五年级奥数测试卷余数问题答案.doc

A
1．哪些自然数除以6所得的商与余数相同？
2．310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？
3．求12345678×56789的积除以9的余数。
4．有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的与为25，这三个余数中最小的一个是几？
5．有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。这个整数是多少？
6．从1、2、3、……、49、50。这五十个数中，取出若干个数使其中任意两个数的与都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
7．已知A=199119911991………1991，问A除以13的余数是几？
1991个1991
8．将自然数从1到2005连续写成一个多位数1234……，这个多位数除以3的余数是多少？
9．有5个不同的自然数（0除外），它们当中任意3个数的与是3的倍数，任意4个数的与是4的倍数，为了使这5个数的与尽可能小，这5个数分别是多少？
10．一个十几岁的男孩，把自己的岁数写有父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们两个人岁数之差与4289。男孩几岁？
B
1．71427与19的积被7除，余数是几？
2．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？
3．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4……被10除余9，求出这样的四位数。12．有一个整数，用它去除63、91、129，所得的3个余数的与是25，这个整数是多少？
4．32005的末两位数是多少?
5．888888……88÷26的余数是多少？
2001个8
6．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？
7．一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？
8．n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？
1919个1919
9．能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？
10．将自然数N写在任意一个自然数的右面（例如：将2写在35的后面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。小于1996的自然数中有多少个魔术数？
解答
A
1．除以6商与余数相同的数一定是7的倍数，有7，14，21，28，35这样五个数。
2．310－23=273=3×7×13
大于37的两位约数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39与91。
3．解：12345678能被9整除，所以积一定能被9整除，余数是0。
4．解：（1）这个自然数一定小于63，不然的话它除63的余数就是63了；（2）这个自然数一定比9大，因为三个余数的平均数大于8；（3）根据同余的规律，这个自然数能被63＋90＋130－25的差258整除。所以只要找出258比9大，比63小的约数就可以了。
258=2×3×43。258比9大，比63小的约数只有43。
答：这个自然数是43。
5．根据同余，300－262=38，262－205=57，这个数是（57，38）=19。
6．在1到50各数中，除以7余1的数有8个；除以7余2的数有7个；除以7余3的数有7个；除以7余4的数有7个；除以7余5的数有7个；除以7余6的数有7个；除以7能整除的数也是7个。可以取出所有除以7余1的8个数，除以7余2的7个数，除以7余3的7个数，再取出一个除以7能整除的数，所以最多取出23个数。
7．用若干个1991组成的多位数去除以13，看它的余数有什么规律。1991÷13余2，19911991÷13余8，199119911991÷13正好整除。而1991÷3余2，199119911991……1991除以13的余数与19911991÷13的余
1991个1991
数相同。本题答案是8。
8．余数是1。
连续的3个自然数，其各位数字之与一定是的倍数，组成的多位数也是3的倍数。从1到2004共2004个自然数写成的多位数1234……20032004能被3整除，本题只要看最后一个自然数2005除以3的余数就好了。2005除以3的余数是1。
9．这五个数除以3的余数必须相同，除以4的余数也必须相同。考虑这5个数分别除以3、4余数都是1时为最小。那么这5个数最小是1，13，25，37，49。
10．设父亲的年龄是x岁，儿子年龄是y岁，依题意得：
100x＋y－（x－y）=4289
即： 4289=99x＋2y （1）
如果用99去除4289可得 4289÷99=43÷……32
即： 4289=99×43＋2×16 （2）
比较（1）式与（2）式可得：x=43，y=16岁。
所以父亲的年龄是43岁，儿子年龄是16岁。
B
1．71427÷7余6，19÷7余5，两数的积被7除的余数是6×5÷7=4……2。所以余数是2。
2．满足被3除余1的数是：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28……
满足被5除余3的数是：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48……
同时满足被3除余1，满足被5除余3的数是：13，28，43……
在这个数列中，再找出满足被7除余5的数最小是103。所以最小的数为103。
这道题还可以从余数都与除数差2这一点上去想，这个数加上2就能被3、5、7同时整除。原数最小是[3，5，7]－2=105－2=103。
3．这个四位数加上1后，能被2、3、4…、9、10全部整除，所以应求2，3，4，…，9，10的最小公倍数：（2，3，4，…，9，10）=2520
该数是四位数，只有：2520×K－1，当K=1，2，3时，分别为2519，5039，7559。
4．
3的n次方
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
末两位数

9
87
61
83
49
47
41
3的n次方

8
19
20
21
22
23
…
末两位数
23
69

1
03
09
27
…
从表中可知，3的n次方的末两位数出现的规律是每20个数一个周期。所以32005的末两位数与35的末两位数字相同，是43。
5．888888÷26=34188
2001÷6=333……3即原数除以26的余数与888除以26的余数相同。
所以余数是4。
6．（1186－1），（2609－2），（4263＋3）一定能被某数整除。
于是2607-1185=1422=2×3×3×79，
4266-2607=1659=3×7×79
这个数最大是3×79=237。
7．设被除数为a，商为b，依题意得：
a÷11=b……3
即 a=11b＋3 （1）
（a＋11）÷13=b
即 13b=a＋11 （2）
（1）代入（2）得：13b=11b＋3＋11
所以2b=14 b=7
所以a=11b＋3=11×7＋3=80
8．原数的各位数字之与是（1＋9＋1＋9）×1919=38380，38380除以9的余数是4，则 191919……191919191915能被9整除，所得的商的个位数
1918个1919
是5。
9．被715除余10的数一定能被5整除，可见第一句话是多余的；因为原数是5的倍数，140也是5的倍数，所以由第三句话可直接导致该数被247×5=1235除余数为140，同理，由第四句话知该数被391×5=1955除余数为245。现在从被1995除余245，被1235除余140出发。
245＋1955n
2200
4

10020
…
(245＋1955n)÷1235r的余数
965
45

……
依次试除，发现10020被715除余10，而且被187除余109，10020即为所求的最小整数。
10．设P为任意一个自然数，将魔术数N（N﹤1996）接后的PN，下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论：
（1）当N为一位数时，PN=10P＋N，依题意N|PN，则N|10P，由于需对任意数P成立，故N|10，N=1，2，5。共3个。
（2）当N为两位数时，PN=100P＋N，依题意N|PN，则N|100P，故N|100，N=10，20，25，50。共4个。
（3）当N为三位数时，PN=1000P＋N，依题意N|PN，则N|1000P，故N|1000，N=100，125，200，250，500。共5个。
（4）当N为四位数时，PN=100P＋N，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。小于1996的有2个。
综上所述，小于1996的魔术数的个数为14个。
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