广东省深圳市育才中学2015届高三上学期10月月考数学试卷.doc

广东省深圳市育才中学2015届高三上学期10月月考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5}，N={1，3，6}，则集合{2，7}等于（）
A． M∩N B． （∁UM）∩（∁UN） C． （∁UM）∪（∁UN） D． M∪N
2．（5分）设p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 （）
A． [0，] B． （0，） C． （﹣∞，0]∪[，+∞） D． （﹣∞，0）∪（，+∞）
3．（5分）如图，向量等于 （）
A． B． C． D．
4．（5分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
5．（5分）已知=2，则tan（x+）的值为 （）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
6．（5分）把函数y=﹣3cos（2x+）的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的值可以是 （）
A． B． C． D．
7．（5分）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为（）
A． （﹣∞，） B． （0，） C． （，+∞） D． （﹣∞，）∪（0，）
8．（5分）设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则 （）
A． f（2）＞e2f（0），f＞e2012f（0） B． f（2）＞e2f（0），f＜e2012f（0）
C． f（2）＜e2f（0），f＞e2012f（0） D． f（2）＜e2f（0），f＜e2012f（0）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷上．
9．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于°．
10．（5分）函数的图象与函数g（x）=log2x的图象的交点个数是
．
11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则f（x）=．
12．（5分）直线y=4x及曲线y=x3围成的封闭图形的面积为．
13．（5分）关于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx，下列命题：
①若x1，x2满足x1﹣x2=π，则f（x1）=f（x2）成立；
②f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
③函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称；
④将函数f（x）的图象向左平移个单位后将及y=2sin2x的图象重合．
其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）
14．（5分）已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；
③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．
15．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（），．
（Ⅰ）当⊥时，求θ的值；
（Ⅱ）求|+|的取值范围．
16．（12分）已知函数f（x）=lnx++b在点（1，3）处及y轴垂直．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[，2]上的最大值与最小值．
17．（14分）已知向量=（2sin（x﹣），1），=（cosx，﹣），函数f（x）=•（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期对称中心及单调减区间；
（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）及=（2，sinB）共线，求a、b的值．
18．（14分）已知函数f（x）=ex（ax+b），曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≥4x+2；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．
19．（14分）已知函数，直线图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值：
（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，若的值．
20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；
（3）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）．
广东省深圳市育才中学2015届高三上学期10月月考数学试卷
参考答案及试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5}，N={1，3，6}，则集合{2，7}等于（）
A． M∩N B． （∁UM）∩（∁UN） C． （∁UM）∪（∁UN） D． M∪N
考点： 子集及交集、并集运算的转换．
专题： 计算题．
分析： 根据元素及集合的关系与集合的运算规律进行，2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合CUM且在CUN中，根据并集的意义即可．
解答： 解：∵2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合CUM且在CUN中
∴{2，7}=（CUM）∩（CUN）
故选B
点评： 本题也可以直接进行检验，但在分析中说明的方法是最根本的，是从元素及集合的关系以及交集与交集的含义上进行的解答，属于容易题．
2．（5分）设p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 （）
A． [0，] B． （0，） C． （﹣∞，0]∪[，+∞） D． （﹣∞，0）∪（，+∞）
考点： 必要条件、充分条件及充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析： 先写出￢p，￢q，并解出￢p，￢q下的不等式，从而得到￢p：x＜，或x＞1，￢q：x＜a，或x＞a+1，根据￢p是￢q的必要不充分条件得出限制a的不等式，解不等式即得a的取值范围．
解答： 解：￢p：2x2﹣3x+1＞0，￢q：x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0；
解2x2﹣3x+1＞0得，或x＞1，解x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0得x＜a，或x＞a+1；
若¬p是¬q的必要而不充分条件；
∴，解得0，即实数a的取值范围是．
故选A．
点评： 考查由命题p，q求￢p，￢q，解一元二次不等式，必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念．
3．（5分）如图，向量等于 （）
A． B． C． D．
考点： 向量的三角形法则．
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用向量的三角形法则、坐标表示即可得出．
