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圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】
一、 椭圆的定义
1. 椭圆的第一定义：
平面内到两个定点、的距离之和等于定长（）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作）大于这两个定点之间的距离（记作），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：
（ⅰ）当时，点的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当时，点的轨迹是线段；
（ⅲ）当时，点的轨迹不存在。
注2：若用表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为（，），即.
注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。
二、 椭圆的标准方程
（1） 焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）；
（2） 焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）.
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在轴还是在轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟走，椭圆的焦点在轴；长半轴跟走，椭圆的焦点在轴。
（1） 注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为（）或（）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在轴上还是轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为（，，且）.
三、 椭圆的性质
以标准方程（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1） 范围：，；
（2） 对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3） 顶点：左右顶点分别为，；上下顶点分别为，；
（4） 长轴长为，短轴长为，焦距为；
（5） 长半轴、短半轴、半焦距之间的关系为；
（6） 准线方程：；
（7） 焦准距：；
（8） 离心率：且. 越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁；
（9） 焦半径：若为椭圆在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有，；
（10） 通径长：.
注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点和右准线：为例，可求得其焦准距为.
注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为（），过其焦点且垂直于轴的直线交该双曲线于、两点（不妨令点在轴的上方），则，，于是该椭圆的通径长为.
四、 关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指、、的值或它们之间的关系，由这个关系结合，我们可以确定出、、的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到、、的值。
（2） 椭圆的标准方程中的参数、、是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；、、三者之间的关系：必须牢固掌握。
（3） 求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数、。根据题目已知条件，我们列出以、为未知参数的两个方程，联立后便可确定出、的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在轴或轴上，则以、为未知参数的方程组只有一个解，即、只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以、为未知参数的方程组应有两个解，即、应有两个值。
（4） 有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为，但此时、必须满足条件：，，且.
五、 点与椭圆的位置关系
点与椭圆（）的位置关系有以下三种情形：
（ⅰ）若，则点在椭圆上；
（ⅱ）若，则点在椭圆外；
（ⅲ）若，则点在椭圆内；
【例题选讲】
题型1：椭圆定义的应用
1. 平面内存在一动点到两个定点、的距离之和为常数（），则点的轨迹是（）
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段
解：由题意知，
（ⅰ）当时，点的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当时，点的轨迹是线段.
故点的轨迹是椭圆或线段
2. 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为__________.
解：圆：的圆心坐标为，半径
连接，由是直线的中垂线知，
而，
于是点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，其中，
，，
又该椭圆的中心为坐标原点
故点的轨迹方程为
3. 已知点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，当点在圆周上运动时，点的轨迹方程为__________.
解：圆：的圆心坐标为，半径
连接，由是直线的垂直平分线知，
而，
于是点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，其中，
，，
又该椭圆的中心为的中点
故点的轨迹方程为
注：本题点的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点对称，其方程可由把椭圆沿轴向右平移了个单位得到。
4. 方程表示的曲线是（）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段
解：由，有
这表明，点到定点的距离与它到定直线：的距离之比等于常数（）．由椭圆的第二定义知，点的轨迹是椭圆，即方程表示的曲线是椭圆。
5. 椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上。若线段的中点在轴上，则是的（）
A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
解：在椭圆中，
于是
又线段的中点在轴上，而是线段的中点
于是
（法一）在中，
又由椭圆的定义，有①
②
联立①、②得，，
故，即是的7倍。
（法二），而
故，即是的7倍。
6. 设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点。已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，则=__________.
解：在椭圆中，
于是，
（ⅰ）当时，
又①
于是
又
②
联立①、②得，，
于是此时
（ⅱ）当时，
而③
④
联立③、④得，，
于是此时
故的值为2或
题型2：求椭圆的方程
7. （1）若方程表示椭圆，则的取值范围是__________；
（2）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________；
（3）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________.
解：（1）方程表示椭圆
故当时，方程表示椭圆。
（2） 方程表示焦点在轴上的椭圆
故当时，方程表示焦点在轴上的椭圆。
（3） 方程表示焦点在轴上的椭圆
故当时，方程表示焦点在轴上的椭圆。
8. 已知椭圆的焦距为2，则=__________.
解：由题意知， 于是（）
（ⅰ）当椭圆的焦点在轴上时，，
于是由（）式，有
（ⅱ）当椭圆的焦点在轴上时，，
于是由（）式，有
故的值为3或5
9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点，则该椭圆的方程为__________.
解：由题设条件知，①
（ⅰ）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为（）
则由该椭圆过点，有②
联立①、②得，，
于是此时该椭圆的方程为
（ⅱ）当该椭圆的焦点在轴上时，设其方程为（）
则由该椭圆过点，有③
联立①、③得，，
于是此时该椭圆的方程为
故所求椭圆的方程为或
10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的方程为__________.
解：设所求椭圆的方程为（，，且）
则由该椭圆过，两点，有，解得：
故所求椭圆的方程为，即.
11. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，离心率为. 若过的直线交于、两点，且的周长为16，那么的方程为__________.
