天津市专升本2011数学真题及答案.doc

2011年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高 等 数 学
本试卷分第I卷（选择题）与第Ⅱ卷非选择题)两部分。第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考人将本试卷与答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分
1．下列函数中，存在的是
A． B.
C. D.
2． 设函数可导，且满足，则
A． B． C． D．
3． 当时，是与等价的无穷小量，则常数
A． B． C． D．
4．函数在区间内
A．单调增加且有界 B．单调增加且无界
C．单调减少且有界 D．单调减少且无界
5． 设，，则
A． B.
C. D. 的大小关系无法确定
6．已知向量满足，则
A． B． C． D．
7． 设，则方程正实根的个数为
A．5 B．4 C．3 D．1
8． 设空间直线的方程为，则该直线必定
A．过原点且垂直于X轴 B．不过原点但垂直于X轴
C．过原点且垂直于Y轴 D．不过原点但垂直于Y轴
9． 设平面区域，则
A． B．
C． D．
10．设实数，为连续的奇函数，，则
A. B.0 C. D.
2011年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高 等 数 学
第Ⅱ卷 （选择题 共110分）
题号
二
三
总分

（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
得分

注意事项：
1. 答第Ⅱ卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。
2．考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
得分
评卷人

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分，把答案填在题中横线上.
11．求极限
12．若区间是曲线的凸区间，则实数的取值范围为
13．设曲线通过原点，且在任意点处得切线的斜率为，则
14．设函数由方程确定，则
15．计算广义积分：
16．设是二阶常系数线性齐次微分方程 的通解，则常数的值分别为
三、解答题:本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
得分
评卷人

17．（本小题满分10分）
设函数，讨论在点处是否连续；若间断，则指出间断类型。
得分
评卷人

18．（本小题满分10分）
.设函数由参数方程所确定，求以及曲线上对应于
点处得切线方程。
得分
评卷人

19．（本小题满分10分）
求函数的极值，并判断是极大值还是极小值。
得分
评卷人

20．（本小题满分10分）
（1） 已知为的一个原函数，求
（2） 若曲线通过点，求该曲线的拐点。
得分
评卷人

21．（本小题满分10分）
设D是由直线及所围成的平面区域，计算
得分
评卷人

22．（本小题满分12分）
设函数在可导，且满足，又曲线
与直线所围成的平面图形绕X轴旋转一周所成的旋转体的体积为，求函数的表达式。
得分
评卷人

23．（本小题满分12分）
设为常数，且，证明：当时，
得分
评卷人

24．（本小题满分12分）
已知曲线通过点，的图形是过点且不平行于坐标轴的直线，1是的极值点。
（1） 求函数的表达式
（2） 设曲线与它在点与点处的切线所围成的平面区域的面积为，与X轴所围成的平面区域的面积，求的值。
2011年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高等数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．D 10．A
二、填空题
11．5 12． 13． 14． 15． 16．2 , 5
三、解答题
17．解：
故不存在，所以
在处不连续，且为第一类间断点。
18．解：
所以
所以
设曲线上对应于点处得切线斜率为，则，而曲线上对应于点的坐标为
故所求切线方程为
19．解：，
令且，得驻点
因为，
所以，，
因为
所以 为极小值点，极小值为
20．解：（1）因为为的一个原函数，所以
因此
（2）因为曲线通过点，于是
故 于是，
令=0，得
当时，； 当时，
故拐点坐标为
21．解： 对，有
故区域可分为与两部分，其中
原式
22．解：当 时，
于是
因为，所以
由旋转体体积
得 或（舍）
故
又由题设可知 所以
23．证明：设 ，
由于在区间上单调增加，而，
于是，当时，，因此在区间上单调减少。
故对一切，有
即
24. 解：（1）由题意设
于是
因为的图形过点，所以，故
于是
（2）由，知曲线在与点的切线分别为与
，求得交点的纵坐标为2.
故 ，
从而
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