解答： 解：由图可知：=．
故选：D．
点评： 本题考查了向量的三角形法则、坐标表示，属于基础题．
4．（5分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
考点： 函数单调性的判断及证明．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象与性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．
解答： 解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；
③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．
故选B．
点评： 本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．
5．（5分）已知=2，则tan（x+）的值为 （）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
考点： 两角与及差的正切函数；运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用诱导公式化简已知条件，求出正切函数值，利用两角与及差的正切函数求解即可．
解答： 解：已知=2，
即=2，
∴tanx=．
tan（x+）===﹣．
故选：D．
点评： 本题考查两角与及差的三角函数，诱导公式的应用，基本知识的考查．
6．（5分）把函数y=﹣3cos（2x+）的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的值可以是 （）
A． B． C． D．
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像及性质．
分析： 由解析式的特点与题意，利用两角与的余弦公式对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值．
解答： 解：函数y=﹣3cos（2x+）
由2x+=kπ，k∈Z，可解得对称轴方程x=﹣，k∈Z，
∵函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，
∴由对称轴的方程得，m的最小值是．
故选：B．
点评： 本题主要考查三角函数的对称性，函数y=Acos（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．
7．（5分）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为（）
A． （﹣∞，） B． （0，） C． （，+∞） D． （﹣∞，）∪（0，）
考点： 导数的运算；函数的图象．
专题： 数形结合法．
分析： 先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式x•f′（x）＜0的解集
解答： 解：由图可知：
±是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a＞0
即±是导函数f′（x）的两个零点，
导函数的图象如图，
当x∈时，f'（x）＞0，则x＜0，故是解集的一部分；同理也是解集的一部分．
故选D．
点评： 本小题主要考查函数的图象、一元二次不等式的解法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归及转化思想．属于基础题．
8．（5分）设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则 （）
A． f（2）＞e2f（0），f＞e2012f（0） B． f（2）＞e2f（0），f＜e2012f（0）
C． f（2）＜e2f（0），f＞e2012f（0） D． f（2）＜e2f（0），f＜e2012f（0）
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： 由f′（x）＜f（x），利用导数及函数单调性的关系，判断出函数F（x）=是定义在R上的减函数，即可得答案．
解答： 解：由f′（x）＜f（x）得，f′（x）﹣f（x）＜0，
∴F′（x）=＜0，
∴函数F（x）=是定义在R上的减函数，
∴F（0）＞F（2），F（0）＞F，
即F（0）＞，F（0）＞，
即f（2）＜e2F（0），f＜e2012F（0），
∵F（0）=f（0），
∴f（2）＜e2f（0），f＜e2012f（0），
故选：D．
点评： 考查利用导数研究判断函数单调性及导数的运算法则的运用，属于中档题，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷上．
9．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于30°．
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 根据a=b=4 且∠A=30°，可得△ABC为等腰三角形，可得∠B的值．
解答： 解：△ABC中，∵a=4，b=4，∠A=30°，则△ABC为等腰三角形，可得∠B=∠A=30°，
故答案为：30°．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题．
10．（5分）函数的图象与函数g（x）=log2x的图象的交点个数是
3．
考点： 对数函数的图像及性质；函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 先分别画出函数的图象与函数g（x）=log2x的图象，再通过观察两个函数图象交点的个数即可．
解答： 解：分别画出函数的图象与函数g（x）=log2x的图象：如图．
由图知：它们的交点个数是：3，
故答案为：3．
点评： 本小题主要考查对数函数的图象、分段函数的图象等基础知识，考查等价转化能力，考查数形结合思想、化归及转化思想．属于基础题．
11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则f（x）=2sin（2x﹣）．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 三角函数的图像及性质．
分析： 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象经过特殊点求得φ的值，可得函数的解析式．
解答： 解：由函数的图象可得A=2，==﹣，∴ω=2．
再根据图象经过点（，2）可得2sin（2×+φ）=2，结合，﹣＜ϕ＜，可得φ=﹣，
故有f（x）=，
故答案为：2sin（2x﹣）．
点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象经过特殊点求出φ的值，属于基础题．
12．（5分）直线y=4x及曲线y=x3围成的封闭图形的面积为8．
考点： 定积分．
专题： 导数的综合应用．
分析： 先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答： 解：先根据题意画出图形，解得两个图象的解答坐标分别是（0.0），（2，8），（﹣2，﹣8），得到第一象限部分的积分上限为2，积分下限为0，
∴曲线y=x3及直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣）=4，
∴直线y=4x及曲线y=x3围成的封闭图形的面积为2∫02（4x﹣x3）dx=8；
故答案为：8．
点评： 考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