解：由椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，可设其方程为（）
而
，即
于是
又
于是
故椭圆的方程为
题型3：椭圆的性质
12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的方程为_________.
解：不妨设所求椭圆的方程为（）
设是该椭圆上任意一点，是其一个焦点
令，
则
又，
于是当，即点为椭圆的右顶点时，取得最小值，且；
当，即点为椭圆的左顶点时，取得最大值，且.
因而由题意，有
故所求椭圆的方程为
注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。
13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在轴上的一个焦点与短轴的两个端点、的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点的距离为，则这个椭圆的方程为__________.
解：由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，可设其方程为（）
设是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为
于是有（）
又，是该椭圆上的对称点，是该椭圆的右焦点
又
为等腰直角三角形，其中
于是有，即
又
，即，代入（），得
于是，
故所求椭圆的方程为
题型4：与椭圆的焦点有关的三角形问题
14. 设是椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，且，则=__________.
解：在椭圆中，
于是，
在中，由余弦定理，有
于是
故
15. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在该椭圆上. 若点、、是一个直角三角形的三个顶点，则的面积为____________.
解：在椭圆中，
于是，
（ⅰ）当以点或为直角顶点时，
或，而
或
于是此时总有
并且此种情形下，
即点在椭圆上，满足题意。
（ⅱ）当以点为直角顶点时，
设
则
又，
于是此时
这表明，此种情形下，点在椭圆外，不满足题意。
故的面积为
16. 已知、是椭圆在轴上的两个焦点，为椭圆上一点，.
（1） 求该椭圆离心率的取值范围；
（2） 求证：的面积只与该椭圆的短轴长有关.
解（1）：由该椭圆的焦点在轴上，可设其方程为（）
在中，由余弦定理，有
又
而
，即
于是
又
故该椭圆离心率的取值范围是
证（2）：由（1）知，
故的面积只与该椭圆的短轴长有关
题型5：椭圆中的最值问题
17. 设是椭圆的左焦点，点是椭圆上的一个动点，为定点，则的最小值为__________.
解：在椭圆中，，，
于是该椭圆的左右焦点分别为，
故
18. 若满足（），则的最大值、最小值分别为__________.
解：在椭圆（）中，，，
于是该椭圆的左右焦点分别为，
表示椭圆（）上的点与定点之间的连线的斜率
令，则直线的方程为，即
联立，得
令
则，（舍去）
又，这里为椭圆（）的右顶点
故，，即的最大值为，最小值为．
19. 在直线：上任取一点，过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，则点的坐标为__________时，所作的椭圆的长轴最短，此时该椭圆的方程为__________.
解：在椭圆中，，，
于是该椭圆的左右焦点分别为，
要使过点且以椭圆的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短
必须使最小
设关于直线：的对称点为
则由，即，得
于是直线的方程为，即
显然，使取得最小值的点即为直线与直线的交点
联立，得
此时
，
故所求椭圆的方程为
20. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则的最大值为__________，此时点的坐标为__________.
解：在椭圆中，
于是
设
则，，并且
于是，
令，
其对称轴为
函数在上单调递增
于是
将代入方程中，得
故的最大值为6，此时点的坐标为.
21. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率. 已知点到这个椭圆上一点的最远距离为，则该椭圆的方程为__________，该椭圆上到点的距离为的点的坐标是__________.
解：由该椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，可设其方程为（）
， 而
，即
于是椭圆的方程可化为
设是该椭圆上任意一点
则
，
令，
其对称轴为
（ⅰ）当，即时，函数在上单调递减
此时，
于是 解得：
这显然与矛盾，因此此种情况不存在。
（ⅱ）当时，这显然与矛盾，因此此种情况不存在。
（ⅲ）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减
此时，
于是 解得：，满足题意。
由可知，所求椭圆的方程为
将代入方程中，得：
于是椭圆上到点的距离等于的点有两个，分别是，
故该椭圆的方程为，并且该椭圆上到点的距离为的点的坐标是或.
题型6：椭圆的离心率计算问题
22. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________.
解：由，，成等差数列，有
又
（）
（）式两边同时除以，得 解得：或（舍去）
故该椭圆的离心率
23. 已知、是椭圆在轴上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________.
解：（法一）设正三角形的边长为
则，，
于是，，
故该椭圆的离心率
（法二）
，等式中的表示的外接圆的直径.
故该椭圆的离心率
24. 过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为椭圆右焦点。若，则该椭圆的离心率为__________.
解：（法一）在中，
又
于是
故该椭圆的离心率为
（法二）在中，
而
，即
解得：或（舍去）
故该椭圆的离心率为
25. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为__________.
解：（法一）不妨设椭圆的焦点在轴上，则其方程可设为（）
设，，
则，
于是由，有
又点在椭圆上
于是
又
故椭圆的离心率为
（法二）不妨设椭圆的焦点在轴上
设，，
则
作于点
则由，有，即
又由椭圆的第二定义，有
又
于是
又
故椭圆的离心率为
26. 在平面直角坐标系中，是椭圆（）的右焦点，直线与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率是__________.
