江苏省高中数学学案集合苏教版必修.doc

第7课时 集合复习
【学习目标】
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；
2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）；
3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【课前导学】
【复习回顾】
1．判断下列命题的正误：
①全集只有一个；
②“正整数集”的补集是“负整数集”；
③空集没有子集；
④任一集合至少有两个子集；
⑤若，则；
⑥若，则A、B之中至少有一个为空集；
解：只有⑤√，其余均X
2．设集合,,且，则实数的取值范围是．
3．设，集合，．若，求的值．
解：，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或．

【课堂活动】
一、建构数学：
本单元主要介绍了以下三个问题：
1．集合的含义和特征；
2．集合的表示和转化；
3．集合的基本运算．
（一）集合的含义和表示(含分类)
1．具有共同特征的对象的全体,称一个集合；
2．集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类；
3．集合的表示
（二）集合表示法间的转化

说明：高中数学解题的关键也是着“四化” ．
（三）集合的基本运算
1．子集：A B定义为，对任意x∈A，有x∈B,表现图为A在B中包含着；
2．集合运算比较：
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做的交集．记作（读作‘A交B’），即｛，且｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做的并集．记作：（读作‘A并B’），即 ={，或})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）S
A
记作，即

韦
恩
图
示

S
A

性

质

AΦ=Φ

AΦ

Ａ

() ()
= ()
() ()
= ()
A ()
A ()= Φ．
容斥原理：有限集A的元素个数记作(A).对于两个有限集A，B，有(A∪B)= (A)(B)- (A∩B)．
二、应用数学：
1、注意集合中代表元素
“代表元素”实质是认识和区别集合的核心．代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同．例如{2}{2}{()2}{2}.
例1 {2+1}{2+1}{2+1}{()2+1}{≥1}.则相等的集合有
．
答案：
【变式】Q ？

2、注意集合中元素的互异性
注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当中，检验是否违反互异性的原则．例如对于数集{22}，实数a的取值范围是.且
例2 (1)已知集合{1,4}{12},且,求集合A和集合B；
(2)已知x∈{-321}{3,212+1},如果={-3}，求．
解：（1）当 4时，有2或-2 ，经检验符合题意，
此时{1,2,4}或{1，-2,4}, {1,4}；
当 时，有 1或0 ，经检验0 符合题意,此时{0,1,4}{0,1}．
（2）由={-3}有，3= -3或21= -3或x2+1= -3故有0 或-1
当0时，{-3,0,1}{-3，-1,1}，不合题意={-3}；
当 -1 时，{-3,1,0} ={-4，-3,2}，符合题意．
综上所述， -1.
【解后反思】
1、注意分类讨论；
2、注意检验题意和集合中元素的互异性．

3、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系
例3 (1)下列关系式:①;②N∈R;③高一(1)班学生的笔∈{是高一(1)班学生};④3.14∈{x∈π>0}.其中正确命题的序号是．①
(2)①1;②{1}③;④{0};⑤{0},上述五个关系式中错误的个数是．2个
4、注意空集特殊性和两重性
空集是任意集合的子集，即，是任一非空集合的真子集，即A(A≠).有三种情况：.另外还要分清楚,的关系．
例4 下列五个命题:①空集没有子集;②空集是任何一个集合真子集;③④任何一个集合必有两个或两个以上的子集;⑤若，则A、B之中至少有一个为空集；其中真命题的个数．0个
例5 已知集合{22-19=0}{2-56=0}{2+28=0},若，
且A∩，求a的值．
解：{2,3} {2，-4}由题意有3A, 2A，
把3代入A对应方程有3a -10 =0 解方程有5 或 -2.，
经检验2（5舍去）．