13．（5分）关于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx，下列命题：
①若x1，x2满足x1﹣x2=π，则f（x1）=f（x2）成立；
②f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
③函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称；
④将函数f（x）的图象向左平移个单位后将及y=2sin2x的图象重合．
其中正确的命题序号①③④（注：把你认为正确的序号都填上）
考点： 命题的真假判断及应用；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像及性质．
分析： 利用三角恒等变换可得f（x）=2cos（2x+），
对于①，若x1，x2满足x1﹣x2=π，则f（x1）=2cos[2（x2+π）+]=2cos（2x2+）=f（x2）成立，可判断①；
②由π≤2x+≤2π，得：≤x≤，即f（x）在区间[，]上单调递增，从而可判断②；
③易求f（）=0，函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，从而可判断③；
④将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=f（x+）=2sin2x，可判断④．
解答： 解：f（x）=cos2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），
①若x1，x2满足x1﹣x2=π，则f（x1）=2cos[2（x2+π）+]=2cos（2x2+）=f（x2）成立，故①正确；
②由π≤2x+≤2π，得：≤x≤，即f（x）在区间[，]上单调递增，故②错误；
③因为f（）=2cos（2×+）=0，所以函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，故③正确；
④将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=f（x+）=2cos[2（x+）+]=2cos（2x+）=2sin2x，其图象及y=2sin2x的图象重合，故④正确．
综上所述，正确的命题序号①③④，
故答案为：①③④．
点评： 本题考查命题的真假判断及应用，综合考查正弦函数的单调性、对称性及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．
14．（5分）已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；
③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是②④．（写出所有正确命题的序号）
考点： 函数的单调性及导数的关系；命题的真假判断及应用．
专题： 综合题．
分析： 先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．
解答： 解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=ex+
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，是增函数．所以①不正确，
②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=ex+=0，可以判断函数有最小值，②正确．
③画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确．
④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确．
故答案为：②④
点评： 本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．
15．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（），．
（Ⅰ）当⊥时，求θ的值；
（Ⅱ）求|+|的取值范围．
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： （I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于θ的方程，结合同角三角函数的关系，得，结合θ的范围可得θ的值；
（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|+|=，再结合θ的范围，利用正弦函数的图象及性质，可得|+|的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）∵⊥，
∴•=…（2分）
整理，得
又∵，∴θ=…（6分）
（Ⅱ）∵||==1，||==2，•=
==…（9分）
∵∴…（11分）
∴，可得
∴，即|+|的取值范围是[，3]…（13分）
点评： 本题给出向量坐标为含有θ的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系与三角函数的图象及性质等知识，属于中档题．
16．（12分）已知函数f（x）=lnx++b在点（1，3）处及y轴垂直．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[，2]上的最大值与最小值．
考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得f′（1）=0且f（1）=3，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出极值点，列表分析函数在[，2]上的单调区间与极值，从而得到最小值与最大值．
解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=lnx++b，
则，
则，
解得；
（Ⅱ）由于，
则
由f'（x）=0⇒x=1，
列表如下
x
1 （1，2）
2
y'
0
y 4﹣ln2
单调递减
极小值
单调递增
当x=1时，f（x）取得极小值即最小值：f（x）min=f（1）=3，
由于，
当时，f（x）取得最大值．
点评： 本题考查导数的综合应用：求切线方程与求单调区间、极值与最值，考查运算能力，属于中档题．
17．（14分）已知向量=（2sin（x﹣），1），=（cosx，﹣），函数f（x）=•（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期对称中心及单调减区间；
（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）及=（2，sinB）共线，求a、b的值．
考点： 余弦定理；两角与及差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的图像及性质；解三角形．
分析： （Ⅰ）利用数量积得坐标运算，两角差的正弦公式，二倍角公式化简解析式，由周期公式、正弦函数的对称中心、的单调减区间，分别求出函数f（x）对应的最小正周期、对称中心、单调减区间；
（Ⅱ）根据f（C）=0与C的范围求出角C，再根据向量共线的坐标条件与正弦定理得b=2a，见那个c=3、C的值代入余弦定理化简，最后联立求出a、c的值．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得，=
所以f（x）的最小正周期T==π，
令（k∈Z）得，，k∈Z，
f（x）的对称中心是（，﹣1）（k∈Z），
由，解得，
所以f（x）的单调减区间：
