周世勋量子力学习题答案第六章散射.doc

第六章 散射
1．粒子受到势能为的场的散射，求S分波的微分散射截面。
[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l个分波的相角位移是表示在辏力场中的矢径波函数与在没有散射势时的矢径波函数在时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。
矢径的波动方程是：
其中是波函数的径向部分，而
令 ，不难把矢径波动方程化为
再作变换 ，得
这是一个贝塞尔方程，它的解是
其中
注意到 在时发散，因而当时波函数
，不符合波函数的标准条件。所以必须有
故
现在考虑波函数在处的渐近行为，以便与在时的渐近行为比较，而求得相角位移，由于：
当很小时，即较小时，把上式展开，略去高次项得到
又因
故
注意到
如果取单位半径的球面上的两点来看
则 ，即有
故
微分散射截面为
由此可见，粒子能量愈小，则较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数愈大，微分散射截面也愈大。
2．慢速粒子受到势能为
的场的散射，若，求散射截面。
[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S分波。
在处，方程为
其中
在处，则有
其中
而波函数是
在的情况下，只故虑S分波，即的情况，上面两个方程变为
其解分别为
当时，
当时，
由于在时，有限，但
故
即
在处，波函数及其微商必须连续，因此得出
用前式除后式可得
即
因此S分波的辐射截面是
当速度较小时，，可以近似地认为
这时有
假如，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于
3．只考虑S分波，求慢速粒子受到势能的场散射时的散射截面。
[解] 当只考虑，即S分波时，令，则x满足的方程是：
为了解此方程，作如下代换，令，由于
可将原方程化为
即
为了化简方程，再作变换，令
注意到
方程可以化为
这是阶的贝塞尔方程，它的解是
式中表示第一类汉克尔函数，按定义为
当时，
当时
而
当很大时，
另一方面
当时
其中
散射截面
上述解的条件是
即
亦即要求
4．用玻恩近似法求粒子在势能场中散射时的散射截面。
[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式
而 [见教材（55-23）式]
其中 ，为入射粒子方向与散射粒子方向之间的夹角。
在本题中
注意到
又
而
5．利用玻恩近似法求粒子在势能
场中散射的微分散射截面，式中
[解] 由势能的形状容易看出，计算时只需计算由的积分即可。
其中
6．用玻恩近似法求在势能场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。
[解] （1）求微分散射截面
（2）讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是。由教材（55-25）式与（55-26）式
即
或
这就是玻恩近似法的适用条件。
第 6 页