因式分解讲义.docx

因式分解

两课时（90分钟）

学情分析
陈**，男，初二上。对数学比较热爱，对于因式分解的各种方法掌握比较好，但是经常忽略因式分解的易错点；对于因式分解的综合应用掌握也不够扎实。
应对措施
本次课针对因式分解的各种方法来展开，教师除了要指导学生把握基础知识，还要有意识地引导学生观察、归纳，并能灵活地运用因式分解进行实际应用，最终培养学生掌握良好的学习方法 ，从而达到稳步提高成绩的目标。
教学方法
练习---归纳—巩固拓展

开心一笑

一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，
两项只用平方差，三项十字相乘法，
阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，
若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，
五项、六项更多项，二三、三三试分组，
以上若都行不通，拆项、添项看清楚。

制胜必备

1、 理解因式分解的概念
2、 掌握因式分解的基本方法：提取公因式法、公式法等
3、 能对简单多项式进行因式分解，并结合实际来应用

一鼓作气

希尔伯特说：“当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。”
秘诀：天才是一份灵感加上九十九份的汗水所成就的！
战况分析

重点
因式分解的方法：提取公因式、公式法
难点
综合运用因式分解的方法
易错点
1、没有分解到不能分解为止，如将x3-x分解至x(x2-1)就不再进行分解，
忽略了括号中的项还可以进一步分解为（x+1）(x-1)
2、结果应为整式积的形式，如将x2-1分解成的形式，其中不是整式，故不能这样分，应采用公式法分解成(x+1)(x-1)

扫除障碍

1. 因式分解的定义及与整式乘法的关系
(1) 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式
(2) 因式分解与整式乘法是互逆运算．
2. 因式分解的常用方法
(1) 提公因式法
如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式．
提公因式法用公式可表示为ma+mb+mc=m（a+b+c）,其分解步骤为：
①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．
②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．
(2)运用公式法
将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，即a2－b2＝ (a+b) (a-b)，a2±2ab＋b2＝ (a+b)2.
3．因式分解解题的思考顺序
(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；
(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；分解因式的结果应为整式积的形式。
小菜一碟

1．下列因式分解中，正确的是（　　）
(A) 1- x2= (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) －,(4 )x2 + －2－（ x － )2
从左到右是因式分解的个数为（　　）
(A) 　1 个　　 (B) 2 个　　 (C) 3 个　　 (D) 4个
3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（　　）
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;
5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;
6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;
作战之法

【兵法案例】
分解因式：a3－2a2+a=______
【作战策略】
因式分解常用的方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。本题明显有个公因式a，可提取公因式。提公因式a后，原多项式变形为a（a2－2a+1），这一步虽然是因式分解，但其中一个因式a2－2a+1在有理数范围内仍然能再分解，即a2－2a+1=（a－1）2，切记因式分解的最后结果必须使每一个因式在指定数的范围内都不能再分解．
【适用兵法】
先使用提公因式法后使用公式法。
【纸上谈兵】
（1）若a，b，c是三角形三边的长，则代数式a2+b2－c2－2ab的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零
挥笔自如

1． 多项式x2－y2, x2－2xy＋y2, x3－y3的公因式是 。
2．矩形的面积为6x2＋13x＋5 (x>0),其中一边长为2x＋1,则另为 。
3．把a2－a－6分解因式，正确的是( )
(A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
4．多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14 ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有( )
(A) 1个　　 (B) 2个　　　 (C) 3个　　　 (D) 4个
5．设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（　　）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
6．关于的二次三项式x2－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（　　）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
7．若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3)　则m,n的值为（　　）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12.
8．分解因式:
(1)x2(y－z)＋81(z－y) (2)a4－3a2－4
(3)x4-4y4
9．实数范围内因式分解
（1）x2－3x－4　　　　　 （2）4x2＋4xy＋y2
施展才华

1. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．
B．
C．
D．
2、给出三个多项式：，，．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．

【讲义答案】
1. B 2. A 3. D 4.-3、-10 5.-2 6.1
B
1. x-y 2.3 x+5 3.C 4.A 5. A 6.D 7.C
8. (1) (x2-81)(y-z)=(x+9)(x-9)(y-z)
(2)(a-2)(a+2)(a2+1)
(3)(x2+y2)(x+√2y)(x-√2y)
9.(1)(x-4)(x+1)
(2)(2x+y)2
1. C
2. (答案不唯一)
(1) 2a2+3ab+b2-（3a2+3ab）=-a2+b2=（a+b）（a-b）
(2) 2a2+3ab+b2-(a2+ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2
5 / 5