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二项式定理
【学习目标】
1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【要点梳理】
要点一：二项式定理
一般地,对于任意正整数,都有：
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数〔r=0，1，2，…，n〕叫做二项式系数，
2．二项式(a+b)n的展开式的特点：
(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数与均为n；
3.两个常用的二项展开式：
要点二、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数与组合数的上标一样；
③a与b的次数之与为n。
要点诠释：
〔1〕二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项与(b+a)n的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a与b是不能随便交换位置的．
〔2〕通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是〔只需把－b看成b代入二项式定理〕。
要点三：二项式系数及其性质
与二项展开式的推导。
在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的?详解九章算法?如下表，可直观地看出二项式系数。
展开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,…时,如下表所示:
………………………………………1 1
……………………………………1 2 1
…………………………………1 3 3 1
………………………………1 4 6 4 1
……………………………1 5 10 10 5 1
…………………………1 6 15 20 15 6 1
上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的与。
用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n展开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，那么这种取法种数为，即为的系数．
2.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离〞的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半局部逐渐增大，在后半局部逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.
③各二项式系数之与为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之与等于各偶数项的二项式系数之与，
即。
要点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别：
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。
如(a－b)n的二项展开式的通项是，在这里对应项的二项式系数都是，但项的系数是，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
3.展开式中的系数求法〔的整数且〕
如：展开式中含的系数为
要点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
要点四：二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项〔或其系数〕.
2.利用赋值法进展求有关系数与。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法〔即通过对a、b取不同的特殊值〕可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要防止漏项等情况。
设
(1) 令x=0，那么
(2)令x=1，那么
(3)令x=－1，那么
(4)
(5)
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证：能被64整除〔〕
4.证明有关的不等式问题：
有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进展证明。①；②；〔〕
如：求证：
【典型例题】
类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数
例1. 求的二项式的展开式．
【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号．
【解析】
解一： ．
解二：
【总结升华】记准、记熟二项式(a+b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷．
举一反三：
【变式】求二项式的展开式．
【答案】 〔1〕解法一：
解法二：
例2．〔1〕求的展开式的第四项的系数；
〔2〕求的展开式中的系数及二项式系数
【思路点拨】先根据条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x的项．因为题中条件与求解局部都涉及指定项问题，应选用通项公式．
【解析】〔1〕的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
〔2〕∵的展开式的通项是，
∴的系数，的二项式系数．
【总结升华】
1.利用通项公式求给定项时防止出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的是多少；
2. 注意系数与二项式系数的区别；
3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
举一反三：
【变式1】求的展开式的第3项的二项式系数与系数；
【答案】10，80；
【变式2】求(x3－)5的展开式中x5的系数；
【答案】〔1〕Tr＋1＝
依题意15－5r＝5，解得r＝2
故(－2)2＝40为所求x5的系数
例3.〔1〕(2x2－)6的展开式中的常数项；
〔2〕求的展开式中的有理项.
【思路点拨】常数项就是项的幂指数为0的项，有理项，就是通项中x的指数为正整数的项，可以
根据二项式定理的通项公式求。
【解析】〔1〕Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26- r·
依题意12－3r＝0，解得r＝4
故·22＝60为所求的常数项．
〔2〕通项
∵为有理项，∴,
即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12
故展开式中的有理项为,,.
【总结升华】
使二项展开式的某一项为常数项，就是使这一项不含“变元〞，一般采用令变元的指数为零的方法解答这类问题。
求有理项是对x的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求．
举一反三：
【变式】 求二项式的展开式中的常数项及有理项．
设二项式的通项为，
令，得r=8．
令，即r=0，2，4，6，8时，。
∴二项式的展开式中的常数项是第9项：；有理项是第1项：x20，第3项：，第5项：，第7项：，第9项：．
类型二、 二项式之积及三项式展开问题
例4．求的展开式中的系数.
【思路点拨】 将变形为，要使两个因式的乘积中出现，根据式子的构造可以分类讨论：当前一个因式为1时，后面的应该为；当前一个因式为时，后面的应该为；当前一个因式为时，后面的应该为；也可以利用通项公式化简解答。
【解析】
解法一：
的通项公式〔〕，
分三类讨论：
〔1〕当前一个因式为1时，后面的应该为，即；
〔2〕当前一个因式为时，后面的应该为，即；
〔3〕当前一个因式为时，后面的应该为，即；
故展开式中的系数为。
解法二：
的通项公式〔〕，
的通项公式,〔〕，
令,那么或或，
从而的系数为。
【总结升华】当多个不同的二项式相加或相乘时，可以依据题意进展恰当的分类或分步计算，也可以直接利用通项公式化简后求解。
举一反三：
【变式】求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；
【答案】∵ (x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…
∴ (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179
例5．求的展开式中的系数
【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
【解析】〔法一〕
显然，上式中只有第四项中含的项，
∴展开式中含的项的系数是
〔法二〕：
∴展开式中含的项的系数是．
【总结升华】有些题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．
举一反三：
【变式1】的展开式中含项的系数是 ；
【答案】
【变式2】在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
【答案】∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，
∴此展开式中x的系数为240
类型三、有关二项式系数的性质及计算的问题
例6．
〔1〕求展开式中二项式系数最大的项；
〔2〕求展开式中系数最大的项。
【思路点拨】 利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。
【解析】〔1〕展开式的通项：，
故展开式中二项式系数最大的项为：
〔2〕设第项的系数最大，
那么，化简得，
解得:， ∴，
故所求展开式中系数最大的项为：
【总结升华】求展开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组。
举一反三：
【变式】求展开式中系数最大的项。
【答案】∵原式不是的标准二项式，∴不一定是中间项系数最大。
设项系数最大，有。
∴，解得。
∵k是非负整数，∴k=8。
∴第8项系数最大，即。
类型四、利用赋值法进展求有关系数与。
例7. 假设，
那么_________．〔用数字作答〕
【思路点拨】求展开式的各项系数之与常用赋值法
【解析】令，那么，，
即
【总结升华】赋值法是解决二项展开式的系数与的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以到达解题目的．
举一反三：
【变式1】假设，那么 ,
【答案】0；令,得答案0.
【变式2】 ，那么等于〔 〕
A．63 B．64 C．31 D．32
【答案】 逆用二项式定理得：，所以n=6，所以。应选A。
类型四、 二项式定理的综合运用
例8. 求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】 注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．
【解析】
当n=0时，原式=0，可被676整除．
当n=1时，原式=0，也可被676整除．
当n≥2时，
原式
每一项都含262这个因数，故可被262=676整除
综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．
【总结升华】 此类整除问题〔或余数问题〕可以用二项式定理证明，证明的关键在于将被除式进展恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．
举一反三：
【变式】除以的余数是 .
【答案】；
故除以的余数是.
例9. 求证：3n＞(n+2)·2n－1〔n∈N+，且n＞2〕．
【思路点拨】 利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．
【解析】
因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．
所以3n＞(n+2)·2n－1．
【总结升华】 用二项式定理证明不等式时，根据n的最小值，确定展开的最少项，然后分析具体情况确定其中有多少项即可．
举一反三：
【变式】利用二项式定理证明〔n∈N+，且n≥3〕。
【答案】欲证成立，只需证成立。
而
所以原不等式成立。
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