时频分析的基本性质.docx

2.3.2 时频分布的基本性质
构造一个合适的时频分布函数是时频分析的是主要内容。此函数需要满足两个要求。其一，可以在一定的时间和频率范围内估计信号的能量百分比；其二，可以在一定的时间和频率范围内估计信号的其他特征参量。然而，并不是所以得时间-频率联合函数都能满足以上要求。只有符合以下的基本要求的时间-频率联合函数才能作为有效的时频分布。也就是说,时频分布函数具有以下的基本性质。
假设信号x(t)的频谱函数和时频分布函数分别X(w)和P(t,w)。
1. 能量特性
由能量守恒定律可得，信号的能量不应的计算方法的不同而改变。则信号x(t)的能量与时频分布函数P(t,w)的总能量应该相等，即
E=Pt,wdwdt=|x(t)|2dt=|X(w)|2dw (2.2)
若一个时间-频率联合函数，其他方面都符合描述非平稳信号的要求，但并不符合此性质，实际应用中也可作为可用的时频分布函数。
2. 边缘特性
理想情况下，某一特定时刻，时频分布函数P(t,w)对频率的积分等于信号在该时刻的能量密度即瞬时功率；而某一特定频率，时频分布函数P(t,w)对时间的积分等于信号的能量谱密度，即
Pt,wdw=|xt)|2(2.3)
Pt,wdt=|X(w)|2 (2.4)
需要指出的是，边缘特性是理想情况的一个性质。在实际的应用之中，一个合理的时频分布不一定严格具备这个性质。
此外，可以观察到，若P(t,w)具有边缘特性就一定具有能量特性，反之，则不一定成立。
3. 平移不变性
（1） 时移不变性
假设信号x(t)在时间上产生了一个位移t0，记为xt-t0。那么xt-t0对应的时频分布为Pt-t0 , w。简记为：
xt→Pt , w⟹xt-t0→ Pt-t0 , w（2.5）
（2） 频移不变性
假设信号频谱X(w)在频谱上产生了一个位移w0，记为Xw-w0。那么Xw-w0对应的时频分布为Pt , w-w0 。简记为：
Xw→Pt , w ⟹Xw-w0→Pt , w-w0 （2.6）
4. 线性尺度变换
假设信号xa(t)和频谱Xa(w)为信号x(t)和频谱X(w)的尺度变换。信号被放大还是缩小取决于a的大小。变换结果可表示为
xat=axat (2.7)
Xaw=1aX(wa) (2.8)
由此可知，若信号被扩展，那么频谱就被压缩；反之若信号被压缩，那么频谱就被扩展。
时频分布函数也具有线性尺度变换。假设Pa(t , w)为P(t , w)的尺度变换。Pa(t , w)可表示为
Pat , w=P(at,w/a) (2.9)
值得注意的是，若P(t , w)具有边缘特性，则尺度变换也具有边缘特性，即
Pat , wdw=|xat)|2=a|x(at)|2 (2.10)
Pat , wdt=|Xa(w)|2=1a|X(wa)|2 (2.11)
5. 有限支撑性
Cohen指出有限支撑性是时频分布的一个基本性质。在实际的工程应用中进行信号处理时,信号的时宽和频宽一般都是有限的。若信号x(t)在特定的时间区间内有非零值,则称信号x(t)是有限支撑的。同理，若信号的频谱X(w)也只在特定频率区间有非零值,则称频谱X(w)是有限支撑的。由此，可以得出，时频分布的有限支撑性的含义为：在信号x(t)和频谱X(w)的总支撑区间之外,信号的时频分布P(t , w))等于零。
时频分布的有限支撑性可分为弱有限支撑性和强有限支撑性两种。
弱有限支撑性指的是信号的定义域与时频分布的定义域相同。即
t∉t1,t2 , xt=0⟹t∉t1,t2 , Pt , w=0 (2.12)
w∉w1,w2 , X(w)=0⟹w∉w1,w2 , Pt , w=0 (2.13)
强有限支撑性指的是在任何时刻和任何频点，如果信号或者频谱为零，则时频分布函数为零。即
∃ t0 , xt0=0⟹ Pt 0, w=0 (2.14)
∃ w0 , X(w0)=0⟹ Pt , w0=0 (2.15)
其实，时频分布除了这些一般性质外，还有需要具备一些简单的性质，如时频分布必须是时函数，取值是非负的等。当然还有一些比较复杂的性质，如整体平均，局部平均等，限于篇幅等原因就不在此一一赘述了。