例6 已知{1=0}{2-56=0},若,求a的值，并确定集合A．
解：, 而 {2,3}，
当a = 0 时，A = ，符合题意；
当时，{2}，符合题意；当时，{3 }，符合题意．
【解后反思】注意空集的特殊性，空集是任意集合的子集，即．
例7 已知{2+(2)1=0},且.试求实数m的取值范围．
解：因为.
若，则方程无实数解，
所以， - 4< m<0;
若，则方程有非正实数根，
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数m的取值范围是m > - 4.
【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用．

5、 综合运用
例8 已知集合{2+443=0}， {2+(1)2=0}，{2+220}，其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.
分析：此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则
只有一种情况，即三个集合全是空集.
【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，
即

解此不等式组，得
∴所求实数a的取值范围为：a≤,或a≥-1.
点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求
出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
三、理解数学：
1．已知全集，集合{26<0}，{2+28>0}，{2-43a2<0}．
(1)试求a的取值范围，使A∩；
(2)试求a的取值范围，使．
分析：，（-2，3），（-，-4）∪（2，+），
故A∩（2，3），（-，-2]∪[3，+），[-4，2]，
∴=[-4，-2]，
又x2-43a2<0即(3a)()<0，
∴当a<0时，（3a，a），
当0时，，
当a>0时，（a，3a），
(1) 要使A∩，集合数轴知，解得 1≤a≤2；
(2) 类似地，要使必有
，解得．
【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.
点评:①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便
于分析和转化；
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
2．(1)已知集合{2-32=0}{2=0},若,求实数a的取值范围；
(2)已知集合{2-32=0},
①若=，求的取值范围；
②若中只有一个元素，求的值并写出这个集合的元素；
③若中至多有一个元素，求的取值范围；
④若中有两个元素，求的取值范围．
(3)已知集合{2-32=0}{22=0},若，求实数a的取值范围．
解：(1)而 { 1,2 }
当a = 0 时，B = 符合题意；
当时，{1}符合题意；当1时，{2 }符合题意；
(2)(3)略
【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论．
【课后提升】
1．下列命题正确的有个．
（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合和集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集．
答案：
2．若且，则．
答案：
3．已知集合至多有一个元素，则的取值范围．
答案：
4．下列表述中正确的是（只填序号）：⑴若 ；⑵若；⑶ ；⑷．
答案：⑴、⑵、⑷
5．已知，则集合中元素x所应满足的条件为．
答案：
6．满足的集合的个数为．
答案：7
7．某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x人，则x的取值范围是．
答案：
8．设全集，，则=．
答案：
9．集合，，
满足，实数值为．
答案：
10．设．
答案：
11．设，集合，；若，=．
答案：或
12．已知，，,则的取值范围为．
答案：
13．设是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的，都有，则称运算对集合A是封闭的，若，则对集合M不封闭的运算是 （选填：加法、减法、乘法、除法）．
答案：除法
14．设全集,集合，,
那么等于．
答案：
二、解答题：
15 ．已知集合,,,
且,求的取值范围．
解：，当时，，
而则这是矛盾的；
当时，，而，
则；
当时，，而，
则；∴．

16．已知{2+32 ≥0}, {2－41>0 ∈R}, 若A∩φ, 且A∪,
求m的取值范围.
解：由已知{2+32}得得 .（1）∵A非空，∴；（2）∵{}∴另一方面，，于是上面（2）不成立，否则，和题设矛盾.由上面分析知，.由已知结合,得对一切x恒成立，于是，有的取值范围是．

17．，试求实数的取值范围，使．
解：依题意得：

（1）当，；
（2）当,
要使，则，解得：；
（3）当,
，不符合题设．
综合上述得：．

18．已知集合A＝{(x, y)＝－x2＋－1}＝{(x, y)＋y＝3, 0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．
解：由题意，得
x2－(m＋1)x＋4＝0在[0，3]上有且仅有一解
①△＝0时方程有相等实根且在[0，3]上，即
∴m＝3
②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，
则32－(m＋1)×3＋4＜0，∴m＞
所以，m的取值范围是m＝3或m＞．