解：在中，令，则
于是， 而
，
又
于是
又
于是
又
故该椭圆的离心率
27. 已知为坐标原点，是椭圆：（）的左焦点，、分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为__________.
解：由，有
由，有
于是有
故的离心率
（法二）直线：，即
由，得，所以
由，得，所以
由，有
故的离心率
题型7：与椭圆有关的综合问题
28. 椭圆内有一点，一直线经过点与椭圆交于、两点，弦被点平分，则直线的方程为__________.
解：设，
则①， ②
①－②得，③
又的中点坐标为
，
代入③得，④
显然
于是由④有，，即
又直线过其中点
故直线的方程为，即
29. 已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若的中点坐标为，则的方程为__________.
解：椭圆：（）的右焦点为
①
设，
则② ， ③
②-③得，④
又的中点坐标为
，
代入④得，⑤
显然
于是由④有，，即
又
⑥
由①、⑥得，，
故椭圆的方程为
P
y
30. 如图，设是圆上的一个动点，点是点在轴上的投影，为上一点，且.
M
（1） 当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
O
D
x
（2） 求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.
解：（1）设，
则由题设条件知，
而点在圆上
故点的轨迹的方程为
（2） 过点且斜率为的直线的方程为，即
点的轨迹的方程可化为
设直线与的交点为，
则直线被所截线段的长度为
联立，得
由韦达定理，有
于是
故过点且斜率为的直线被所截线段的长度为
31. 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与该椭圆交于点、和、．记得到的平行四边形的面积为．
（1）设，．用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值．
解：（1）在椭圆，即中，
（ⅰ）当直线和的斜率均存在时，
直线的方程为，即
于是点到直线：的距离
又四边形为平行四边形
故
（ⅱ）当直线的斜率不存在（此时即为轴），直线的斜率存在时，
此时点中，
点到直线的距离
（ⅲ）当直线的斜率不存在（此时即为轴），直线的斜率存在时，
此时点中，
点到直线的距离
故点到直线的距离，平行四边形的面积.
（2） 由直线与的斜率之积为可知，直线、的斜率均存在，且均不为零
不妨设直线的斜率为
则直线的方程为，并且直线的斜率为
于是直线的方程为
联立得 解得：
联立得 解得：
又由（1）知
故
32. 已知椭圆：（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）如图，是圆：的一条直径，若椭圆经过、两点，求椭圆的方程．
ｙ
Ｂ
Ａ
ｘ
解：（1）设
则
设，则
故椭圆的离心率
（2） 圆：的圆心为，半径
由（1）知，
于是椭圆：的方程可化为，即
设直线的斜率为
则直线的方程为，即
设，
联立得
由韦达定理有
又为的中点
又
故椭圆的方程为
33. 已知点是椭圆上任意一点，点到直线：的距离为，到点的距离为，且. 直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方），且.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 当点为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3） 对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）设，则，
于是由，有
化简整理，得：
故椭圆的方程为
（2） 椭圆的方程可化为
联立，得 而
又
而、都在轴上方
于是直线的方程为，即
联立，得 解得：或（舍去）
故直线的方程为，即
（3） ，且、都在轴上方
，并且直线的斜率存在
设，
则由，有（）
设直线的方程为
联立，得
由韦达定理，有
于是由（）式，有
而
于是直线的方程可化为
这表明，直线总经过定点
故对于动直线，总存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.
34. 在平面直角坐标系中，点（）为动点，、分别为椭圆的左、右焦点．已知为等腰三角形．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
解：（1）在椭圆中，
为等腰三角形
又
，即
解得或（舍去）
故该椭圆的离心率
（2） 由（1）知，，
于是椭圆可化为，即
又
于是直线的方程为，即
设
联立得
解得：，，
于是
设点的坐标为
则
又在直线：上
于是
又
于是有（）
将（）式代入中，得
而
故点的轨迹方程为（）
35. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点．过点作的平行线交于点．
（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，过点且与垂直的直线与圆交于、两点．求四边形面积的取值范围．
解：（1）圆，即圆的圆心为，半径
又
于是有
而
于是点的轨迹是以、为左右焦点的椭圆，其中
故点的轨迹方程为（）
（2） （ⅰ）当直线不垂直于轴时，设其斜率为，显然
则直线的方程为，即
直线的方程为，即
椭圆的方程可化为
联立得
由韦达定理，有
于是
又点到直线：，即的距离
于是
（ⅱ）当直线垂直于轴时，
于是此时
故四边形面积的取值范围为
36. 已知椭圆：的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为（）的直线交于、两点，点在上，．
（1）当，时，求的面积；
（2）当时，求的取值范围．
解：（1）当时，椭圆的方程为
，，且、均在椭圆上
为等腰直角三角形，其中，并且直线的倾斜角为
于是，直线的方程为，即
椭圆的方程可化为
联立得，解得或（舍去）
，即
于是
故
（2） 在椭圆中，，并且
于是直线的方程为，即
直线的方程为，即
椭圆的方程可化为
令
联立得
由韦达定理，有
于是
联立得
则由韦达定理有
于是
又
（）
若，则（）式不成立，因此
于是由式有，
又
故的取值范围是
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