小学奥数数论讲义3整除专题讲义适合五年级.docx

专题：整除
目标：
A类学生，在B类学生的根底上，可尝试掌握性质的推理过程
B类学生，在C类学生的根底上，掌握如何将整除概念、性质与定理转化为数学式子。
C类学生，以例题为主，通过例题稳固与理解整除的概念、性质与判定方法
数学问题的解题路径：
求定值问题，转化为方程〔组〕或的等式来解
求范围问题，
一、整除根本概念
如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b〔b不等于0〕，除得的商c正好是整数而没有余数〔或者说余数是0〕，我们就说，a能被b整除〔或者说b能整除a〕。记作b｜a.否那么，称为a不能被b整除，〔或b不能整除a〕，记作ba。
对应数学公式：N|M 即 M=NT 有余数整除公式:M=NT+K K为余数
【问题分类】
二、整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的与与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜〔a±b〕 。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b与c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且〔b，c〕=1，那么bc｜a。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
判定方法：
a|b <- a=mn,且〔m,n〕=1，由m|b,n|b
分两步走：第一步，将a分解成两个互质的数，第二步，两个互质的数必须都整除b，根据第二步来解答问题。
【问题分类】
例： 求能被26整除的六位数x1911y
解答提示：这题如果能用除法公式多好啊，可惜未知数太多，解答数学问题，有直接的公式固然最好，这题，看不到公式啊，其实不是看不到公式，而是被除法公式束缚，公式到底是什么？公式是形式，是定义的外在形式，也就是说最核心的是定义，公式是定义的一局部，为了解答一类问题，这类问题用公式可以解答，也可以用定义解答，这题就得回到定义与整除的判定特征。
小结：判断一个数能M被N整除的方法,如果数都是数，那么直接用除法公式即可，如果数是参数或其他形式，那么需要将问题转化到用整除的判定定理来解答。判定定理涉及到的公式：1定义N|M 即 M=NT 2判定定理：N=AB，〔A,B〕=1，A|M,B|M,那么N|M 3 假设在第二步无法解决，可以无限分解，分解到可以解答位置
三、常见整除判定方法
能被2整除的数的特征：末位数能被2整除〔个位数字是0、2、4、6、8的整数〕
能被5整除的数的特征：末两位数能被5整除 〔个位是0或5〕。
能被3〔或9〕整除的数的特征：各个数位数字之与能被3〔或9〕整除。
能被4〔或25〕整除的数的特征：末两位数能被4〔或25〕整除。
能被8〔或125〕整除的数的特征：末三位数能被8〔或125〕整除。
能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之与与偶数位上的数字之与的差〔大减小〕是11的倍数。
能被7〔11或13〕整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差〔以大减小〕能被7〔11或13〕整除。
【问题分类】
例 判断1059282是否是7的倍数？
解答提示：根据判定定理即课解
解：
小结：一般的，判断一个式子能否被整除，直接用判定特点即可。
例 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
解答提示：根据被3、4、5整除的条件，列3个等式，根据3个等式讨论记得。
解：
小结：思考数学问题，即根据条件与问题，通过根本概念与定理提炼成的公式，把问题转化为数学式子，解答或讨论式子，解答
例 从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排列成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少？
解答提示：根据被3、4、5整除的条件，列3个等式，根据3个等式讨论记得。
解：
例 李教师为学校一共买了28支价格一样的钢笔，共付人民币9□.2□元.□处数字一样，请问每支钢笔多少元？
解：
四、质数、合数与分解质因数
一个数除了1与它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。
一个数除了1与它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
质因数的意义：
基于哲学中基或元的思想，比方，中国古代的道家的思想：道生一、一生三，三生万物；古代西方元素论：把世间万物是火组成的；近代物理原子论：物体都是由分子组成，分子由原子组成。数学亦不例外。
用加减看世界，所有的数，可以看成是1与0的组成，通过加减法，组成一切数。用乘除看世界：如果用乘除法来看所有的数，因为质因数无法通过乘除分解，将质因数看成所有数的基或元，其他的所有数都由质因数通过乘除组成。
分解质因数即是以质因数为基数，将其他的数分解成质因数。
把1与0扩大，以及加减乘除放开后，可以发现，每个数都可以是基数，基数通过一定的开展开展成各种数。比方11111通过加减乘除可组成33333422222。
质数有关的定理：
1 质数p的约数只有两个：1与p。
2 初等数学根本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
3 质数的个数是无限的。
4 所有大于10的质数中，个位只可能是1,3,7,9。
【问题分类】
例：分解质因数把以下各完全平方数分解质因数：
　　9，36，144，1600，275625
解答提示：这就跟洋葱的皮一样，随便开个口子，一层层的分解。
总结：一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
例： 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解答提示：将五个数分解成质数，有分解的后的数重组与分类，表达数学中基数的思想，由一个基数通过各种动作。
小结：要分析某东西，必然从其本身出发，分析的方式可以考虑内外分析，内分析也就是对该事物的定义、性质以及拆分或组合，对外分析，也就是
例： 问360共有多少个约数？
解答提示：分解呀，分解成质数，不是说有的数都可以由质因数为基数组成么
小结：分解，没难题
例：有一个2n+1位整数，22……2311……1是质数还是合数
解答提示：这个没法直接分解，太多了，有n位的问题，一定是对数本身进展拆分，这个拆分直接乘除来拆基数是不可能的了，那就用加减来拆分基数。
小结：带参数分解，换个思维，用更多的方式去组合，通过拆分找基数。
小结：质因数的存在，因为分解，因为整除，因为能给所有的数通过乘除一个基数，这个基数就是质因数。
五、最大公约数与最小公倍数
整除的延伸，研究两个或多个数之间的乘除关系，最大公约数整除分解的延伸，最小公倍数乘法的延伸。
【根本概念】
1. 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
2. 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3. 互质数：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
求最大公约数的方法：根据定义与整除定义，可以对一组数无限的整除下去，每次可用于整除的数，就是这组数的一个基数，直到其中一个数无法被整除未知，所有能整除的基数相乘即是最大公约数。
求最小公倍数的方法：根据定义，无限尝试似乎不可能，再根据定义与整除定义，最大公倍数=公约数乘互质数，故可以尝试分解成基数，也是无限对这组数整除下去，直到所有数的余数是互质的为止，所有的基数再乘以互质的数，也就是最大公倍数。
辗转相除法：利用整除来处理两个数之间的关系，m=nt+k n=k1t+k2 k1=k2t+k3 …… 当余数为0时，最后一个算式中的除数就是原来两个数的最大公约数.
