度,注意到，根据计算的自相关函数,r,xx,(m),得到的功率谱为：,因此从谱估计的角度，,MA,模型谱估计等效于经典谱估计中的自相关法，谱估计的分辨率低。,ARMA,模型估计功率谱密度,ARMA,模型实际上,AR,模型和,MA,模型的综合，其正则方程为：,其中,h(k),为,a,i,和,b,i,的函数，因此该方程为非线性方程，求解较为复杂。,最大熵谱估计方法,r,xx,(k),的最大熵外推法,经典谱估计中是零值外推，对于窄带信号是很不精确的，如何对,r,xx,(k),进行外推？,这里,r,e,(k),表示自相关函数的外推值,最大熵谱估计方法,对,r,e,(k),的约束条件是什么？,保证得到的功率谱密度是实数，并且是非负的。,使随机信号,x(n),的熵最大，等价为使得,x(n),尽可能的白化，对功率谱而言，使得估计的功率谱,P,xx,(w),尽可能平坦。,最大熵谱估计方法,对于能量有限的信号，具有高斯分布的随机信号,x(n),具有最大的熵率，并且,x(n),是高斯,AR,过程，即,x(n),的功率谱是全极点形式的谱结构。,最大熵谱估计方法,根据以上要求外推的自相关函数,r,xx,(k),：,而,a,p,为自相关正则方程的解：,最大熵谱估计方法,最大熵谱估计的解释是：根据给定随机信号,x(n),，利用对,x(n)AR,模型的限制，对自相关函数进行外推，并且假设,x(n),为高斯分布。,实际上最大熵谱估计与,Yule-Walker,方法估计功率谱是等价的。,最大熵谱估计方法,这里对最大熵谱估计方法的描述，用于解释该方法谱估计的实质问题。,最大熵估计外推对数据强加了一个全极点模型，因此,MEM,估计是否优于传统方法，取决于所分析的信号类型，以及信号模型逼近,AR,过程的程度,特征分解法谱估计,对于带有白噪声的正弦波组合，由于正弦波之间是非谐波的关系，因此不能用基于傅立叶变换的周期图法进行分析。而特征分解法可以得到比,AR,模型更高的分辨率，特别是信噪比比较低的时候，谱估计的效果比较理想。,特征分解法谱估计,一阶谐波过程：,其中复指数,A1=|A1|,e,j,1,1,是均匀分布的随机变量，,w(n),是方差为,w,2,的白噪声,特征分解法谱估计,复数随机信号的自相关矩阵定义为：,特征分解法谱估计,Rss,的秩为,1.,特征分解法谱估计,定义,则,R,ss,可以用,e,1,表示：,因此,R,ss,的非零特征值为,M,|A,1,|,2,特征分解法谱估计,R,xx,和,R,ss,的特征向量是一致的。,R,xx,的特征根是,R,ss,的特征根和噪声方差之和,特征分解法谱估计,根据,R,x,的特征值和特征矢量获得关于,x(n),的参数：,R,x,进行特征值分解，最大的特征值为,M,|,A,1,|,2,+,w,2,，其它的特征值均为,w,2,利用,R,x,的特征值求信号功率,|,A,1,|,2,和噪声方差：,特征分解法谱估计,最大特征值对应的特征矢量为,e,1,，则,e,1,第二个系数为,e,jw,1,其频率即为,w,1,特征分解法谱估计,基于信号自相关矩阵分解的频率估计算法：将样本空间分为信号子空间和噪声子空间，然后用频率估计函数估计频率值。,假设随机信号,x(n),由,p,个复指数信号和白噪声信号组成：,其中,s(n),为正弦信号，,v(n),为白噪声,特征分解法谱估计,X(n),信号的自相关函数：,其中,P,i,是功率：,P,i,=|,A,i,|,2,特征分解法谱估计,则,x(n),的自相关矩阵为：,特征分解法谱估计,其中,e,i,为：,特征分解法谱估计,设,v,i,是,R,ss,的特征矢量：,v,i,也是,R,xx,的特征矢量，并且,R,xx,的特征根是,R,ss,特征根和噪声方差之和：,特征分解法谱估计,R,ss,的秩为,p,，因此,R,ss,有,p,个非零特征根，因此,R,xx,特征根分为,p,个大于,w,2,的特征根，和,M-p,个为,w,2,的特征根,。,对应于特征根的分类，特征矢量也分为两类。实际上，大于,w,2,的特征根和特征矢量对应信号子空间，而等于,w,2,的特征根和特征矢量对应噪声子空间。,这样可以根据自相关函数,R,xx,的特征根求解，最小的特征根就是白噪声信号的方差。,特征分解法谱估计,如果自相关矩阵,R,xx,的维数,M=p+1,，则,p,个大于,w,2,的特征根，,1,个等于,w,2,的特征根，因此信号子空间的特征矢量为,p,个，噪声子空间的特征矢量为,1,个，定义为,v,min,。,定义信号空间矢量,e,i,，该矢量不是特征矢量，但位于信号子空间中，且与,v,min,正交：,特征分解法谱估计,由于,v,min,和,e,i,正交，则,e,jkw,为,v,min,z,变换在单位圆上的根，由于方程,z,的最高幂次为,p,，因此有,p,个根，每个根的频率即为复指数的角频率,特征分解法谱估计,在得到角频率之后，需要计算各个频率分量的功率值,P,i,，设信号子空间归一化的特征矢量为,v,i,同乘以特征矢量的转置：,而自相关矩阵,R,xx,：,特征分解法谱估计,简化得到：,;,特征分解法谱估计,这样谱估计算法过程为：,给定,p,阶谐波过程，求其,(p+1),(p+1),自相关阵的最小特征值和特征矢量。,最小特征值对应的特征向量的方程组求根，根的幅角为估计的频率,根据线性方程组获得复指数功率,特征分解法谱估计,则估计的功率谱为：,总结,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,