（Ⅱ）由f（C）=0得，=0，即，
因为0＜C＜π，所以，
则，解得C=，
因为向量=（1，sinA）及=（2，sinB）共线，
所以sinB﹣2sinA=0，即sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a，①
又c=3，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=a2+b2﹣2abcos，②
由①②得，a=，b=．
点评： 本题考查掌握数量积的坐标运算，两角与的正弦公式、二倍角公式，正弦、余弦定理，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，利用向量的数量积及其化简三角函数是解题的关键，考查知识广泛，比较综合．
18．（14分）已知函数f（x）=ex（ax+b），曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≥4x+2；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）由已知条件得，由此能求出常数a，b的值．
（Ⅱ）记g（x）=f（x）﹣（4x+2）=2ex（x+1）﹣2（2x+1），则g′（x）=2ex（x+2）﹣4，当x=0时，g′（x）=0，设t（x）=2ex（x+2）﹣4，由此利用导数性质能证明f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≥k（4x+2）恒成立，当且仅当k≥，记h（x）=，x∈[﹣2，﹣1]，由此利用导数性质能求出常数k的取值范围．
解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ex（ax+b），
∴f′（x）=ex（ax+b）+aex，
∵曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2，
解得a=b=2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=ex（2x+2），
记g（x）=f（x）﹣（4x+2）=2ex（x+1）﹣2（2x+1），
则g′（x）=2ex（x+2）﹣4，
当x=0时，g′（x）=0，设t（x）=2ex（x+2）﹣4，
则t′（x）=2ex（x+3），
当x＞﹣3时，t′（x）＞0，g′（x）单调递增，
当x＜﹣3时，t′（x）＜0，g′（x）单调递减，
显然当x＜﹣2时，g′（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，
当x＜0时，g′（x）＜0，∴g（x）≥g（0）=0，
当且仅当x=0时等号成立，
∴f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）解：x∈[﹣2，﹣1]时，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立，
当且仅当k≥，
记h（x）=，x∈[﹣2，﹣1]，
由h′（x）=0，得x=0（舍），x=﹣，
当﹣2时，h′（x）＞0，
∴h（x）=在区间[﹣2，﹣1]上的最大值为h（﹣）=，
∴常数k的取值范围是[，+∞）．
点评： 本题考查常数的值的求法，考查不等式的证明，考查常数的取值范围的求法，解题时要注意构造法与导数性质的合理运用．
19．（14分）已知函数，直线图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值：
（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，若的值．
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
专题： 计算题；三角函数的图像及性质．
分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x） 的解析式为2sin（2ωx+），根据直线图象的一条对称轴，故2sin（2ω•+）=2，故有 2ω•+=kπ+，k∈z，再由0＜ω＜1，求出ω 的值．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2ωx+），可得g（x）=2cos．由 ，可得
cos（α+）的值，再由sinα=sin[（α+）﹣]，利用两角与的正弦公式求得结果．
解答： 解：（1）∵函数，
∴f（x）=cos（2ωx）+sin（2ωx）=2sin（2ωx+）．
∵直线图象的一条对称轴，故2sin（2ω•+）=2，即 sin（2ω•+）=1，
故有 2ω•+=2kπ+，k∈z，故ω=3k+，k∈z．
再由0＜ω＜1，可得﹣＜k＜，∴ω=．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2ωx+），可得g（x）=2sin[（x+）+]=2cos．
由 ，可得 2cos =，故 cos（α+）=．
故sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=．
点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，两角与的正弦公式，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；
（3）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）首先求出函数的导函数，然后确定函数的极值，此题函数只有一个增区间，一个减区间，函数的极大值就是最大值；
（2）由（1）可知函数f（x）在区间（，2）上在x=1时取得最大值，当x=与x=2时的函数值君小于0，所以由最大值的符号分析函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数；
（3）求出直线AB的斜率为k与f′（x0），整理后把证明k＞f′（x0）转化为证明．构造函数g（x）=lnx﹣ （x＞1），利用导数证明该函数在（1，+∞）上为增函数征得结论．
解答： （1）解：由f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0），
得=．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴f（x）max=f（1）=ln1﹣a﹣1+2a=a﹣1．
（2）解：∵a＞0，∴ea＞1，0＜．
由（1）知：f（x）在上为增函数，在（1，2）上为减函数．
∴函数f（x）在区间（，2）上的f（1）=a﹣1．
=＜0．
f（2）=ln2﹣4a﹣2+4a=ln﹣2＜0．
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数为0；
当a=1时，函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数为1；
当a＞1时，函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数为2．
（3）证明：不妨设x1＞x2＞0，
则
令g（x）=lnx﹣ （x＞1）．
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=0．
则，整理得：．
即k＞f′（x0）．
点评： 本题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数及方程思想、化归及转化思想，考查了函数构造法，属于2015届高考试卷中的压轴题．
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