【问题分类】
例 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
例 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米与300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
解答提示：一个是分解，一个是相乘，分解对应最大公约，相乘对应最小公倍。
例 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？
例 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
解答提示：不说了
例：2a+3b+4c=65,a、b、c为整数，求a,b,c
例：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？
解答提示：整数问题，也就是整除问题。整除问题，也就是分解，分解也就是乘除法的基数，基数要么质因数，要么其他因数。
小结：涉及到整数、整除的问题，目前的数学理论也就是只有整除理论，所以对整数的研究，目前能直接借用的就是整除理论。
例 用辗转相除法求4811与1981的最大公约数。
六、带余除法
用带余除法的公式分析题目的目的在于，除法公式始终是通过除法定义而形成的公式，无法解决有余数的除法问题，比方一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。带余除法这套分析理论，从理论上解决有余数的整除。使整个整除理论陈一个完整的体系。
一般地，如果a是整数，b是整数〔b≠0〕，那么一定有另外两个整数q与r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
条件：b>r十分重要
数学式子：a=b×q+r
【问题分类】
例 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
解题分析：一般的，数学中求值问题转化为方程来解，利用带余除法的式子来解肯定没问题，问题在于经常会遗忘做到ab=210的时候，突然不知道怎么办了！ 210被a整除，a＞41，你说怎么办！！
小结：任何地方，能够想到用最优的方法，必须是建立在要么天赋极高，要么有许多实战练习。
例 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的与是933，求被除数与除数各是多少？
解题分析：不说了，一般的，数学中求值问题转化为方程来解。
例 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
例 月18日是星期日，从3月17日作为第一天开场往回数〔即3月16日〔第二天〕，15日〔第三天〕，…〕的第1993天是星期几？
解答提示：还是余数问题，按照最根本的带余除法定义
例 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
解答提示：一般的，数学中求值问题转化为方程来解。有时候方程未必能够通过消元来解决，根据整数以及数本身的特点，只能分类讨论了。
小结：所有的数学问题没有通用解法，但是分析方法与分析方向是不变的。求值转化为方程或者式子来解答。
例 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
七、同余问题
带余除法的延伸
同余定义：假设两个整数a、b被自然数m除有一样的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b〔modm〕.
同余定义中有两个一样，一是被除数一样，二是余数一样。
a=pm+r
b=qm+r
a-b=mk，k是整数，即m｜〔a-b〕.
判定定理： a-b=mk，k是整数，即m｜〔a-b〕.
例：判定288与214对于模37是否同余，74与20呢？
性质定理：
性质1：a≡a〔mod m〕，〔反身性〕
性质2：假设a≡b〔mod m〕，那么b≡a〔mod m〕，〔对称性〕。
性质3：假设a≡b〔mod m〕，b≡c〔mod m〕，那么a≡c〔mod m〕，〔传递性〕。
性质4：假设a≡b〔mod m〕，c≡d〔mod m〕，那么a±c≡b±d〔mod m〕，〔可加减性〕。
性质5：假设a≡b〔mod m〕，c≡d〔mod m〕，那么ac≡bd〔mod m〕〔可乘性〕。
例 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
解答提示：利用乘法原理可简便求解。另外注意25=2(mod23),这个条件很牛逼，用来求最小余数。
例 求143的89次方除以7的余数。
解答提示：利用乘法原理可简便求解。另外注意25=2(mod23),这个条件很牛逼，用来求最小余数，此处不得不用的！
性质6：假设a≡b〔mod m〕，那么an≡bn〔mod m〕，〔其中n为自然数〕。
性质7：假设ac≡bc〔mod m〕，〔c，m〕=1，那么a≡b〔mod m〕，〔记号〔c，m〕表示c与m的最大公约数〕。
例 求自然数2的100次方＋3的101次方＋4的102次方的个位数字。
解答提示：利用乘法原理可简便求解。另外注意25=2(mod23),这个条件很牛逼，用来求最小余数，此处不得不用的！
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