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乘法公式知识讲解.doc

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乘法公式(基础) 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义;   2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算; 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 【高清课堂396590 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式 平方差公式: 两个数的与与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 要点诠释:在这里,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型: (1)位置变化:如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (2)系数变化:如 (3)指数变化:如 (4)符号变化:如 (5)增项变化:如 (6)增因式变化:如 要点二、完全平方公式 完全平方公式: 两数与 (差)的平方等于这两数的平方与加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的与(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方与加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形: 要点三、添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘,哪些可用平方差公式,哪些不能?能用平方差公式计算的,写出计算结果. (1); (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 【思路点拨】两个多项式因式中,如果一项相同,另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】 解:(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算,(1)、(6)不能用平方差公式计算. (2) =-=. (3) = - =. (4) =- =. (5) =-=. 【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算,一定要注意找准相同项与相反项(系数为相反数的同类项). 举一反三: 【变式】计算:(1); (2); (3). 【答案】 解:(1)原式. (2)原式. (3)原式. 2、计算: (1)59.9×60.1; (2)102×98. 【答案与解析】 解:(1)59.9×60.1=(60-0.1)×(60+0.1)==3600-0.01=3599.99 (2)102×98=(100+2)(100-2)==10000-4=9996. 【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法,构造时可利用两数的平均数,通过两式(两数)的平均值,可以把原式写成两数与差之积的形式.这样可顺利地利用平方差公式来计算. 举一反三: 【变式】(2015春•莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算: (1)1232﹣124×122 (2)(2a+b)(4a2+b2)(2a﹣b) 【答案】 解:(1)1232﹣124×122 =1232﹣(123+1)(123﹣1) =1232﹣(1232﹣1) =1232﹣1232+1 =1; (2)(2a+b)(4a2+b2)(2a﹣b) =(2a+b)(2a﹣b)(4a2+b2) =(4a2﹣b2)(4a2+b2) =(4a2)2﹣(b2)2 =16a4﹣b4. 类型二、完全平方公式的应用 3、计算: (1); (2); (3); (4). 【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算,区别在于是选“与”还是“差”的完全平方公式. 【答案与解析】 解:(1) . (2) . (3) . (4) . 【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律:当所给的二项式符号相同时,结果中三项的符号都为正,当所给的二项式符号相反时,结果中两平方项为正,乘积项的符号为负.(2)注意之间的转化. 4、(2015春•吉安校级期中)图a是由4个长为m,宽为n的长方形拼成的,图b是由这四个长方形拼成的正方形,中间的空隙,恰好是一个小正方形. (1)用m、n表示图b中小正方形的边长为   . (2)用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积; (3)观察图b,利用(2)中的结论,写出下列三个代数式之间的等量关系,代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn; (4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:已知a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2的值. 【答案与解析】 解:(1)图b中小正方形的边长为m﹣n.故答案为m﹣n; (2)方法①:(m﹣n)(m﹣n)=(m﹣n)2; 方法②:(m+n)2﹣4mn; (3)因为图中阴影部分的面积不变,所以(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn; (4)由(3)得:(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab, ∵a+b=7,ab=5, ∴(a﹣b)2=72﹣4×5 =49﹣20 =29. 【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用,列代数式,可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量. 5、已知,=12.求下列各式的值: (1) ;(2) . 【答案与解析】 解:(1)∵ =-=-3=-3×12=13. (2)∵ =-4=-4×12=1. 【总结升华】由乘方公式常见的变形:①-=4;②=-2=+2.解答本题关键是不求出的值,主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值. 举一反三: 【变式】已知,,求与的值. 【答案】 解:由,得; ① 由,得. ② ①+②得,∴ . ①-②得,∴ . 第 7 页
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